经典功率谱估计

第十一章经典谱估计11.1概述11.2自相关函数的估计11.3经典谱估计的基本方法11.4经典谱估计的质量11.5经典谱估计的改进11.6经典谱估计算法比较11.7短时傅里叶变换请抓住并搞清楚如下四个问题：功率谱为什么要估计？如何估计？如何评价估计质量？如不理想，如何改进？11.1概述平稳随机信号功率谱的两个定义：随机信号的单个样本求均值运算求极限运算集总平均两者等效平稳信号()Xn单一样本(,)()xnixn可将看作能量信号，因此，可对它作傅立叶变换，并得到功率谱：()Mxn问题：的功率谱和单个样本的功率谱有何关系？和整个随机信号的功率谱有何关系？()Mxn()jxPe()jMPe()jXPe()jxPe()jXPe()Mxn截短()jMPe1.求极限：2.求均值：单一样本的功率谱不能收敛到所有样本的功率谱，因此必须有求均值运算，此即如下定义的来历：各态遍历信号也是如此。双求和变成单求和：证明了两个公式等效。所以自相关函数是集总自相关。证明：功率谱的两个定义都要求：样本无穷多，时间无限长，即需要集总平均。实际工作中，我们往往能得到的是：1.单一的样本；2.单一样本的有限长数据；问题：如何用这单一样本的有限长数据去估计原随机信号真实的自相关函数和功率谱11.2自相关函数估计目的：自身估计的需要；功率谱估计的需要集总自相关时间自相关定义：实际求出的自相关函数近似质量如何EstimationEstimateEstimator（估计子）估计方法：从估计方法上看，实际上是把随机信号“视为”单样本有限长的确定性信号。问题是：偏差自相关函数估计的质量：101ˆ()()()NmxnrmxnxnmN估计方法单个样本1.偏差来自定义所有样本所以：含义渐近无偏估计对固定的N，此结论给出了m的选取原则在数据上加矩形窗，长度为N，该矩形窗函数的自相关函数正是三角窗！注意矩形窗加在数据上，三角窗加在相关函数上，体现在估计的自相关函数的均值上。那儿来的三角窗？方差2.方差来自定义包含两项前面结果四阶统计量！由：最后导出：有：ˆ,bia[()]0ˆ,var[()]0NrmNrm渐近一致估计零均值高斯分布3.自相关函数的计算已知单个样本的N点数据估计ˆ()xrm两个方法:（1）直接按定义：ˆˆ()()ˆ(),(1)~(1)xxxrmrmrmmNN利用最大长度（2）利用FFT：Step1:将补个零得;()NxnN2()NxnStep2:对做FFT,得；2()Nxn2()NXk22()NXkStep3:对求幅平方，得；2()NXkStep4:由得，对其作IFFT,得。221()NXkN22()NXk思考：和有何关系自相关函数的另一个估计方法（估计子）：很容易证明：是的无偏估计，但方差性能不好。在一些谱估计的方法中，有时用到该公式。要求：很好掌握自相关函数的估计方法及估计性质。11.3经典谱估计问题的提出：对随机信号，我们往往只能得到它的：1.单一的样本；并且仅是2.单一样本的有限长数据；如何用这N数据去估计原随机信号真实的功率谱()Xn(,)()xnixn()jxPe1.周期图（Periodogram）法：经典谱估计中有两个基本的方法：1201ˆ()(),()()NnkNNPERNnXkxnWPkXkN思路：对做DTFT(DFT),得到频谱；对该频谱求幅平方，再除以N，即得到“周期图”功率谱，以此作为对真谱的估计。()Nxn2.自相关（Blackman-TukeyBT法）法:Step1Step2因为先要估计自相关函数，所以又称间接法。与此相对应，周期图法又称直接法。3.直接法和间接法的关系：需要考虑两种情况：（一）1MN（二）1MN数据的范围自相关函数的范围（一）1MN比较用两种方法的估计出的离散谱：2N点的谱，把所能估计出的自相关函数都使用上了，而估计自相关函数时，把N点数据也全都使用上了。