三角形重心、外心、垂心、内心的向量表示及其性质

第1页共10页向量的重心、垂心、内心、外心、旁心三角形重心、内心、垂心、外心的概念及简单的三角形形状判断方法。重心：ABC中、每条边上所对应的中线的交点；垂心：ABC中、每条边上所对应的垂线上的交点；内心：ABC中、每个角的角平分线的交点（内切圆的圆心）；外心：ABC中、每条边上所对应的中垂线的交点（外接圆的圆心）。一、重心1、O是ABC的重心0OCOBOA若O是ABC的重心，则ABCAOBAOCBOC31故0OCOBOA,)(31PCPBPAPGG为ABC的重心.2、P是△ABC所在平面内任一点.G是△ABC的重心)(31PCPBPAPG.证明：CGPCBGPBAGPAPG)()(3PCPBPACGBGAGPG∵G是△ABC的重心∴0GCGBGA0CGBGAG，即PCPBPAPG3由此可得)(31PCPBPAPG.（反之亦然（证略））3、已知O是平面上一定点，ABC，，是平面上不共线的三个点，动点P满足()OPOAABAC，(0)，，则P的轨迹一定通过ABC△的重心.例1若O为ABC内一点，0OAOBOC，则O是ABC的（）A．内心B．外心C．垂心D．重心第2页共10页二、垂心1、O是ABC的垂心OCOAOCOBOBOA若O是ABC(非直角三角形)的垂心，则故0tantantanOCCOBBOAA2、H是面内任一点，HAHCHCHBHBHA点H是△ABC的垂心.由ACHBACHBHAHCHBHCHBHBHA00)(,同理ABHC，BCHA.故H是ABC的垂心.（反之亦然（证略））3、P是ABC△所在平面上一点，若PAPCPCPBPBPA，则P是ABC△的垂心．由PAPBPBPC，得()0PBPAPC，即0PBCA，所以PBCA⊥．同理可证PCAB⊥，PABC⊥．∴P是ABC△的垂心．如图1.PABC4、已知O是平面上一定点，ABC，，是平面上不共线的三个点，动点P满足coscosABACOPOAABBACC，(0)，，则动点P的轨迹一定通过ABC△的垂心．例2P是△ABC所在平面上一点，若PAPCPCPBPBPA，则P是△ABC的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心图1图⑷HFEMABCOP第3页共10页三、内心1、O是ABC的内心的充要条件是0CBCBCACAOCBCBCBABAOBACACABABOA引进单位向量，使条件变得更简洁。如果记CABCAB,,的单位向量为321,,eee，则刚才O是ABC的内心的充要条件可以写成0322131eeOCeeOBeeOA2、O是ABC的内心的充要条件也可以是0OCcOBbOAa。3、若O是ABC的内心，则cbaSSSAOBAOCBOC::::故0OCcOBbOAa或者0sinsinsinOCCOBBOAA;4、已知I为ABC△所在平面上的一点，且ABc，ACb，BCa．若0aIAbIBcIC，则I是ABC△的内心．∵IBIAAB，ICIAAC，则由题意得()0abcIAbABcAC，∵ABACbABcACACABABACACABABAC，∴bcABACAIabcABAC．∵ABAB与ACAC分别为AB和AC方向上的单位向量，∴AI与BAC∠平分线共线，即AI平分BAC．同理可证：BI平分ABC，CI平分ACB．从而I是ABC△的内心，如图。5、已知O是平面上一定点，ABC，，是平面上不共线的三个点，动点P满足ACB1eC2eCPbacIACB第4页共10页OCABABACOPOAABAC，(0)，，则动点P的轨迹一定通过ABC△的内心．由题意得ABACAPABAC，∴当(0)，时，AP表示BAC的平分线所在直线方向的向量，故动点P的轨迹一定通过ABC△的内心，如图。例3O平面上的一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足)(ACACABABOAOP，,0则P点的轨迹一定通过ABC的（）（A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心四、外心1、O是ABC的外心OCOBOA,若O是ABC的外心则CBAAOBAOCBOCSSSAOBAOCBOC2sin:2sin:2sinsin:sin:sin::故0sinsinsinOCCOBBOAA。2、已知O是ABC△所在平面上一点，若222OAOBOC，则O是ABC△的外心．若222OAOBOC，则222OAOBOC，∴OAOBOC，则O是ABC△的外心，如图1。ABCOP图1MOBCAP图2第5页共10页AB(x1,0)C(x2,y2)yxHQGDEF3、已知O是平面上的一定点，ABC，，是平面上不共线的三个点，动点P满足2coscosOBOCABACOPABBACC，(0)，，则动点P的轨迹一定通过ABC△的外心，如图2。例4若O为ABC内一点，OAOBOC，则O是ABC的（）A．内心B．外心C．垂心D．重心关于“欧拉定理”的一些问题：著名的“欧拉定理”讲的是锐角三角形的“三心”——外心、重心、垂心的位置关系：（1）三角形的外心、重心、垂心三点共线——“欧拉线”；（2）三角形的重心在“欧拉线”上，且为外——垂连线的第一个三分点，即重心到垂心的距离是重心到外心距离的2倍。例5在△ABC中，已知Q、G、H分别是三角形的外心、重心、垂心。求证：Q、G、H三点共线，且QG:GH=1:2。