05-结构力学——结构动力学2

结构力学第十五章结构动力计算2/67单自由度体系运动方程)(tFkyycymE单自由度体系自由振动0kyycym022yyymk2mc2第三节单自由体系自由振动第十五章结构动力计算3/670kyym可以与考虑阻尼的情况加以对比，以便更好地了解阻尼的作用。这种理想情况所得到的某些结果，可以相当精确地反映实际结构的一些动力特性；为什么要讨论这种简单模型？02yymk21、无阻尼的自由振动(＝0)第三节单自由体系自由振动第十五章结构动力计算4/67tAtAtysincos)(21振动将以一个连续地定常幅度振动。经过一固定时段又恢复原运动状态。A0ty)sin()(0tAtyyAaωt+α第三节单自由体系自由振动1、无阻尼的自由振动(＝0)第十五章结构动力计算5/67tAtAtysinωcos)(21通过初始条件确定待定系数tyty00sincos01yA02yA由y0引起的由引起的0y第三节单自由体系自由振动1、无阻尼的自由振动(＝0)第十五章结构动力计算6/6720200yyA00yyarctan通过初始条件确定待定系数)sin()(0tAtyA0——振幅（amplitudeofvibration）——初始相位角。总动力位移A1A2A0第三节单自由体系自由振动1、无阻尼的自由振动(＝0)第十五章结构动力计算7/67称工程频率（单位时间内振动次数）Tf12T称周期（振动一次所需的时间）称圆频率（2秒内振动次数，或单位时间内转的周数）fT22第三节单自由体系自由振动1、无阻尼的自由振动(＝0)第十五章结构动力计算8/67mkωWgm1sygWkgmgW1kkWWys自振频率和周期的特性：①只与质量和刚度有关，与荷载无关；是结构动力反应的重要标志，系本身固有的属性。②刚度越大，频率越高，周期越短；质量越大，频率越低，周期越长。第三节单自由体系自由振动1、无阻尼的自由振动(＝0)第十五章结构动力计算9/67例题:列振动方程，求自振频率和周期。mEIEIEIEIEA=∞lll12i/l2k解：EImlTmlEImkylEIymlEIlik4824804848/124333326i/lkΔ=1第十五章结构动力计算10/67例题:列振动方程，求自振频率和周期。解：EImlTmlEImkylEIymlEIlik122224024224/12233332EIEI1=∞lmmEIkk12i/l2Δ=1第十五章结构动力计算11/67例题:求自振频率和周期。解：EIlEAl33mEI1=∞EAllEIF=1lN=1)(EIlEAlmT323)(EIlEAlmm3113第十五章结构动力计算12/67例题:列振动方程，求自振频率和周期。l/2ll/2l/2EA=∞E1I1=∞EIEIαα1ym2ymliy/32NA第十五章结构动力计算13/670)(2)(021lNlymlymMA：2221/62liyNlylyαliy/32NA1ym2ym第十五章结构动力计算14/6706222imllm32252426mlEImllmi02622mllmi02第十五章结构动力计算15/67li/6l1i306222imllm0KJ222mllmJ——产生单位转角位移需要的力偶iK6——转动惯量第十五章结构动力计算16/67AJK0KJJK具有共同的自由度时，各质点的质量或转动惯量才能相加。第十五章结构动力计算17/67ll/2l/2EI=∞mm312mm122223312mllmlmJ2klKmkJK例题:求自振频率和周期。解第十五章结构动力计算18/670kyycym022yyymk2mc2齐次线性微分方程的特征方程0222)(,1221微分方程的解按特征根的性质不同，具有三种不同形式：第三节单自由体系自由振动2、有阻尼的自由振动(0)第十五章结构动力计算19/671小阻尼的情况2d1)(1两个特征根为复数)sincos()(ddtCtCetyt21)sincos()(dd00d0tyytyetyt称为“有阻尼振动的圆频率”第三节单自由体系自由振动2、有阻尼的自由振动(0)第十五章结构动力计算20/67)sin()(dtAetyt2d0020yyyA000darctanyyytyotAe第三节单自由体系自由振动2、有阻尼的自由振动(0)第十五章结构动力计算21/672大阻尼的情况)(1特征根为两个负实数)shch()(ddtCtCetyt21由于不含简谐振动因子，说明体系受到初始干扰后，能量在恢复平衡位置的过程中全部消耗于克服阻尼，不足以引起振动。第三节单自由体系自由振动2、有阻尼的自由振动(0)第十五章结构动力计算22/673临界阻尼的情况)(1特征根为一对重根)()(tCCetyt21tetytyty001])([)(这条曲线仍具有衰减性，但不具有波动性。tyy0θ000vtg结论：由振动过渡到非振动的临界状态。第三节单自由体系自由振动2、有阻尼的自由振动(0)第十五章结构动力计算23/67临界阻尼常数cr为ξ=1时的阻尼常数。