微分的概念与定义

微分的概念与定义导数与微分的关系微分的几何意义微分形式的不变性•导数反映了函数因变量相对于自变量变化的快慢程度，即：函数的变化率。•微分指明,当自变量有微小变化时，函数大体上改变了多少。一、问题的提出实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量.20xA=0x0x,00xxxΔ+变到设边长由的改变量正方形面积20xA=2020)(xxxA−Δ+=Δ.)(220xxxΔ+Δ⋅=)1()2(;,的主要部分且为的线性函数AxΔΔ.,很小时可忽略当的高阶无穷小xxΔΔ:)1(:)2(xΔxΔ2)(xΔxxΔ0xxΔ0再例如,.,03yxxxyΔΔ=求函数的改变量时为处的改变量在点设函数3030)(xxxy−Δ+=Δ.)()(3332020xxxxxΔ+Δ⋅+Δ⋅=)1()2(,很小时当xΔ.320xxyΔ⋅≈Δ∴),()2(xoxΔΔ的高阶无穷小是既容易计算又是较好的近似值问题:一般函数y=f(x)是否也有Δy=f(x+Δx)-f(x)=AΔx+o(Δx)?A是什么?如何求??)(3030xoxAxxxyΔ+Δ=−Δ+=Δ但是二、微分的定义定义.),(,)(,)(),()()()(,,)(000000000xAdyxdfdyxxxfyxAxxfyxAxoxAxfxxfyxxxxfyxxxxΔ⋅=Δ=Δ⋅=ΔΔ+Δ⋅=−Δ+=ΔΔ+===即或记作的微分相应于自变量增量在点为函数并且称可微在点则称函数无关的常数是与其中成立如果在这区间内及在某区间内有定义设函数.的线性主部叫做函数增量微分ydyΔ(微分的实质).)(),(,,)(xxfdyxdfdyxxfyΔ′==即或记作微分称为函数的的微分在任意点函数由定义知:;)1(的线性函数是自变量的改变量xdyΔ;)()2(高阶无穷小是比xxodyyΔΔ=−Δ;,0)3(是等价无穷小与时当ydyAΔ≠dyyΔ∵xAxoΔ⋅Δ+=)(1).0(1→→x;)(,)4(0有关和但与无关的常数是与xxfxAΔ).(,)5(线性主部很小时当dyyx≈ΔΔ三、可微的条件).(,)()(000xfAxxfxxf′=且处可导在点数可微的充要条件是函在点函数定理证(1)必要性,)(0可微在点xxf∵),(xoxAyΔ+Δ⋅=Δ∴,)(xxoAxyΔΔ+=ΔΔ∴xxoAxyxxΔΔ+=ΔΔ→Δ→Δ)(limlim00则.A=).(,)(00xfAxxf′=且可导在点即函数(2)充分性),()(0xxxfyΔ⋅α+Δ⋅′=Δ从而,)(0α+′=ΔΔxfxy即,)(0可导在点函数xxf∵),(lim00xfxyx′=ΔΔ∴→Δ),0(0→Δ→αx∵),()(0xoxxfΔ+Δ⋅′=.)(,)(00Axfxxf=′且可微在点函数∵).(.0xfA′=⇔∴可微可导例1解.02.0,23时的微分当求函数=Δ==xxxyxxdyΔ′=)(3∵.32xxΔ=02.02202.023=Δ==Δ=Δ=∴xxxxxxdy.24.0=.,,xdxdxxxΔ=Δ即记作称为自变量的微分的增量通常把自变量.)(dxxfdy′=∴).(xfdxdy′=..微商导数也叫该函数的导数之商等于与自变量的微分即函数的微分dxdy四、微分的几何意义)(xfy=0xMNTdyyΔ)(xoΔ）xyoαxΔ几何意义:(如图).,对应的增量就是切线纵坐标坐标增量时是曲线的纵当dyyΔxxΔ+0P.,,MNMPMx可近似代替曲线段切线段的附近在点很小时当Δ例:已知曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为2x-y+1=0,求x=1处的微分.五、微分的求法dxxfdy)(′=求法:计算函数的导数,乘以自变量的微分.1.