初中九年级数学人教版-圆单元复习课件

第24章圆单元复习初中数学人教版本章知识结构图圆的基本性质圆圆的对称性弧、弦圆心角之间的关系同弧上的圆周角与圆心角的关系与圆有关的位置关系正多边形和圆有关圆的计算点和圆的位置关系切线直线和圆的位置关系三角形的外接圆三角形内切圆等分圆圆和圆的位置关系弧长扇形的面积圆锥的侧面积和全面积一.圆的基本概念:1.圆的定义:到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆.2.有关概念:(1)弦、直径(圆中最长的弦)(2)弧、优弧、劣弧、等弧(3)弦心距．O经过圆心的弦（如图中的AB）叫做直径．·COAB连接圆上任意两点的线段（如图AC）叫做弦，与圆有关的概念弦圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．·COAB弧⌒圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A、B为端点的弧记作AB，读作“圆弧AB”或“弧AB”．·COAB劣弧与优弧⌒小于半圆的弧叫做劣弧.大于半圆的弧叫做优弧.⌒（如图中的AC）(用三个字母表示,如图中的ACB)O1rO2r半径相等的两个圆叫做等圆。圆心相同，半径相等的两个圆是同心圆;半径相等的两个圆是等圆.判断题等圆弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫弓形。等圆：能够重合的两个圆叫做等圆，易知同圆或等圆的半径相等。同心圆：圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。等弧应同时满足两个条件：1）两弧的长度相等，2）两弧的度数相等。1、直径是弦，而弦不一定是直径；2、半圆是弧，而弧不一定是半圆；3、两条等弧的度数相等，长度也相等，反之，度数相等或长度相等的两条弧不一定是等弧。注意：圆心角：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角.圆周角:顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角,叫做圆周角.·OBA●OBAC圆心角与圆周角弧、弦与圆心角的关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．在同圆或等圆中，如果圆心角、弧、弦有一组量相等，那么它们所对应的其余两个量都分别相等。•综上所述,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系是:•同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.●OABC●OABC●OABC即∠ABC=∠AOC.21同弧所对的圆周角相等.都等于这条弧所对的圆心角的一半.(等弧)思考:相等的圆周角所对的弧相等吗?在同圆或等圆中圆周角定理:ABCD在同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧相等.则∠D=∠A∴AB∥CD如图,若AC=BD⌒⌒•1.如图,在⊙O中,∠BOC=50°,求∠A的大小.●OBAC解:∠A=∠BOC=25°.21ABOC如图,AB是直径,则∠ACB=＿＿＿＿90度半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90度的圆周角所对的弦是直径。如图，设⊙O的半径为r，A点在圆内B点在圆上C点在圆外点A在⊙O内点B在⊙O上点C在⊙O外反过来，如果已知点到圆心的距离和圆的半径之间的关系，可以判断点和圆的位置关系?OA＜rOB=rOC＞rABCrOA＜rOB=rOC＞rO设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：点P在圆内点P在圆上点P在圆外点与圆的位置关系d＜rd=rd＞rrpdprdPrd直线与圆有三种位置关系（1）相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交。这时直线叫做圆的割线。（2）相切：直线与圆有唯一个公共点时，叫做直线和圆相切。这时直线叫做圆的切线。（3）相离：直线与圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。相离相切相交二.圆的基本性质1.圆的对称性:(1)圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直线都是它的对称轴.