数理方法试卷(A08海科A)-2010---答案

cosix的值为（A）A.chx；B.shx；C.2xxeei--D.2xxeei-+1、幂级数1(3)nnnnz的收敛半径为（B）A.B.0C.1eD.2、函数()fz以b为中心的洛朗展开的系数公式为（A）A.1()12()kklfzCdzizbp+=-òi；B.()()!kkfbCk=；C.()12klfCdibVVpV=-òi；D.1()!2()kklfkCdibVVpV+=-òi3、()tcht的Laplace变换函数为（D）A.22pB.22ppC.22pD.22pp5、内部无热源的一维热传导方程为（A）A.20txxuauB.20ttxxuauC.20txxuauD.2()ttxxuaufx6、下列是第三类边界的条件的是（C）A.0xluxt，B.xaukqtnC.xxauHuD.0tuxyztxyz，，，，，7、以下实变函数定积分2411xdxx的值为（B）A.2B.2C.22D.228、定解问题20000,000ttxxxxltttuaufxtxltuuuxux（，），，（）,（）的本征函数为（A）A.sinnnxXxl（）B.cosnnxXxl（）C.222sinnnxXxl（）D.222cosnnxXxl（）二、判断题（8分）1、复变函数在某一点可导，则在该点必然解析。（×）2、对洛朗级数来讲，其展开系数可以用公式()0()!kkfzak求出，其中0z是函数的奇点。（×）3、第一类边界条件给出的是边界上场量的法向导数的值。（×）4、稳定场问题是关于空间坐标的偏微分方程。（√）三、填空题（16分）1、函数221(1)zez-在1z=处的留数为2e。2、卷积sinhtt*的值为sinhtt-。3、积分32212cossincos2cosxixyxxexxedxdyxe=2p。4、如下初值问题21000,,0,(,)cos,(,).ttxxtttuauxtuxtxuxte-==ì-=-??ïïïíï==ïïî的解为(,)uxt=cos()costatxe+。四、计算题（52分）1、（8分）试将函数1()1fzz=+按下列要求展开成幂级数，并指出展开级数的名称和收敛范围。1.在()fz的孤立奇点的去心邻域展开；2.以zi=为中心展开；解：1.1()1fzz=+仅有唯一的孤立奇点：1z=-，于是在孤立奇点的去心邻域01z+?中的展开式为1()1fzz=+这是一仅有负一次幂的Laurent级数。（3分）2.由于奇点1z=-与展开中心zi=的距离为2，故以zi=为中心能在如下两个区域中展开：a．在2zi-中1001111()1()1111()(1)1[]()11(1)kkkkkkfzzizziiiiziziiiiゥ+=====-+-+++++---==-+++邋这是一个Taylor级数。b.在2zi-中11101111()1()1111(1)(1)(1)(1)()()kkkkkkkkfziziiziziiiziziゥ--+====+-++-+-=-+=-+--邋这是一具有无穷多项负幂的Laurent级数。（5分）2、（8分）试用留数定理计算积分：2sin45xIdxxx¥-?=++ò解：21()45fzzz=++的奇点为2zi=-?，且当z时()0fz®（2分）故有(2)222[(2)]24524ixiziizieedxiresfieixxzpp¥-+-?=-+=-+=+++ò122(cos1sin1)2ieiiepp--=?-（4分）从而有2sinsin145xIdxxxep¥-?-==++ò（2分）3、（10分）利用卷积定理证明1222sin()2stLatsaa-轾犏=犏+臌（4分）（6分）4、（12分）若定义函数()fx的Fourier变换为[()]()ixFfxfxedxw¥--?=ò1.求[()]Fxd=？2.求()xd的Fourier积分表达式。3.证明[sin][()()][cos][()()]FaxiaaFaxaapdwdwpdwdw=+--=++-1.解：0[()]()1ixiFxxedxewwdd¥---?===ò（3分）2.解：11()[()]22ixixxFxededwwddwwppゥ-??==蝌（3分）3.证明：因为()[cos][sin][]2()2()iaxiaxixiaxFaxiFaxFeeedxedxaawwpdwpdw¥--?¥--?+==?==-=-òò（2分）类似可得[cos][sin]2()2()FaxiFaxaapdwpdw-=--=+（2分）将以上两式相加除以2即得[cos][()()]Faxaapdwdw=-++相减除以2i即得[sin][()()]Faxiaapdwdw=+--得证。（2分）5、（14分）半径为a的无限长圆柱形均匀导体，体内无热源，柱面温度u(a,φ)=f(φ)，求稳定时导体内的温度分布。解：定解问题：200,02(,)()(1)urauaf令(,)()()urRr代入（1）式，得：''2'''()()0(2)0(3)rRrRR（2分）对需补充自然边界条件，由物理场的单值性得：,(,2)urur——周期条件为简单,0(,2)urur将(,)()()urRr代入得：()(0)()(2)(0)(2)RrRr关于的本征值问题为''()()0(4)(0)(2)（3分）i）0时，()AeBe显然A+B22AeBe不是本征值ii）=0时，()AB代入(0)(2)得：20,AABBA任意=0是本征值，()Aiii）0时，()cossinAB代入(0)(2)，得:cos2sin2AAB比较A.B的系数，1cos2220sin222mmmnn2,1,2,...()cossinmmmmmmAmBm综合ii）iii），本征值问题（4）的解为：2,0,1,2,...()cossinmmmmmmAmBm（3分）解方程（3）：2'''20mmmrRrRmR令,ttredredt代入，得：2220mmdRmRdt解为：0000,()0,()mtmtmmmmRtCDtmRtCeDe0000,()ln0,()mmmmmmRrCDrmRrCrDr由于原点处的温度为一有限值，即(0,)u（2分）(0,)(0)()()uR为有限值(0)R为满足有界条件00,0,1,2,...mDDm2'''20(0)mmmrRrRmRR的解为(),0,1,2,...mmRrrm（1）的解为：0(,)cossinmmmnurrAmBm代入r=a时，定解0(,)cossin()mmmnuaaAmBmf（4分）200011()2Afda202011()cos11()sinmmmmAfmdaBfmda