第1章-矢量分析与场论基础

第1章矢量分析与场论基础工程电磁场1第1章矢量分析与场论基础工程电磁场2本章内容1.1矢量分析公式1.2三种常用的正交曲线坐标系1.3场的基本概念和可视化1.3标量场的梯度1.4矢量场的通量与散度1.5矢量场的环流与旋度1.6哈米尔顿算子第1章矢量分析与场论基础工程电磁场31.标量和矢量矢量的大小或模：AA矢量的单位矢量：标量：一个只用大小描述的物理量。AAeA矢量的代数表示：AeAeAAA1.1矢量分析公式矢量：一个既有大小又有方向特性的物理量，常用黑体字母或带箭头的字母表示。矢量的几何表示：一个矢量可用一条有方向的线段来表示注意：单位矢量不一定是常矢量。A矢量的几何表示常矢量：大小和方向均不变的矢量。第1章矢量分析与场论基础工程电磁场4zzyyxxAeAeAeAAAAAAAxyzcoscoscos)coscoscos(zyxeeeAA矢量用坐标分量表示coscoscoszyxAeeeezAxAAyAzxyO第1章矢量分析与场论基础工程电磁场5（1）矢量的加减法)()()(zzzyyyxxxBAeBAeBAeBA两矢量的加减在几何上是以这两矢量为邻边的平行四边形的对角线,如图所示。矢量的加减符合交换律和结合律2.矢量的代数运算矢量的加法BAAB矢量的减法BAABB在直角坐标系中两矢量的加法和减法：结合律()()ABCABCABBA交换律第1章矢量分析与场论基础工程电磁场6（2）标量乘矢量（3）矢量的标积（点积）zzyyxxsAesAesAeAsBzzyyxxBABABAABBAcosAB矢量与的夹角AB是在方向上的分量，有cosBBABeABAcosBA第1章矢量分析与场论基础工程电磁场7ABBA——矢量的标积符合交换律1zzyyxxeeeeee0xzzyyxeeeeeeABAB0BA//ABAB（4）矢量的矢积（叉积）两矢量的叉积是一个矢量，其大小为两个矢量的大小与它们之间夹角的正弦之积，它的方向垂直于包含两个矢量的平面，用单位矢量表示。ne第1章矢量分析与场论基础工程电磁场8sinABeBAn)()()(xyyxzzxxzyyzzyxBABAeBABAeBABAeBAzyxzyxzyxBBBAAAeeeBAABBAsinABBABA矢量与的叉积AB用坐标分量表示为写成行列式形式为BAABBA若，则BA//0BA若，则第1章矢量分析与场论基础工程电磁场9（5）矢量的混合运算CBCACBA)(CBCACBA)()()()(BACACBCBACBABCACBA)()()(——分配律——分配律——标量三重积——矢量三重积第1章矢量分析与场论基础工程电磁场10三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交曲线的交点来确定。1.2三种常用的正交曲线坐标系在电磁场与波理论中，三种常用的正交曲线坐标系为：直角坐标系、圆柱坐标系和球坐标系。三条正交曲线组成的确定三维空间任意点位置的体系，称为正交曲线坐标系；三条正交曲线称为坐标轴；描述坐标轴的量称为坐标变量。第1章矢量分析与场论基础工程电磁场111.直角坐标系zeyexerzyx位置矢量面元矢量线段元zeyexelzyxddddzyelleSxzyxxdddddyxelleSzyxzzddddd体积元zyxVddddzxelleSyzxyyddddd坐标变量zyx,,单位矢量zyxeee,,第1章矢量分析与场论基础工程电磁场12xO1xx1yy1zzexeyezM平面平面平面zy图1-1直角坐标系xyz直角坐标系的长度元、面积元、体积元odzdydxzyeSxxdddyxeSzzdddzxeSyyddd第1章矢量分析与场论基础工程电磁场132.圆柱坐标系dddddddddddddddrrelleSzrelleSzrelleSzrzzzrrzrrzr,,坐标变量zreee,,单位矢量zererzr位置矢量zererelzrdddd线段元zrrVdddd体积元面元矢量第1章矢量分析与场论基础工程电磁场14reφezeMO平面1zz1半平面1柱面xz1rr1r1ryxzdMφerezedrdrrdzyO图1-3圆柱坐标系图1-4圆柱坐标系中的单位矢量、长度元、面积元和体积元第1章矢量分析与场论基础工程电磁场15ddsinddd2relleSrrrddsindddrrelleSrdddddrrelleSr3.球坐标系,,r坐标变量eeer,,单位矢量rerr位置矢量rdledrerdersind线段元dddsind2rrV体积元面元矢量球坐标系中的线元、面元和体积元球坐标系0（半平面）0（圆锥面）0rr（球面）),,(000rP第1章矢量分析与场论基础工程电磁场164坐标系坐标变量之间的转换（1）直角坐标系与圆柱坐标系的坐标变量之间的转换（2）直角坐标系与球坐标系的坐标变量之间的转换zzxyyxrzzryrxarctgsincos22xyzyxzyxrrzryrxarctgarctgcossinsincossin22222第1章矢量分析与场论基础工程电磁场17（3）圆柱坐标系与球坐标系的坐标变量之间的转换zrarctgzrrrzrr柱柱球球柱22cossin第1章矢量分析与场论基础工程电磁场181.3场的基本概念和可视化1场的概念“场”是指某种物理量在空间的分布。