数学分析试卷(附答案)

期末统考试卷A201-201学年第一学期课程代码课程名称数学分析I学分5.5课程性质：必修□√选修□限修□考试形式：闭卷□√开卷□专业班级（教学班）201级数学，信息计考试日期命题教师系（所或教研室）主任审批签名命题教师注意事项:1、主考教师必须于考试一周前将“试卷A”、“试卷B”经教研室主任审批签字后送教务科印刷。2、请命题教师用黑色水笔工整地书写题目或用A4纸横式打印贴在试卷版芯中。一.(10分)（1）叙述“海涅归结原则”（2）叙述“一致连续定义”二.(18分)（1）])52(3)32(2)12[(1lim3nnnnnn；（2）10221limnknknnkne；（3）2220sin)(cos112lim2xexxxxx.三.求下列函数的导数（12分）（1）)()(22xxy（2）tax3costay3sin（3）求8212xxy的n阶导数四.（12分）已知)(xf在],[ba上连续，在),(ba内)(''xf存在，设连接))(,()),(,(bfbBafaA两点的直线与曲线)(xfy在异于BA,点的另一点))(,(cfcC处相交，),(bac，试证明：在),(ba内至少有一点，使)(''f0.五.（12分）设函数)(xf四阶可导，0)()4(xf，且1)(lim30xxfx，证明：3)(xxf.六.（12分）判别函数xexf)(在区间),0(l内的一直连续性，并证明；再证明函数3)(xxf在]1,0[上是一致连续的.七.（12分）设函数011)(axaxaxfmmmm，求)1()(nf.八.（12分）设函数)(xf在]2,1[上有二阶导数，且0)2()1(ff,又)()1()(2xfxxF，证明在)2,1(内至少存在一点，使0)(''F；另外，若)(xf在区间X中有Mxf|)(|'成立，证明：)(xf在X中一致连续.期末统考试卷A201-201学年第一学期课程代码课程名称数学分析I学分5.5课程性质：必修□√选修□限修□考试形式：闭卷□√开卷□专业班级（教学班）201级数学，信息计考试日期命题教师系（所或教研室）主任审批签名命题教师注意事项:1、主考教师必须于考试一周前将“试卷A”、“试卷B”经教研室主任审批签字后送教务科印刷。2、请命题教师用黑色水笔工整地书写题目或用A4纸横式打印贴在试卷版芯中。一.（1）Axfxx)(lim0的充要条件是为任何以0x为极限的数列)}({0xxxnn，都有)()(nAxfn（2）设函数)(xf在区间X（或开，或闭，或半开半闭）内满足对任意的0，可找到只与有关而与X内的点x无关的0，使得对X内任意两点21,xx，当||21xx时，总有|)()(|21xfxf，就称)(xf在X内一致连续.二.（1）31（2）1e（提示：利用夹逼准则，得到101101111nknknknknenene原式）（3）121三.（1）)()()()()()(22''xxxxxx（2）ttan（3）))2(1)4(1(!6)1(11nnnxxn四.证：第一步：设函数)(),(xgxf在],[ba上连续，在),(ba内可导，且)()()()(agbgafbf，则设)()()(xgxfxF，可知在),(ba内至少有一点c，使得)()(''cgcf第二步：设)(),(,xgxfbca都在],[ba上连续，在),(ba内二阶可导，且)()(),()(),()(bgbfcgcfagaf，则在),(ba内至少存在一点)()(,''''gf，首先由第一步知，存在)()(),,(1'1'1gfca，同理可知在),(bc上有一点)()(,2'2'2gf；再记)()(),()(''xgxkxfxh，在],[21上考虑这两个，易知)(),(xkxh满足第一步条件，从而存在),(21使得)()(''xkxh，即是)()(''''gf第三步：设直线AB的方程是)()()()()(afaxabafbfxgy，显然有)()(),()(),()(cgcgbfbgafag，由第二步可知，存在),(ba，使)()(''''gf，而0)(''xg，所以0)(''f.五.证：由1)(lim30xxfx，可知)(xf前两项均为零构成零比零型，第三项设为3kx，易知1k（感兴趣可以证明），对)(xf在0x处进行泰勒展开，)(xf00!4/))0((!3/))0((04)4(3'''xfxfL，两边同时除以3x，得到!4/))0((1)(4)4(3xfxxfL，由极限体现出的性质可知0L，又0)()4(xf，两边同时取极限（0x），由极限保号性得到1)(3xxf.六、七、八略