2008年考研数学二真题及解析

您所下载的资料来源于弘毅考研资料下载中心获取更多考研资料，请访问年考研数学二试题分析、详解和评注一，选择题：((((本题共8888小题，每小题4444分，共32323232分....每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内))))(1)(1)(1)(1)设2()(1)(2)fxxxx=−+，则()fx′的零点个数为【】．(A)0.(B)1.(C)2.(D)3．【答案】应选(D).【详解】322()434(434)fxxxxxxx′=+−=+−．令()0fx′=，可得()fx′有三个零点．故应选(D).(2)(2)(2)(2)曲线方程为()yfx=，函数在区间[0,]a上有连续导数，则定积分0()axfxdx′∫在几何上表示【】．(A)曲边梯形ABCD的面积．(B)梯形ABCD的面积．(C)曲边三角形ACD面积．(D)三角形ACD面积．【答案】应选(C).【详解】'000()()()()aaaxfxdxxdfxafafxdx==−∫∫∫，其中()afa是矩形面积，0()afxdx∫为曲边梯形的面积，所以'0()axfxdx∫为曲边三角形ACD的面积．故应选(C).(3)(3)(3)(3)在下列微分方程中，以123cos2sin2xyCeCxCx=++（123,,CCC为任意的常数）为通解的是【】．(A)440yyyy′′′′′′+−−=.(B)440yyyy′′′′′′+++=.(C)440yyyy′′′′′′−−+=.(D)440yyyy′′′′′′−+−=.【答案】应选(D).【详解】由123cos2sin2xyCeCxCx=++，可知其特征根为11111111λ====，2,32,32,32,32i2i2i2iλ=±=±=±=±，故对应的特征值方程为2222(1)(2)(2)(1)(4)(1)(2)(2)(1)(4)(1)(2)(2)(1)(4)(1)(2)(2)(1)(4)iiλλλλλ−+−=−+−+−=−+−+−=−+−+−=−+3232323244444444λλλ=+−−=+−−=+−−=+−−32323232444444444444λλλ=−+−=−+−=−+−=−+−所以所求微分方程为440440440440yyyy′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′−+−=−+−=−+−=−+−=．应选(D).您所下载的资料来源于弘毅考研资料下载中心获取更多考研资料，请访问(4)(4)(4)(4)判定函数ln()|1|xfxx=−，(0)x间断点的情况【】．(A)有一个可去间断点，一个跳跃间断点．(B)有一跳跃间断点，一个无穷间断点．(C)有两个无穷间断点.(D)有两个跳跃间断点.【答案】应选(A).(5)(5)(5)(5)设函数()fx在(,)−∞+∞内单调有界，{}nx为数列，下列命题正确的是【】．(A)若{}nx收敛，则{()}nfx收敛(B)若{}nx单调，则{()}nfx收敛(C)若{()}nfx收敛，则{}nx收敛.(D)若{()}nfx单调，则{}nx收敛.【答案】应选(B).【详解】若若{}nx单调，则由函数()fx在(,)−∞+∞内单调有界知，若{()}nfx单调有界，因此若{()}nfx收敛．故应选(B).(6)(6)(6)(6)设函数()fx连续，221xy+=，222,1xyuu+=，若2222()(,)DfuvFuvdudvuv+=−∫∫，则Fu∂=∂【】．(A)2()vfu(B)()vfu(C)2()vfuu(D)()vfuu【答案】应选(A).【详解】利用极坐标，得222222011()()(,)()vuuDfuvfrFuvdudvdvrdrvfrdrruv+===−∫∫∫∫∫，所以Fu∂=∂2()vfu．故应选(A).(7)(7)(7)(7)设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵．若30A=，则下列结论正确的是【】．(A)EA−不可逆，则EA+不可逆.(B)EA−不可逆，则EA+可逆.(C)EA−可逆，则EA+可逆.(D)EA−可逆，则EA+不可逆.【答案】应选(C).【详解】23()()EAEAAEAE−++=−=，23()()EAEAAEAE+−+=+=．故EA−，EA+均可逆．故应选(C).(8)(8)(8)(8)设1221A⎛⎞=⎜⎟⎝⎠，则在实数域上，与A合同矩阵为【】．(A)2112−⎛⎞⎜⎟−⎝⎠.(B)2112−⎛⎞⎜⎟−⎝⎠.(C)2112⎛⎞⎜⎟⎝⎠.(D)1221−⎛⎞⎜⎟−⎝⎠.您所下载的资料来源于弘毅考研资料下载中心获取更多考研资料，请访问【答案】应选(D).【详解】2212(1)423(1)(3)021EAλλλλλλλλ−−−==−−=−−=+−=−−则121,3λλ=−=，记1221D−⎛⎞=⎜⎟−⎝⎠，则2212(1)423(1)(3)021EDλλλλλλλλ−−==−−=−−=+−=−则121,3λλ=−=，正负惯性指数相同.故选D.二、填空题：(9－14小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.)(9)(9)(9)(9)已知函数()()()()fx连续，且00001cos[()]1cos[()]1cos[()]1cos[()]lim1lim1lim1lim1(1)()(1)()(1)()(1)()xxxfxefx→→→→−−−−====−−−−，则(0)(0)(0)(0)f====【答案】应填2．(10)(10)(10)(10)微分方程2()0xyxedxxdy−+−=的通解是.【答案】应填()xyxCe−=−．(11)(11)(11)(11)曲线sin()ln()xyyxx+−=在点(0,1)的切线方程为.【答案】应填1yx=+．【详解】(12)(12)(12)(12)曲线23(5)yxx=−的拐点坐标为.【答案】(1,6)−−．【详解】(13)(13)(13)(13)设xyyzx⎛⎞=⎜⎟⎝⎠，则(1,2)(1,2)(1,2)(1,2)zx∂∂∂∂====∂∂∂∂.【答案】2222(ln21)(ln21)(ln21)(ln21)2222−−−−．(14)(14)(14)(14)设3阶矩阵A的特征值为2,3,λ．