2221ˆ()()NPERNPkXkN21ˆ()()PERNPkXkN对补N个零，做DFT,得到()NxnIFFT结论：在时，直接法和间接法估计的结果是一样的。1MN使用间接法时，往往取，这时二者是不一样的。因此，直接法可看作是间接法的特例。1MN不补零，思考：()Nxn即：21ˆ()()PERNPkXkNN点离散谱如何和相等？N点离散谱（二）1MN所以：加在自相关函数上。目的是将其截短。第二次加窗。相当于只用了部分自相关函数直接法和间接法之间的关系11.4经典谱估计的质量也分两种情况讨论1MN1MN主要考察的是均值方差无偏估计一致估计（一）、1MN周期图和自相关法是等效的，统一考虑1.偏差估计值的均值自相关函数估计的性质于是有：的真实功率谱；的频谱；的频谱；三角窗；注意：三角窗频谱恒为正最后有：由于如何理解这一结果所以：周期图和自相关法都是渐近无偏估计1MN因为：2.方差又遇到四阶矩问题，直接求解困难。（1）假定是高斯零均值的随机过程；思路：（2）求在处的协方差：定义：有关方差公式的推导不作要求。主要是掌握结论，并用来说明问题。（3）令，则11ˆˆˆcov[(),()]var[()]PPP求解的关键推导的结果：方差（1）时N经典功率谱估计不是一致估计0()D2B2B解释：22BB0()D0()D推导的结果：协方差假定在主瓣外为零；那么，在频率范围内：有（2）若的主瓣宽度为；0()D2B2B01()D1212B02()D12B01()D1202()D在处，说明：随机变量在处不相关;原因：功率谱的定义中即要求极限，又要求均值；而实际的估计方法，仅靠单次实现的有限长，无极限、又无均值运算，因此产生上述问题。设想：增大数据长度，效果如何后果：使估计出的谱曲线起伏加剧；增大，的主瓣（）将变窄，因此，引起不相关的区域进一步增多，从而引起谱曲线的更加起伏，实际上是方差变大。分辨率和方差（体现在曲线起伏上），是经典谱估计中的一对矛盾。B通常，增加，会提高谱的分辨率，对经典谱估计来说，增加固然会有利于提高分辨率，但谱曲线的起伏令使用者难以接受，这是经典谱估计的一个致命缺点。对白噪声在不同长度情况下估计出的谱曲线：00.250.5-40-30-20-1001000.250.5-20-1001000.250.5-40-30-20-1001000.250.5-40-30-20-10010N＝16N＝32N＝64N＝128经典谱估计质量的讨论：(二)、：加在估计的自相关函数上，ˆ()xrm周期图谱估计和自相关法的谱估计不再一样！1.偏差谁的主瓣比较宽()()NW假定1：是慢变谱，在的主瓣内近似为一个常数假定21()2(0)1Vdv窗函数的一般要求也是渐近无偏估计！2.方差：考虑特殊情况，为白噪序列，其功率谱应为常数，即时对白噪声功率谱估计的方差2()P时对白噪声功率谱估计的方差：方差改进之比两种情况下估计的方差之比：取哈明窗：1.在加上后，估计的谱的偏差劣于M=N－1时估计的谱，而方差优于M=N－1时估计的谱；（2）在的范围上，因为B变大，不相关的点变少。2.上加窗以后，估计谱方差的改进体现在两个方面：（1）估计的谱曲线变得平滑些原主瓣宽，取决于现主瓣宽，取决于3.方差的减小是以牺牲分辨率为代价的！若分辨率能满足要求，这样做是有意义的。即：既保证了分辨率，又使估计出的谱较为平滑。11.5直接法估计的改进任务：改进对估计的性能；目标：主要是改进方差的性能方法：平滑与平均；用对的加窗来实现1.平滑（Smoothing)平滑理论依据:L个独立同分布随即变量和的分布，方差减小倍，即：将一个较长的信号分成若干段，对每一段求功率谱，每一段的功率谱都是随机变量，然后平均之。