圆有无数条对称轴.(2)圆是中心对称图形,并且绕圆心旋转任何一个角度都能与自身重合,即圆具有旋转不变性.．·OABCDE垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．⌒∵CD是圆O的直径,CD⊥AB∴AP=BP,AD=DBAC=BC⌒⌒⌒你可以写出相应的命题吗?相信自己是最棒的!垂径定理的推论•如图,在下列五个条件中:只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论.●OABCDM└①CD是直径,③AM=BM,②CD⊥AB,⌒⌒④AC=BC,⌒⌒⑤AD=BD.垂径定理及推论●OABCDM└条件结论命题①②③④⑤①③②④⑤①④②③⑤①⑤②③④②③①④⑤②④①③⑤②⑤①③④③④①②⑤③⑤①②④④⑤①②③垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧.弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧.垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且平分弦和所对的另一条弧.平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于弦,并且平分弦所对的另一条弧.平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦.一、判断是非：（1）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧。（2）平分弦的直线，必定过圆心。（3）一条直线平分弦（这条弦不是直径），那么这条直线垂直这条弦。ABCDO(1)ABCDO(2)ABCDO(3)(4)弦的垂直平分线一定是圆的直径。（5）平分弧的直线，平分这条弧所对的弦。（6）弦垂直于直径，这条直径就被弦平分。ABCO(4)ABCDO(5)ABCDO(6)E（7）平分弦的直径垂直于弦3、平面上有三点A、B、C，经过A、B、C三点的圆有几个？圆心在哪里？归纳结论：不在同一条直线上的三个点确定一个圆。●B●C经过B,C两点的圆的圆心在线段AB的垂直平分线上.┏●A经过A,B,C三点的圆的圆心应该这两条垂直平分线的交点O的位置.●O经过A,B两点的圆的圆心在线段AB的垂直平分线上.经过三角形三个顶点可以画一个圆，并且只能画一个．一个三角形的外接圆有几个？一个圆的内接三角形有几个？经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分线的交点，它到三角形三个顶点的距离相等。这个三角形叫做这个圆的内接三角形。三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心。●OABC分别画一个锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，再画出它们的外接圆，观察并叙述各三角形与它的外心的位置关系.锐角三角形的外心位于三角形内,直角三角形的外心位于直角三角形斜边中点,钝角三角形的外心位于三角形外.ABC●OABCCAB┐●O●O切线的判定定理•定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.•老师提示:•切线的判定定理是证明一条直线是否是圆的切线的根据;作过切点的半径是常用经验辅助线之一.CDB●OA如图∵OA是⊙O的半径,直线CD经过A点,且CD⊥OA,∴CD是⊙O的切线.切线的性质定理•定理圆的切线垂直于过切点的半径.•如图∵CD是⊙O的切线,A是切点,OA是⊙O的半径,•∴CD⊥OA.老师提示:切线的性质定理是证明两线垂直的重要根据;作过切点的半径是常用经验辅助线之一.CDB●OA切线判定定理的应用•1.已知⊙O上有一点A,你能过点A点作出⊙O的切线吗?老师提示:根据“经过半径的外端,并且垂直于这条半径的直线是圆的切线”只要连接OA,过点A作OA的垂线即可.●O●A2.已知⊙O外有一点P,你还能过点P点作出⊙O的切线吗?●O●P经过圆外一点的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这个点到圆的切线长从圆一点外可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。切线长定理：PAOBPA•从一块三角形材料中,能否剪下一个圆,使其与各边都相切?老师提示:假设符合条件的圆已作出,则它的圆心到三边的距离相等.