10道让人眼前一亮的初中数学题

―――――－―――――――――――――――装――――――订――――――线―――――――――――――――――――――――班级姓名学号座位号考场纪律：正常（）不正常（）竞赛难题10道本卷满分150分，答题时间2.5h1.如图ABC,AB:BC:AC=25:13:37作AB边上的中线OC。求证AB=OC（5分）BACO2.（10分）如图，是矩形ABCD，AB=6，AD=8，BE=2,做平行四边形EFGH,使点H在BC上，点F在AD上，且F为AD的中点，连结DG,CG，求:(1)△DFG,△HCG的面积和的取值范围（6分）(2)求点G关于点H的运动轨迹的长度（4分）GFDABCEH3.（20分）已知P为平面内任意一点,平行四边形ABCD在这个平面内，连结AC,BD,CP,BP,O为AC与BD的交点,M、N分别为PB,PC的中点,连结AN，BM,Q为AN与DM的交点,求证:(1)O,P,Q三点共线（8分）(2)PQ=2OQ.（2分）QMNOCDBAP变式：如图，已知线段AB，C是它的三等分点，BC=2AC,D,E是平面内任意两点（起码有一点不在直线AB上），连结BD,BE,DE,作BD,BE的中点M,N，作射线DA,MC交于点F,作射线EA,NC,交于点G,连结DG,GF,FE。求证四边形DEFG是平行四边形。（10分）4.定义：对角线相等的四边形为等对角线四边形（10分）(1)当四边形ABCD为等对角线四边形时，且对角线的夹角为60°，且交于点为E求边AD与BC之和与其中一条对角线的大小关系（4分）(2)当四边形ABCD为等对角线四边形时，且对角线的夹角为θ，且交于点为E求边AD与BC之和与其中一条对角线的大小关系（6分）CDBEA5.如图是正三角形阵，其中△A1B1B2的周长为3，△A2B3B2是△A1B1B2周长的2倍以此类推，问△AnBn-5Bn+7的周长是多少？（5分）6.（15分）问题1如图三已知两个共一个顶点的等腰Rt△ABC，Rt△CEF，∠ABC=∠CEF=90°，连接AF，M是AF的中点，∠BCE=45°,连接MB、ME．延长AB交CE于点G,延长BM交CF于点D.(1)证明M是BD的中点（3分）(2)证明四边形BGFD是平行四边形。（2分）(3)图中有几个等腰直角三角形请写出(可以是图中任意所表示出的点组成的三角形)（3分）问题二：(7分)如图2△ABC与△ECF均为等腰直角三角形，∠CEF=∠ABC=90°,C是它们的公共顶点连结AF，M是AF的中点，连结BM,EM,请证明无论∠BCE的度数为多少时BM始终等于EM，且∠BME=90°8.（20分）如图在RT△ABC中，∠A=90°,∠ABO=30°,OB=,边AB的垂直平分线CD分别与AB,x轴，y轴交于点C,G,D(1)求点C的坐标（4分）(2)求直线CD的解析式（4分）(3)在直线CD上和平面内是否存在点Q,P使得以O,D,P,Q为顶点的四边形是菱形，若存在求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由（12分）9.（20分）如图直线y=-2x+3交y轴于A，x轴于C，B是双曲线y=上的点，且B（2,2）在平面内有一点D，AB=AD，且D,C,B三点共线（1）求点D的坐标（8分）（2）若在双曲线上有一点G，作GF⊥x于点F，作DE⊥x于点E，试问四边形DEFG的面积可能为3吗？若能求出点G的坐标如不能请说明理由（12分）―――――－―――――――――――――――装―――――――――――订―――――――――――线―――――――――――――――――――10.(20分)木匠黄师傅用长AB=4,宽BC=3的矩形木板做成一个尽可能大的菱形（不为正方形）桌面，但胶水只够用来粘一边，于是他设计了五种方案方案一：过四边中点锯一个菱形；方案二：在AB,CD上各取一点E,F连结DE,BF使BE=DE=DF=BF,锯出菱形：方案三：在CD,AB上各取一点E,F使DE=BF，作等腰三角形EGC和等腰三角形AHF并使所得三角形全等，拼成一个菱形，使该菱形面积最大；方案四：沿对角线AC将矩形锯成两个三角形，适当平移三角形ABC至三角形EFG（G在AC上且G不与A,C重合）,并锯一个最大的一个菱形；方案五：锯一块小矩形BCEF拼到矩形AFED的下面，利用拼成的木板锯一个尽可能大的菱形(1)写出方案一中的菱形边长（2分）(2)通过计算说明方案二和方案三中，哪一个菱形的边较长（3分）(3)在方案四中，设CG=x,菱形边长为y。（本小题不考虑在三角形中作菱形）1.求y关于x的函数解析式（5分）2.当x取何值时菱形面积最大，最大面积是多少？（请直接写出结论）（2分）(4)在方案五中，设CE=x（0＜x＜1）。菱形的边长为y。1.求y关于x的函数解析式（5分）2.当x取何值时菱形面积最大，最大面积是多少？并说明四种方案中哪一个菱形桌面的面积最大。（3分）答案的公布将在2014年8月底，若需要答案的人可加qq965143539或在8月底搜索“竞赛难题十道的解答”（八月底不见不散）