（振与不振的分界点）mc2mkmcr22rcc阻尼比。反映阻尼情况的基本参数。)()()(rcc临界阻尼系数实际阻尼系数阻尼比第三节单自由体系自由振动2、有阻尼的自由振动(0)第十五章结构动力计算24/67otx大阻尼临界阻尼三种阻尼运动情况比较小阻尼临界阻尼达到平衡位置的时间最短，但仍不能超过平衡位置。第三节单自由体系自由振动2、有阻尼的自由振动(0)第十五章结构动力计算25/67有阻尼自由振动的重要性质：固有频率与结构的质量和刚度有关，要改变频率只能从质量和刚度着手；频率是结构动特性的重要数量标志。两个外表相似，但频率大异的结构，其动特性亦相差很大；两个外表大异，但频率相近的结构，其动特性亦相差无几。要完全确定体系的振动位移，还需确定积分常数，它不是体系的固有特性，取决于初始条件有阻尼自振频率小于无阻尼自振频率。但通常两者相差甚小，可忽略其影响。第三节单自由体系自由振动2、有阻尼的自由振动(0)第十五章结构动力计算26/67)sin(dtAeyt发现1/衰减性振动；2/非周期性振动；3/质点两次通过平衡位置的时间间隔相等dd2T准周期tyotAe3、确定体系阻尼比的方法第三节单自由体系自由振动第十五章结构动力计算27/67①阻尼对自振频率的影响.在工程结构问题中，若0.01ξ0.1，可近似取:TTdd,2d1随阻尼比增加而降低第三节单自由体系自由振动3、确定体系阻尼比的方法第十五章结构动力计算28/67②阻尼对振幅的影响.结果：振幅按等比级数递减.振幅随时间衰减，考察相邻两个振幅的比1dd()kktTktTkAAeeAAe确定阻尼比的方法：称振幅的对数衰减率（常数）1lnkkAA令dT则第三节单自由体系自由振动3、确定体系阻尼比的方法第十五章结构动力计算29/67kmmc221112kkkknknkkknAAAAAAAAdln()kknAnnTA当体系由某一时刻tk，经过n个准周期后，通过实测Ak和Ak+n可计算阻尼比，从而确定阻尼系数c。112dlnlnkkknknAAnTAnA第三节单自由体系自由振动3、确定体系阻尼比的方法第十五章结构动力计算30/67例题：单层建筑结构计算简图做振动试验。在横梁处加一水平力FP=98kN，门架发生侧向位移A0=0.5厘米，然后突然释放，结构开始自由振动。测得周期Td=0.5秒，5周后测得振幅A5=0.164厘米。求阻尼系数c,并确定几周后振幅小于0.05厘米。FP5lnAδA0505AA，mc2)(5δ2nπξ1第十五章结构动力计算31/67(1)由于阻尼对周期影响很小，所以)(50ds.TT5n0511050035525231450164.ln()ln()...AAmc222k0P22AFT5110710kg/s.(2)设经过na周，振幅将降到0.05厘米以下，由012lnaanAnA05050ln0355021...012lnaanAnA113210.第十五章结构动力计算32/67)(tFkyycymEmtFyyy)(2E2)()()(21tytyty第四节单自由体系受迫振动1、单自由体系受迫振动的一般解求特解的基本思路将动荷载的作用看成是一系列在质点上暂短停留的不变的力（脉冲）的集合，由叠加可得到任意荷载作用的响应。第十五章结构动力计算33/67ymdEd()dSF由静止状态考虑一个瞬时冲量的影响。瞬时激振作用效果就在于使质点在τ时刻产生一个初速度，而初位移为零。质点作以此初始条件引起的自由振动。0dd()sin()yyttdS=FE()ddFE(t)ttE()dd()Fym第四节单自由体系受迫振动1、单自由体系受迫振动的一般解2E2()d()(d)Fym0第十五章结构动力计算34/67整个加载过程可以考虑成是由一系列瞬时冲量对同一时刻t的位移的影响：E01()()sin()dtytFtmFE(t)tE0()h()dtFt1h()sin()ttm脉冲响应函数t第四节单自由体系受迫振动1、单自由体系受迫振动的一般解第十五章结构动力计算35/67方程全解＝齐次解与特解之和dd()sin()tytAetE01()dd()sin()dttFetm有阻尼时()sin()ytAtE01()sin()dtFtm第四节单自由体系受迫振动1、单自由体系受迫振动的一般解无阻尼时第十五章结构动力计算36/671.简谐荷载作用下的动力响应2E02sinFyyytm()sin()dtytAet0ddsin()tAet)sin(0tA前两项是以d为频率的衰减自由振动，很快就消失掉了；最后项是以为频率的常幅振动，称稳态振动，与初始条件无关。第四节单自由体系受迫振动2、几种常见荷载作用下的动力响应第十五章结构动力计算37/67其中22000dyyAy000dtanyyy由初始条件确定22221dtan[()]第四节单自由体系受迫振动2、几种常见荷载作用下的动力响应频率比第十五章结构动力计算38/67E002222112()()FAmstyE02stFym——荷载幅值产生的静位移222)2()1(1——位移动力放大系数212