具有标量特征的物理量在空间的分布是标量场，具有矢量特征的物理量在空间的分布是矢量场。例如，温度场、能量场、电位场是标量场；电场、磁场、流速场与重力场都是矢量场。定义了场量的空间点称为场点。zyxAMAzyxuMu,,,,第1章矢量分析与场论基础工程电磁场19zyxzzyyxxeAeAeAezyxAezyxAezyxAMAcoscoscos,,,,,,2源点与场点在直角坐标系中，源点用坐标表示，也可以用位置矢量表示；场点用坐标表示，也可以用位置矢量表示。由源点到场点的距离矢量用表示。'P',','zyx'rPzyx,,rR3标量场的等值面Czyxu,,•等值面可以充满整个标量场所在的空间。•等值面互不相交。•经过场中的一点只能作出一个等值面。第1章矢量分析与场论基础工程电磁场204矢量场的矢量线0rt（，）ArM图1-11力线图设M点处的位置矢量：设M点处切线微分方程为设M点场量xyzxyzreeeddddxyzxyzleeexyzAAAt（，）xyzreeAe第1章矢量分析与场论基础工程电磁场21dddd(dd)(dd)(dd)0yzzyxzyxxAxyzAAAyAzAzAxAtxAyA（，）xyxyzzeeeleeerdd0dd0dd0zyxzyxyAzAzAxAxAyAd//lAd0t（，）Arl因则得第1章矢量分析与场论基础工程电磁场22ddddddyzzxxyAyzAAzxAAxyAdddxyzxyzAAAM点处场量为的力线微分方程为t（，）Ar第1章矢量分析与场论基础工程电磁场235场的其他可视化方法彩色云图矢量箭头图6平行平面场•场中任一点的矢量都平行于某一平面S0。•在垂直于平面S0的任一直线上，矢量都相等。AA第1章矢量分析与场论基础工程电磁场241.4标量场的方向导数和梯度1方向导数的定义2方向导数的计算第1章矢量分析与场论基础工程电磁场25意义：方向导数表示场沿某方向的空间变化率。000dcoscoscosd|limMlMuuuuuulllxyz概念：l0ul•——u(M)沿方向增加；l0ul•——u(M)沿方向减小；l0ul•——u(M)沿方向无变化。M0lMΔl方向导数的概念l特点：方向导数既与点M0有关，也与方向有关。问题：在什么方向上变化率最大、其最大的变化率为多少？——的方向余弦。l式中：coscoscos、、第1章矢量分析与场论基础工程电磁场263.标量场的梯度（或）graduu标量场在空间某一点沿不同方向的变化率是不同的，在某个方向上的变化率可能最大，为此引入梯度的概念，用它来说明标量场的最大变化率和达到最大变化率的特定方向。也就是说，标量场u在点M处的梯度是一个矢量，其大小等于最大变化率，其方向是标量场u变化最大的方向。梯度可表示为maxluegradul第1章矢量分析与场论基础工程电磁场27),cos()()(coscoscosllzyxzyxeGGeGdldzedldyedldxezueyuexuedldzzudldyyudldxxuzuyuxuluzueyuexueGzyx其中第1章矢量分析与场论基础工程电磁场28zueyuexueGuzyxgrad根据梯度定义，可得直角坐标下的梯度公式第1章矢量分析与场论基础工程电磁场29•标量场的梯度是矢量场，它在空间某点的方向表示该点场变化最大（增大）的方向，其数值表示变化最大方向上场的空间变化率。•标量场在某个方向上的方向导数，是梯度在该方向上的投影。梯度的性质：4梯度运算的基本公式uufufuvvuuvvuvuuCCuCgrad)()(gradgradgrad)(gradgradgrad)(gradgrad)(grad0grad•标量场的梯度垂直于通过该点的等值面（或切平面）第1章矢量分析与场论基础工程电磁场30解(1)由梯度计算公式，可求得P点的梯度为PzyxPzyxzeyexe)])([(grad22zyxzyxeeeeyexe22)22()1,1,1(例2设一标量函数(x,y,z)=x2＋y2－z描述了空间标量场。试求：(1)该函数在点P(1,1,1)处的梯度，以及表示该梯度方向的单位矢量。(2)求该函数沿单位矢量方向的方向导数，并以点P(1,1,1)处的方向导数值与该点的梯度值作以比较，得出相应结论。ooo60cos45cos60coszyxleeee第1章矢量分析与场论基础工程电磁场31表征其方向的单位矢量222(1,1,1)gradgrad22221333(2)(2)(1)xyzlxyzPPexeyeeeeexy(2)由方向导数与梯度之间的关系式可知，沿el方向的方向导数为对于给定的P点，上述方向导数在该点取值为(1,1,1)1221222Pxyl)212221()22(gradzyxzyxleeeeyexeel212yx第1章矢量分析与场论基础工程电磁场32而该点的梯度值为222