高等代数试卷及答案--(二)

一、填空题（共10题，每题2分，共20分）1．只于自身合同的矩阵是矩阵。2．二次型11212237,116xfxxxxx的矩阵为__________________。3．设A是实对称矩阵，则当实数t_________________,tEA是正定矩阵。4．正交变换在标准正交基下的矩阵为_______________________________。5．标准正交基下的度量矩阵为_________________________。6．线性变换可对角化的充要条件为__________________________________。7．在22P中定义线性变换为：abXXcd，写出在基11122122,,,EEEE下的矩阵_______________________________。8．设1V、2V都是线性空间V的子空间，且12VV，若12dimdimVV，则_____________________。9．叙述维数公式_________________________________________________________________________。10．向量在基12,,,n（1）与基12,,,n（2）下的坐标分别为x、y，且从基（1）到基（2）的过渡矩阵为A，则x与y的关系为_____________________________。二、判断题（共10题，每题1分，共10分）1．线性变换在不同基下的矩阵是合同的。（）2．设为n维线性空间V上的线性变换，则10VV。（）3．平面上不平行于某一向量的全部向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法，构成实数域上的线性空间。（）4．设1V与2V分别是齐次线性方程组120nxxx与12nxxx的解空间，则12nVVP（）5．2211nniiiinxx为正定二次型。（）6．数域上任意一个矩阵都合同于一对角矩阵。（）7．把复数域C看作复数域上的线性空间，C，令，则是线性变换。（）8．若是正交变换，那么的不变子空间的真正交补也是的不变子空间。（）9．欧氏空间中不同基的度量矩阵是相似的。（）10．若为nPx(1n)中的微分变换，则不可对角化。（）三、计算题（共3题，每题10分，共30分）1．设线性变换在基123,,下的矩阵为122212221A，求的特征值与特征向量，并判断是否可对角化？2．t取什么值时，下列二次型是正定的？222123123121323,,5224fxxxxxxtxxxxxx3．设三维线性空间V上的线性变换在基123,,下的矩阵为：111213212223313233aaaAaaaaaa,求在基12,,0kkPk且，3下的矩阵B。四、证明题（共4题，每题10分，共40分）1．证明：12nA与12iiinB相似，其中12,,,niii是1,2,,n的一个排列。2．证明：和1siiV是直和的充要条件为：1102,3,,iijjVVis。3．设A是n级实对称矩阵，且2AA，证明：存在正交矩阵T，使得：111100TAT4．证明：12nA与12iiinB合同，其中12,,,niii是1,2,,n的一个排列。答案一．1．零2．39963.充分大4.正交矩阵5.E6.有n个线性无关的特征向量7.00000000ababcdcd8.12VV9.121212dimdimdimdimVVVVVV10.XAY二．1.2.3.4.√5.6.7.8.√9.10.√三．1.解：212221251221AfEA（3分）所以，的特征值为11（二重）和25。把11代入方程组0EAX得：122122122222022202220xxxxxxxxx基础解系为1101n2011n因此，属于1得两个线性无关得特征向量为：112223,因而属于1的全部特征向量就是1122kk，1k、2k取遍P中不全为零的全部数对（6分），再用25代入0EAX得：基础解系3111n，因此，属于5的全部特征向量是3k，k是P中任意不等于零的数。（9分）因为有三个线性无关的特征向量，所以可能对角化。（10分）2.解：f的矩阵为：1112125tAt10，21101ttt，2540Att。得：405t当405t时，f是正定的。3．解：11112123131aakak（2.5分）2121222323kkaakka（2.5分）31312323331aakak（2.5分）在基下的矩阵为11121321222331323311akaaBaaakkakaa（2.5分）四．1.证：任意n维向量空间V，V的基12,,,n，则唯一LV使121212nnn（3分）即iii1,2,,in111iii222iiiininin在基12,,,iiin下的矩阵为B（6分）A与B相似（1分）2．证：1sjiV是直和0iijiVV（3分）11iijijjjiVVVV110iijjVV（2分）令110ss11ss11sssjjVV（3分）0s，同理1210s1siiV是直和。（2分）3．证：设是A的任一特征值0，使A22AA2AA，2200201或0A实对称矩阵正交矩阵T，使11100TAT4．证：A、B对应的二次型分别为22211122,,nnnfxxxxx22211122,,niiiningyyyyy令1122iininyxyxyx，221111,,,,niiininngyyxxfxx所以，A与B合同。