基本初等函数的微分公式xctgxdxxdxtgxdxxdxdxctgxdxdxtgxdxdxxdxdxxddxxxdCdcsc)(cscsec)(seccsc)(sec)(sin)(coscos)(sin)(0)(221−==−==−==μ==−μμdxxarcctgxddxxarctgxddxxxddxxxddxxxddxaxxddxeedadxaadaxxxx222211)(11)(11)(arccos11)(arcsin1)(lnln1)(log)(ln)(+−=+=−−=−=====2.函数和、差、积、商的微分法则2)()()()(vudvvduvududvvduuvdCduCuddvduvud−=+==±=±例2解.),ln(2dyexyx求设+=,2122xxexxey++=′∵.2122dxexxedyxx++=∴例3解.,cos31dyxeyx求设−=)(cos)(cos3131xdeedxdyxx⋅+⋅=−−.sin)(cos,3)(3131xxeexx−=′−=′−−∵dxxedxexdyxx)sin()3(cos3131−⋅+−⋅=∴−−.)sincos3(31dxxxex+−=−六、微分形式的不变性;)(,)1(dxxfdyx′=是自变量时若则微函数的可即另一变量是中间变量时若),(,)2(txtxϕ=),()(xfxfy′=有导数设函数dttxfdy)()(ϕ′′=,)(dxdtt=ϕ′∵.)(dxxfdy′=∴结论：的微分形式总是函数是自变量还是中间变量无论)(,xfyx=微分形式的不变性dxxfdy)(′=例4解.,sindybxeyax求设−=)(sin)(cosaxdebxbxbxdedyaxax−⋅+⋅=−−dxaebxbdxbxeaxax)(sincos−⋅⋅+⋅⋅=−−.)sincos(dxbxabxbeax−=−例3解.),12sin(dyxy求设+=.12,sin+==xuuy∵ududycos=∴)12()12cos(++=xdxdxx2)12cos(⋅+=.)12cos(2dxx+=例5解在下列等式左端的括号中填入适当的函数,使等式成立.).()()(sin)2(;cos)()1(2xdxdtdtd=ω=,cos)(sin)1(tdttdωω=ω∵)(sin1costdtdtωω=ω∴.cos)sin1(tdtCtdω=+ωω∴);sin1(tdωω=dxxdxxxxdxd21cos2)()(sin)2(22=∵,cos42xxx=).()cos4()(sin22xdxxxxd=∴2222)(11)(arctanyxydxxdyxydxxdyxyxyd+−=−⋅+=2222222221)(lnyxydyxdxyxydyxdxyxd++=++⋅=+于是xdy-ydx=xdx+ydy,.dxyxyxdy−+=例6设由确定y为x的函数,求dy.22lnarctanyxxy+=解应用微分的运算法则及一阶微分形式的不变性,有)(ln)(arctan22yxdxyd+=七、微分在近似计算中的应用™计算函数增量的近似值™计算函数的近似值™误差估计1、计算函数增量的近似值,,0)()(00很小时且处的导数在点若xxfxxfyΔ≠′=例1?,05.0,10问面积增大了多少厘米半径伸长了厘米的金属圆片加热后半径解,2rAπ=设.05.0,10厘米厘米=Δ=rrrrdAΔ⋅π=≈Δ∴205.0102××π=).(2厘米π=.)(0xxfΔ⋅′=00xxxxdyy==≈Δ2、计算函数的近似值;)(.10附近的近似值在点求xxxf=)()(00xfxxfy−Δ+=Δ.)(0xxfΔ⋅′≈.)