导数与微分习题课

第三章变量变化速度与局部改变量估值问题—导数与微分习题课主要内容一、目的要求二、内容结构三、典型例题四、练习题☆理解导数概念与的几何意义,知道导数的物理意义，了解可导与连续性的关系；☆理解函数的微分概念，掌握微分法则，会求函数的一阶微分,掌握微分在近似计算中对简单问题应用.☆熟练掌握导数的基本公式，四则运算法则，复合函数及隐函数的求导方法;☆理解高阶导数的概念，会求简单函数的n阶导数；目的要求重点：导数与微分的概念及几何意义，求函数（包括复合函数、隐函数）的导数.难点：对隐函数求导.重点与难点知识网络图导数与微分导数导数的概念导数的定义导数的几何意义与物理意义高阶导数单侧导数连续与可导的关系导数的运算法则及导数公式导数的四则运算法则导数公式复合函数求导法则隐函数求导法则微分微分的概念微分的定义微分的几何意义可导与可微的关系微分公式和运算法则微分公式微分的运算法则微分在近似计算中的应用00000()()limlimxxxxfxxfxyyxx可导一定连续，连续不一定可导.2[()()]()()[()()]()()()()()()()()()[](()0)()()uxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxuxvxuxvxvxvxvx复合函数的导数，等于函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数.设函数在点处有增量如果的增量可写为其中是与无关的常数为的线性主部是的高阶无穷小则称函数在点可微并定称为在点处的微分记义作d或d(),(),,(),(),(),().yfxxxyyyAxoxAxAxyoxxyfxxAxyfxxyfx[()()]()()()()uxvxuxvxuxvx例求e的导数1()(sincos).xfxxx解e[(sincos)]xyxxee()(sincos)(sincos)xxxxxx(sincos)(cossin)xxxxxxee提示与分析：利用导数的乘法法则求解.例题2cos.xxe222222yxxyxyx例抛物线上哪一点处的切线与直线平行？哪一点处的法线与直线平行？提示与分析：,.y根据导数的几何意义表示出抛物线上任一点的切线斜率然后根据已知条件列方程、解方程即可即要满足222,x解抛物线上任一点处切线的斜率为22,kyx解得2,2.xy要使得某一点的切线与平行，2yx222(0,2)2.yxxyx所以抛物线上点处的切线与直线平行要使得某一点的法线与平行，2yx即要满足122,2x解得317,.416xy231722(,)4162.yxxyx所以抛物线上点处的法线与直线平行22222yxxyxyx抛物线上哪一点处的切线与直线平行？哪一点处的法线与直线平行？222yxx2yx解一cos(cot)()sinxxx2(cos)sincos(sin)sinxxxxx222sincossinxxx221csc.sinxx3cot.yx例求的导数提示与分析：利用导数的除法法则求解.2()()()()()[](()0)()()uxuxvxuxvxvxvxvx求的导数cot.yx解二1(cot)()tanxx2(1)tan1(tan)tanxxx220tan1sectanxxx221sectanxx2221coscossinxxx221csc.sinxx2314ln(2).2xyxx例求函数的导数解211ln(1)ln(2),23yxx21112213(2)yxxx21.13(2)xxx提示与分析：利用复合函数求导法则求解.链式法则52405351()0.xyxyxxyyxxy例求由方程所确定的隐函数在处的导数提示与分析：利用隐函数求导法则求解.解方程两边对求导得：,xdddd524(35)(1)yxyxxxx即524()(3)5()10yxyx4235(63)2010yyxyxyx即423(53)62010yxyxyx解得：342620153xyxyyx时，52435101yxyxxxy524()(3)5()10yxyx3042162011(0,1).535xyxyxyyx55[()]yyx106(12).xyx例求函数的导数此函数的形式为应该用对数求导法()[()],.xfx提示与分析：解等式两边取对数得ln(10)ln(12)yxx求导得上式两边对x12ln(12)(10)()12yxxyx2[ln(12)(10)]12yyxxx102(10)(12)[ln(12)].12xxxxx10(12)xyx12ln(12)(10)()12yxxyx()17,(0)_______.(2007)23nyyx例设函数则年考研题解234()(1)(23)22(23)46(23)8(1)(!)(23)2nnnnyxyxyxynx.n根据阶导数的定义，逐阶求导数，然后总结规律提示与分析：()(1)1(2)!(0)(1)(!)32.3nnnnnnnyn1(2)!3nnn提示与分析：πππππ()()()636066360fff000()()()fxxfxfxxππ6360sin38030.利用微分计算的近似值例()sin3030fxx该题是求函数在点处的值.000sin3030()()()xfxxfxfxx0()sin,,6360fxxxx解设取，ππ()()66360ffπππ1()sin,662f而ππ13sin30300.5076.22360x于是π663()(sin)cos,62xxfxxπππ、求函数的导数1sinln.yxxx解(sinln)yxxx(sin)lnsin(ln)xxxxxx1(sincos)lnsinxxxxxxx(sincos)lnsin.xxxxx[()()]()()()()uxvxuxvxuxvx提示与分析：利用导数的乘法法则求解.练习题提示与分析：利用复合函数求导数的链式法则求解.ddddyvyvx解22arctan,1xyvvx222212(1)2(2)1(1)xxxvx222221222(1)1()1xxxx22.1x、求复合函数的导数222arctan.1xyx提示与分析：先用利用隐函数的求导法则，然后利用复合函数求导法则对方程两边分别求导.解等式两边对求导：xeeyyyxyee(1)yyxyee.1yyyx、求隐函数e的导函数31.yyx对上式整理得：提示与分析：利用高阶导数的定义求解.、设e，求使得的点24()()0.xfxxfxx解e2()()xfxxee222xxxe2(12)xx()fxee222(12)2xxxe2[(12)]xxe22(22)xx1.x()0fxe22(22)0xx220xe2(0)x()fxe22(22)xx提示与分析：利用对数求导法.、设求15(1),.xyyx1(1):xyx解先对等式两边取对数1lnln(1)yxx再利用隐函数的求导法则对求导:xyy211ln(1)11xxxx11ln(1)1xxy111(1)[ln(1)].1xxxx提示与分析：若令则要用到商的求导公式，较麻烦，应该先用公式然后再求导2211ln,,11lnlnln,.xyuuxvvuu、设求考研题22116ln,.()11xyyx22[ln(11)ln(11)]xx复合函数求导解2211(ln)11xyxlnlnlnvvuu2222(11)(11)1111xxxx2222(11)1(11)1xxxxxx222222[].1(1)11xxxxx化简