类似相干平均，用以弥补经典谱估计中缺少的求均值运算。注意：信号应是平稳的，且每一段的统计特性基本一样。2.平均（Average）（1）.Bartlett平均将分成段，每段点，即?ML思考：如何确定或者每一段谱平均后谱平均后估计出的功率谱的性能如何？在数据上加了数据窗宽度是结果，在自相关函数上引入了窗函数?ML思考：如何确定或者：的自相关；类似引入的统计性能分析：（1）偏差增大，分辨率进一步下降；（2）方差减小，但到不了倍2.Welch平均特点：交叠分段若重叠一半，段数变大：不一定是矩形窗，如Hamming窗归一化因子，保证无偏估计Welch平均是常用的经典谱估计方法，MATLAB中有相应的命令()()PEREPPWelch平均法的方差比Barttlett方法有明显的减小，而偏差几乎没有减小3.Nottall法：平滑与平均相结合假定1：是慢变谱，在的主瓣内近似为一个常数）假定221()12Wd三种改进方法:H(z)H(z)11.6总结与比较请掌握如下的方法：白噪声1白噪声2两个输出都是随机信号由自己指定()Hz令：则：构成一复信号得到的功率谱；()yn在的基础上再加上四个复正弦，归一化频率分别是：()yn调整，可以得到不同的信噪比，本例取这样，的真实功率谱可得到，并可画出。我们可以此作为比较各种算法的依据。实际工作中，对信号总取有限长，如，由这128点去“求”功率谱，得到的当然是估计值。421()()2()kxykkPPA-0.5-0.2500.250.5-60-40-200(a)-0.5-0.2500.250.5-60-40-200(b)-0.5-0.2500.250.5-60-40-200(c)-0.5-0.2500.250.5-60-40-200(d)（a）真实谱；（b）周期图；（c）Welch平均，四段，无迭合，Hamming窗；（d）同c,但迭合16点-0.5-0.2500.250.5-60-40-200(e)-0.5-0.2500.250.5-60-40-200(f)（e）BT法，M＝32；（f）BT法，M＝16经典功率谱估计的特点：1.物理概念明确，可用FFT快速算法。所以是大众化的谱估计方法；2.对周期图，分辨率受到的限制；对自相关法，分辨率受到的限制；3.方差性能不好，不是一致估计，N增大时谱曲线反而起伏加剧；4.改进方法是“平滑”与“平均”，改进的目的是减小方差，但牺牲了分辨率；5.注意窗函数的作用与影响：加在数据上的窗函数：产生加在自相关函数上的延迟窗：各个窗函数的作用及影响是什么？11.7短时傅里叶变换平稳信号：均值、方差及均方都不随时间变化，自相关函数仅和两个观察时间的差有关，和观察的具体位置无关；非平稳信号：均值、方差都随时间变化，自相关函数也和观察的时间位置有关，信号的频率也随时间而变化，如语音、脑电及其他含有较多突变分量的信号。其一阶、二阶统计量和功率谱的估计显然不能简单地使用平稳信号的估计方法，必须考虑其时变因素。方法：分段，每一小段可看作是平稳的。概念：*,*STFT(,)()()()()(),()xtjjtxgdxgtedxgte)()(2RLtx1||)(||g其STFT定义为:并且窗函数应取对称函数。式中,()()jtggte)()(3tgxτx(τ)0)()(1tgx)()(2tgx1t2t3tFTFTFTΩ01t2t3tt22STFT(,)()()(,)jxxtxgtedSt谱图是恒正的，且是实的。概念：“谱图（spectrogram）”1||)(||g由于xxEdtdtS),(所以谱图是信号能量的分布。考虑是随机信号的一个样本，谱图可实现信号功率谱的估计。注意，它们是的函数()xt(,)t将信号变换为一个二维函数的方法称为信号的联合时频分析：()xt(,)t*,STFT(,)()()xttxgd