空间解析几何基础知识

x横轴y纵轴z竖轴定点o空间直角坐标系三个坐标轴的正方向符合右手系.即以右手握住z轴，当右手的四个手指从正向x轴以2角度转向正向y轴时，大拇指的指向就是z轴的正向.一、空间点的直角坐标Ⅶxyozxoy面yoz面zox面空间直角坐标系共有八个卦限ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅧ.21221221221zzyyxxMM空间两点间距离公式设),,(1111zyxM、),,(2222zyxM为空间两点二、空间两点间的距离向量：既有大小又有方向的量.向量表示：以1M为起点，2M为终点的有向线段.1M2Ma21MM模长为1的向量.21MM00a零向量：模长为0的向量.0||a21MM||向量的模：向量的大小.单位向量：一、向量的概念或或或自由向量：不考虑起点位置的向量.相等向量：大小相等且方向相同的向量.负向量：大小相等但方向相反的向量.a向径：abaa空间直角坐标系中任一点与原点构成的向量.OMM[1]加法：cbaabc（平行四边形法则）特殊地：若a‖babc||||||bac分为同向和反向bac||||||bac（平行四边形法则有时也称为三角形法则）二、向量的加减法向量的加法符合下列运算规律：（1）交换律：.abba（2）结合律：cbacba)().(cba（3）.0)(aa[2]减法)(babaabbbcbabac)(babaab设是一个数，向量a与的乘积a规定为,0)1(a与a同向，||||aa,0)2(0a,0)3(a与a反向，||||||aaaa2a21三、向量与数的乘法数与向量的乘积符合下列运算规律：（1）结合律：)()(aaa)(（2）分配律：aaa)(baba)(.0ababa，使一的实数分必要条件是：存在唯的充平行于，那末向量设向量定理两个向量的平行关系同方向的单位向量，表示与非零向量设aa0按照向量与数的乘积的规定，0||aaa.||0aaa上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量.一、空间两向量的夹角的概念：,0a,0bab向量a与向量b的夹角),(ba),(ab类似地，可定义向量与一轴或空间两轴的夹角.特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定它们的夹角可在0与之间任意取值.0()空间一点在轴上的投影uAA过点A作轴u的垂直平面，交点A即为点A在轴u上的投影.空间一向量在轴上的投影uAABB已知向量的起点A和终点B在轴u上的投影分别为BA,那么轴u上的有向线段BA的值，称为向量在轴u上的投影.ABjuPr.BA向量AB在轴u上的投影记为关于向量的投影定理（1）向量AB在轴u上的投影等于向量的模乘以轴与向量的夹角的余弦：ABjuPrcos||AB证uABABBABjuPrABjuPrcos||ABu定理1的说明：投影为正；投影为负；投影为零；uabc(4)相等向量在同一轴上投影相等；0)1(,22)2(,)3(,2关于向量的投影定理（2）两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在该轴上的投影之和..PrPr)(Pr2121ajajaajAABBCC（可推广到有限多个）u1a2a设a是以),,(1111zyxM为起点、),,(2222zyxM为终点的向量，过21,MM各作垂直于三个坐标轴的平面,这六个平面围成一个以线段21MM为对角线的长方体.二、向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标xyzo1MPNQR2M以kji,,分别表示沿zyx,,轴正向的单位向量.ijkkajaiaazyx向量在轴上的投影x向量在轴上的投影y向量在轴上的投影z12xxax12yyay12zzazkzzjyyixxMM)()()(12121221kzzjyyixxMM)()()(12121221按基本单位向量的坐标分解式：在三个坐标轴上的分向量：,,,kajaiazyx向量的坐标：,,,zyxaaa向量的坐标表达式：},,{zyxaaaa},,{12121221zzyyxxMM特殊地：},,{zyxOM向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式},,,{zyxaaaa},,,{zyxbbbb},,{zzyyxxbabababa},,{zzyyxxbabababa},,{zyxaaaa;)()()(kbajbaibazzyyxx;)()()(kbajbaibazzyyxx.)()()(kajaiazyx非零向量的方向角：a非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角.、、,0,0.0xyzo1M2M三、向量的模与方向余弦的坐标表示式xyzo1M2M由图分析可知cos||aaxcos||aaycos||aaz向量的方向余弦方向余弦通常用来表示向量的方向.222||zyxaaaaPQR向量模长的坐标表示式21212121RMQMPMMM0222zyxaaa当时，,cos222zyxxaaaa,cos222zyxyaaaa.cos222zyxzaaaa向量方向余弦的坐标表示式1coscoscos222方向余弦的特征0a||aa}.cos,cos,{cos特殊地：单位向量的方向余弦为0)2(ba.ba.