证明：以A为原点，AB所在的直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系。设A(0,0)、B（x1,0）、C(x2,y2)，D、E、F分别为AB、BC、AC的中点，则有：112222,0)(,)(,)22222xxxyxyEFD（、、由题设可设1324,)(,)2xQyHxy（、,122(,)33xxyG212243(,)(,)222xxyAHxyQFy，212(,)BCxxy2212422142()0()AHBCAHBCxxxyyxxxyy第6页共10页212223221232()()0222()22QFACxxyQFACxyyxxxyyy121221224323()(,),)22xxxxxxyQHxyy2（22y2112212221232122122122122()(,),)3233223()23()1(,)(,)6321=3xxxyxxyxxxyQGyxxxxxyxxxxxyQH222（62y66y22y即=3QHQG，故Q、G、H三点共线，且21:：GHQG例6．若O、H分别是△ABC的外心和垂心.求证OCOBOAOH.证明若△ABC的垂心为H，外心为O，如图.连BO并延长交外接圆于D，连结AD，CD.∴ABAD，BCCD.又垂心为H，BCAH，ABCH，∴AH∥CD，CH∥AD，∴四边形AHCD为平行四边形，∴OCDODCAH，故OCOBOAAHOAOH.“欧拉定理”简化：例7设O、G、H分别是锐角△ABC的外心、重心、垂心.求证OHOG31证明按重心定理G是△ABC的重心)(31OCOBOAOG按垂心定理OCOBOAOH由此可得OHOG31.第7页共10页补充练习一：1．已知CBA、、是平面上不共线的三点，O是ABC的重心，动点P满足OP=31(21OA+OB21+2OC),则点P一定为ABC（）A.AB边中线的中点B.AB边中线的三等分点（非重心）C.重心D.AB边的中点2．在同一个平面上有ABC及一点Ｏ满足关系式：222222ABOCACOBBCOA，则Ｏ为ABC的（）A外心B内心C重心D垂心2．已知△ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P满足：0PAPBPC，则P为ABC的()Ａ外心Ｂ内心C重心D垂心3．已知O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足：)(ACABOAOP，则P的轨迹一定通过△ABC的（）Ａ外心Ｂ内心C重心D垂心4．已知△ABC，P为三角形所在平面上的动点，且动点P满足：0PAPCPAPBPBPC，则P点为三角形的（）Ａ外心Ｂ内心C重心D垂心5．已知△ABC，P为三角形所在平面上的一点，且点P满足：0aPAbPBcPC，则P点为三角形的（）Ａ外心Ｂ内心C重心D垂心6．在三角形ABC中，动点P满足：CPABCBCA222，则P点轨迹一定通过△ABC的：（）Ａ外心Ｂ内心C重心D垂心7.已知非零向量AB与AC满足21,0ACACABABBCACACABAB且，则ABC为A.三边均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰非等边三角形D.等边三角形8.ABC的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，)(OCOBOAmOH，则实数m=。第8页共10页9.点O是ABC所在平面内的一点，满足OAOCOCOBOBOA，则点O是ABC的（）A三个内角的角平分线的交点B三条边的垂直平分线的点C三条中线的交点D三条高的交点10.已知点G是ABC的重心，过G作直线与AB，AC两边分别交于M，N两点，且AMxAB，ANyAC，则113xy。证点G是ABC的重心，知GAGBGCO，得()()AGABAGACAGO，有1()3AGABAC。又M，N，G三点共线（A不在直线MN上），于是存在,，使得(1)AGAMAN且，有AGxAByAC=1()3ABAC，得113xy，于是得113xy。第9页共10页补充练习二：1、已知O是△ABC内的一点，若222OCOBOA，则O是△ABC的〔〕A、重心B、垂心C、外心D、内心2、在△ABC中，有命题①BCACAB；②0CABCAB；③若0ACABACAB，则△ABC为等腰三角形；④若0ACAB，则ABC为锐角三角形，上述命题中正确的是〔〕A、①②B、①④C、②③D、②③④3、已知△ABC中，有0BCACACABAB和21ACACABAB,试判断△ABC的形状。4、已知△ABC中，aAB，bBC，B是△ABC中的最大角，若0ba，试判断△ABC的形状。5、已知O是△ABC所在平面内的一点，满足222222ABOCACOBBCOA，则O是△ABC的〔〕A、重心B、垂心C、外心D、内心6、已知P是△ABC所在平面内的一动点，且点P满足,0,ACACABABOAOP，则动点P一定过△ABC的〔〕A、重心B、垂心C、外心D、内心7、已知O为平面内一点，A、B、C平面上不共线的三点，动点P满足,0,21BCABOAOP，则动点P的轨迹一定通过△ABC的〔〕A、重心B、垂心C、外心D、内心8、已知O是△ABC所在平面内的一点，动点P满足,0,coscosCACACBABABOAOP，则动点P一定过△ABC的〔〕A、重心B、垂心C、外心D、内心9、已知O是△ABC所在平面内的一点，动点P满足,0,coscos2CA