因此,圆心在这个三角形三个角的平分线上,半径为圆心到三边的距离.三角形与圆的位置关系ABCABC┓┓I●●●●●┓┓┓I●┓●三角形与圆的位置关系•这圆叫做三角形的内切圆.这个三角形叫做圆的外切三角形.•内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点,叫做三角形的内心.ABC●I切点外离:两圆没有公共点,并且每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做两圆外离.外切:两圆只有一个公共点,并且除了公共点外,每个圆上的点都在另一个圆的外部时,叫两圆外切.这个公共的点叫做切点.切点相交:两圆有两个公共点时,叫两圆相交.内切:两圆有一个公共点,并且除了公共点外,一个圆上的点都在另一个圆的内部时,叫两圆内切.这个公共点叫做切点.内含:两圆无公共点,并且一个圆上的点都在另一个圆的内部时,叫两圆内含.特例两圆的位置关系数量关系公共点外离没有公共点外切一个公共点相交二个公共点内切一个公共点内含公共点d＞R+rd=R+rd=R-rd＜R-rR-r＜d＜R+r圆与圆的位置关系:1)两圆的五种位置关系2)用两圆的圆心距d与两圆的半径R,r的数量关系来判别两圆的位置关系解：设⊙P的半径为R(1)若⊙O与⊙P外切，则OP=5+R=8R=3cm(2)若⊙O与⊙P内切，则OP=R-5=8，R=13cm所以⊙P的半径为3cm或13cm..PO1如图⊙O的半径为5cm，点P是⊙O外一点，OP=8cm。若以P为圆心作⊙P与⊙O相切，求⊙P的半径？知识精华:2.半径：正多边形外接圆的半径叫做这个正多边形的半径．１.中心：一个正多边形外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．OABFDCEG3.中心角：正多边形每以边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角．4.边心距：中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距．一、知识要点概述1、弧长公式和扇形面积公式n°的圆心角所对的弧长l和含n°圆心角的扇形的面积公式不要死记硬背，可依比例关系很快地随手推来：222360360180360扇形扇形∵∴Slnn=,=,πRπRnπRnl=,S=πR这样就不至于因死记硬背而出错．将弧长公式代入扇形面积公式中，立即得到用弧长和半径表示的扇形面积公式：1=2扇形SlR这一公式与三角形面积公式酷似．为了便于记忆，只要把扇形看成一个曲边三角形，把弧长l看成底、R看成底边上的高即可．2、弓形面积弓形面积可以看作是扇形面积和三角形面积的分解与组合，实际应用时，可根据图形直观选用下列公式：①当弓形所含的弧是劣弧时,如图(甲)，S弓形=S扇形OAB－S△AOB；②当弓形所含的弧是优弧时，如图(乙)，③当弓形所含的弧是半圆时，如图(丙)，1=2弓形圆SS3、圆锥的基本特征如图：①圆锥的轴通过底面的圆心，并且垂直于底面；②圆锥的母线长都相等；③经过圆锥的轴的平面被圆锥截得的图形是等腰三角形．如图，△SAB就是一个经过圆锥的轴的截面，简称为轴截面，它是一个等腰三角形，底边AB是底面圆的直径，腰是圆锥的母线，高是圆锥的高，它的顶角叫做锥角，锥角的大小反映了圆锥母线对于底面的倾斜程度．4、圆锥的侧面展开图圆锥的侧面展开图是一个扇形，其半径等于圆锥的母线长，弧长等于圆锥底面圆周长．如图，若圆锥的底面半径为r，母线长为l，则它的侧面积，即S侧=πrl，∴S全=S侧＋S底=πrl＋πr2=πr(l＋r)．1=2=,2侧Slπrπrl注意：扇形的弧长就是底面圆的周长，扇形的半径就是母线长．二、重难点知识归纳弧长公式、扇形面积公式、圆锥的侧面积和全面积．三、典型例题赏析例1、如图，△ABC是正三角形．曲线CDEF…叫做正三角形的渐开线，其中…的圆心依次按A、B、C循环，它们依次相连结．如果AB=1，那么曲线CDEF的长是多少？、、CDDEEF3.同圆或等圆中圆心角、弧、弦之间的关系:(1)在同圆或等圆中,如果圆心角相等,那么它所对的弧相等,所对的弦相等.(2)在圆中,如果弧相等,那么它所对的圆心角相等,所对的弦相等.(3)在一个圆中,如果弦相等,那么它所对的弧相等,所对的圆心角相等.ABDCO∵∠COD=∠AOB︵AB︵CD=∴∴AB=CD1、如图,已知⊙O的半径OA长为5,弦AB的长8,OC⊥AB于C,则OC的长为_______.OABC3AC=BC弦心距半径半弦长反思：在⊙O中，若⊙O的半径r、圆心到弦的距离d、弦长a中，任意知道两个量，可根据定理求出第三个量：CDBAO2：如图，圆O的弦AB＝8㎝，DC＝2㎝，直径C