||)1(2aaa关于数量积的说明：一、两向量的数量积向量a与b的数量积为bacos||||baba(其中为a与b的夹角)定义数量积也称为“点积”、“内积”.数量积符合下列运算规律：（1）交换律：;abba（2）分配律：;)(cbcacba（3）若为数：),()()(bababa若、为数：).()()(babacos||||baba,||||cosbaba两向量夹角余弦的坐标表示式ba0zzyyxxbababa由此可知两向量垂直的充要条件为,kajaiaazyx数量积的坐标表达式kbjbibbzyxzzyyxxbabababa向量a与b的向量积为bacsin||||||bac(其中为a与b的夹角)定义c的方向既垂直于a，又垂直于b，指向符合右手系.关于向量积的说明：.0)1(aa)0sin0(ba)2(//.0ba)0,0(ba向量积也称为“叉积”、“外积”.二、两向量的向量积向量积符合下列运算规律：（1）.abba（2）分配律：.)(cbcacba（3）若为数：).()()(bababa向量积还可用三阶行列式表示zyxzyxbbbaaakjibaba//zzyyxxbababa由上式可推出,kajaiaazyxkbjbibbzyxzzyxbaaa000,0yxaa补充||ba表示以a和b为邻边的平行四边形的面积.xb、yb、zb不能同时为零，但允许两个为零，例如，abbac定义设已知三个向量a、b、c，数量cba)(称为这三个向量的混合积，记为][cba.][cbacba)(zyxzyxzyxcccbbbaaa,kajaiaazyx,kbjbibbzyx设,kcjcicczyx混合积的坐标表达式三、向量的混合积关于混合积的说明：][)2(cbacba)(acb)(.)(bac（3）三向量a、b、c共面.0][cba(1)向量的混合积是一个数量.一、曲面方程的概念曲面方程的定义：如果曲面S与三元方程0),,(zyxF有下述关系：（1）曲面S上任一点的坐标都满足方程；（2）不在曲面S上的点的坐标都不满足方程；那么，方程0),,(zyxF就叫做曲面S的方程，而曲面S就叫做方程的图形．2202020Rzzyyxx例1建立球心在点),,(0000zyxM、半径为R的球面方程.以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题：（2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状．（讨论旋转曲面）（讨论柱面、二次曲面）（1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程．二、旋转曲面定义以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.这条定直线叫旋转曲面的轴．播放,0,22zyxfyoz坐标面上的已知曲线0),(zyf绕z轴旋转一周的旋转曲面方程.同理：yoz坐标面上的已知曲线0),(zyf绕y轴旋转一周的旋转曲面方程为.0,22zxyf例5直线L绕另一条与L相交的直线旋转一周，所得旋转曲面叫圆锥面．两直线的交点叫圆锥面的顶点，两直线的夹角20叫圆锥面的半顶角．试建立顶点在坐标原点，旋转轴为z轴，半顶角为的圆锥面方程．xozy解yoz面上直线方程为cotyz),,0(111zyM),,(zyxM圆锥面方程cot22yxzoxzycotαa),y(xaz2222或例6将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生成的旋转曲面的方程．（1）双曲线12222czax分别绕x轴和z轴；绕x轴旋转绕z轴旋转122222czyax122222czayx旋转双曲面（2）椭圆012222xczay绕y轴和z轴；绕y轴旋转绕z轴旋转122222czxay122222czayx旋转椭球面（3）抛物线022xpzy绕z轴；pzyx222旋转抛物面播放定义三、柱面观察柱面的形成过程:平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为柱面.CL这条定曲线叫柱面的准线，动直线叫柱面的母线.CL柱面举例xozyxozyxy22抛物柱面xy平面从柱面方程看柱面的特征：只含yx,而缺z的方程0),(yxF，在空间直角坐标系中表示母线平行于z轴的柱面，其准线为xoy面上曲线C.（其他类推）实例12222czby椭圆柱面//轴x12222byax双曲柱面//轴zpzx22抛物柱面//轴y0),,(0),,(zyxGzyxF空间曲线的一般方程曲线上的点都满足方程，满足方程的点都在曲线上，不在曲线上的点不能同时满足两个方程.xozy1S2SC空间曲线C可看作空间两曲面的交线.特点：一、空间曲线的一般方程)()()(tzztyytxx当给定1tt时，就得到曲线上的一个点),,(111zyx，随着参数的变化可得到曲线上的全部点.空间曲线的参数方程二、空间曲线的参数方程0),,(0),,(zyxGzyxF消去变量z后得：0),(yxH曲线关于的投影柱面xoy设空间曲线的一般方程：以此空间曲线为准线，垂直于所投影的坐标面.投影柱面的特征：三、空间曲线在坐标面上的投影类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影00),