()()(000xxfxfxxfΔ⋅′+≈Δ+)(很小时xΔ例1.0360coso的近似值计算′解,cos)(xxf=设)(,sin)(为弧度xxxf−=′∴,360,30π=Δπ=xx∵.23)3(,21)3(−=π′=π∴ff)3603cos(0360cosoπ+π=′∴3603sin3cosπ⋅π−π≈3602321π⋅−=.4924.0≈;0)(.2附近的近似值在点求=xxf.)0()0()(xffxf⋅′+≈∴,)()()(000xxfxfxxfΔ⋅′+≈Δ+∵.,00xxx=Δ=令常用近似公式)(很小时x.)1ln()5(;1)4();(tan)3();(sin)2(;111)1(xxxexxxxxxxnxxn≈++≈≈≈+≈+为弧度为弧度证明,1)()1(nxxf+=设,)1(1)(11−+=′nxnxf.1)0(,1)0(nff=′=xffxf)0()0()(′+≈∴.1nx+=例2.计算下列各数的近似值解.)2(;5.998)1(03.03−e335.110005.998)1(−=3)10005.11(1000−=30015.0110−=)0015.0311(10×−≈.995.9=03.01)2(03.0−≈−e.97.0=3、误差估计由于测量仪器的精度、测量的条件和测量的方法等各种因素的影响，测得的数据往往带有误差，而根据带有误差的数据计算所得的结果也会有误差，我们把它叫做间接测量误差.定义：.,,的绝对误差叫做那末为它的近似值如果某个量的精度值为aaAaA−.的相对误差叫做的比值而绝对误差与aaaAa−问题:在实际工作中,绝对误差与相对误差无法求得?办法:将误差确定在某一个范围内..,,,,,的相对误差限叫做测量而的绝对误差限叫做测量那末即又知道它的误差不超过测得它的近似值是如果某个量的精度值是AaAaAaAAAAAδδδ≤−δ通常把绝对误差限与相对误差限简称为绝对误差与相对误差.例3.,,005.041.2误差并估计绝对误差与相对求出它的面积米正方形边长为±解则面积为设正方形边长为,,yx.2xy=,41.2时当=x).(8081.5)41.2(22my==41.241.22===′xxxy.82.4=,005.0=xδ边长的绝对误差为∵005.082.4×=∴yδ面积的绝对误差为).(0241.02m=yyδ面积的相对误差为∴8081.50241.0=%.4.0≈小结微分学所要解决的两类问题:函数的变化率问题函数的增量问题微分的概念导数的概念求导数与微分的方法,叫做微分法.研究微分法与导数理论及其应用的科学,叫做微分学.导数与微分的联系:.可微可导⇔★★导数与微分的区别:且的线性函数是而微分处的导数是一个定数在点函数,)(),()(.1000xxxfdyxfxxfΔΔ′=′xxfdyxxΔ′=→Δ→Δ)(limlim000.0=.))(,()()(,))(,()()(,.20000000的纵坐标增量处的切线方程在点在点是曲线而微分处切线的斜率点在是曲线从几何意义上来看xxfxxfyxxfdyxfxxfyxf=Δ′==′★A思考设函数)(xfy=在点0x处可导，当自变量x由x0增加到xxΔ+0时，记yΔ为)(xf的增量，dy为)(xf的微分，xdyyxΔ−Δ→Δ0lim等于（）（A）-1；（B）0；（C）1；（D）∞.B近似计算的基本公式.)0()0()(xffxf⋅′+≈00xxxxdyy==≈Δ.)(0xxfΔ⋅′=),()()()(000xxxfxfxf−⋅′+≈,很小时当xΔ,0时当=x1、设0A，且nAB，证明1−+≈+nnnnABABA，并计算101000的近似值.2、已知测量球的直径D有1%的相对误差，问用公式36DVπ=计算球的体积时，相对误差有多大？思考,1111xnxn+≈+∵、.111−+≈+=+∴nnnnnABnAABABA2、测量球的直径D的绝对误差δD=D⋅1%,球体积的绝对误差:dV=(1/2)πD2⋅D⋅1%,球体积的相对误差:ooDooDVdV3)6/1(1)2/1(33=π⋅π=.解答