若行列式|2|48|2|48|2|48|2|48A=−=−=−=−，则λ====___________.【答案】应填1−．三、解答题(15(15(15(15－23232323小题，共94949494分))))．您所下载的资料来源于弘毅考研资料下载中心获取更多考研资料，请访问(15)((15)((15)((15)(本题满分9999分))))求极限[[[[]]]]44440000sinsin(sin)sinsinsin(sin)sinsinsin(sin)sinsinsin(sin)sinlimlimlimlimxxxxx→→→→−−−−．【详解1】[[[[]]]]44440000sinsin(sin)sinsinsin(sin)sinsinsin(sin)sinsinsin(sin)sinlimlimlimlimxxxxx→→→→−−−−[[[[]]]]33330000sinsin(sin)sinsin(sin)sinsin(sin)sinsin(sin)limlimlimlimxxxx→→→→−−−−====＝22220000coscos(sin)coscoscos(sin)coscoscos(sin)coscoscos(sin)coslimlimlimlim3333xxxxx→→→→−−−−222200001cos(sin)1cos(sin)1cos(sin)1cos(sin)limlimlimlim3333xxx→→→→−−−−====0000sin(sin)cossin(sin)cossin(sin)cossin(sin)coslimlimlimlim6666xxxx→→→→====(或2222222200001111(sin)(sin)(sin)(sin)2222limlimlimlim3333xxx→→→→====，或22222222222200001111sin(sin)sin(sin)sin(sin)sin(sin)2222limlimlimlim3333xxoxx→→→→++++====)11116666====．【详解2】[[[[]]]]44440000sinsin(sin)sinsinsin(sin)sinsinsin(sin)sinsinsin(sin)sinlimlimlimlimxxxxx→→→→−−−−[[[[]]]]44440000sinsin(sin)sinsinsin(sin)sinsinsin(sin)sinsinsin(sin)sinlimlimlimlimsinsinsinsinxxxxx→→→→−−−−====＝33330000sinsinsinsinlimlimlimlimtttt→→→→−−−−222200001cos1cos1cos1coslimlimlimlim3333ttt→→→→−−−−====2222222200002222limlimlimlim3333ttt→→→→====（或0000sinsinsinsinlimlimlimlim6666ttt→→→→====）11116666====．(16)((16)((16)((16)(本题满分10101010分))))设函数()()()()yyx====由参数方程22220000()()()()ln(1)ln(1)ln(1)ln(1)txxtyudu====⎧⎧⎧⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨=+=+=+=+⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩∫∫∫∫确定，其中()()()()xxt====是初值问题0000202020200000xtdxtedtx−−−−====⎧⎧⎧⎧−=−=−=−=⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎪⎪⎪⎪====⎩⎩⎩⎩的解，求22222222dydx．【详解1】由20202020xdxtedt−−−−−=−=−=−=得2xedxtdt=，积分得2xetC=+．由条件00000000tx========，得1111C====，即22221111xet=+=+=+=+，故2222ln(1)ln(1)ln(1)ln(1)xt=+=+=+=+．您所下载的资料来源于弘毅考研资料下载中心获取更多考研资料，请访问(1)ln(1)ln(1)ln(1)ln(1)ln(1)ln(1)ln(1)txtyudu⎧⎧⎧⎧=+=+=+=+⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨=+=+=+=+⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩∫∫∫∫两端同时对t求导得22222222222211112ln(1)2ln(1)2ln(1)2ln(1)dxtdttdyttdt⎧⎧⎧⎧====⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪++++⎨⎨⎨⎨⎪⎪⎪⎪=+=+=+=+⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩．所以22222222(1)ln(1)(1)ln(1)(1)ln(1)(1)ln(1)dydydtttdxdxdt==++==++==++==++，从而222222222222222222222222(1)ln(1)(1)ln(1)(1)ln(1)(1)ln(1)(1)ln(1)(1)ln(1)(1)ln(1)(1)ln(1)dttdttdydtdxdxdxdt⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤++++++++⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤++++++++⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦========22222222222222222ln(1)22ln(1)22ln(1)22ln(1)2(1)[ln(1)1](1)[ln(1)1](1)[ln(1)1](1)[ln(1)1]22221111ttttttt++++++++==+++==+++==+++==+++