(南理工张俊举老师)半导体物理作业及答案

半导体物理学作业张俊举2010年11月28日第O章半导体中的晶体结构1、试述半导体的基本特性。答：①
室温电阻率约在10-3~106Ωcm，介于金属和绝缘体之间。良好的金属导体:10-6Ωcm；典型绝缘体:1012Ωcm。②
负的电阻温度系数，即电阻一般随温度上升而下降；金属的电阻随温度上升而上升。③
具有较高的温差电动势率，而且温差电动势可为正或为负;金属的温差电动势率总是负的。④
与适当金属接触或做成P-N结后，电流与电压呈非线性关系，具有整流效应。⑤
具有光敏性，用适当的光照材料后电阻率会发生变化，产生光电导；⑥
半导体中存在电子和空穴(荷正电粒子)两种载流子。⑦
杂质的存在对电阻率产生很大的影响。2、假定可以把如果晶体用相同的硬球堆成，试分别求出简立方、体心立方、面心立方晶体和金刚石结构的晶胞中硬球所占体积与晶胞体积之比的最大值。【解】简立方结构，每个晶胞中包含1个原子，原子半径为/2a，比值为334326aa体心立方结构，每个晶胞中包含2个原子，原子半径为3/4a，比值为334323438aa面心立方结构，每个晶胞包含4个原子，原子半径为2/4a，比值为334243426aa金刚石结构，每个晶胞包含8个原子，原子半径为3/8a，比值为3343838316aa３、什么叫晶格缺陷？试求Si肖特基缺陷浓度与温度的关系曲线。【解】在实际晶体中，由于各种原因会使结构的完整性被破坏，从而破坏晶格周期性，这种晶格不完整性称为晶格缺陷。４、Si的原子密度为223510/cm，空位形成能约为2.8eV，试求在1400OC、900OC和25OC三个温度下的空位平衡浓度。【解】112219231432222192310333221923exp(/)510exp2.81.60210/1.381016731.8710exp(/)510exp2.81.60210/1.381011734.7810exp(/)510exp2.81.60210/1.3810BBBNNWkTcmNNWkTcmNNWkT2532982.44100cm５、在离子晶体中，由于电中性的要求，肖特基缺陷总是成对产生，令Ns代表正负离子空位的对数，Wv是产生1对缺陷需要的能量，N是原有的正负离子的对数，肖特基缺陷公式为/exp2VsBWNNCkT，求(1)产生肖特基缺陷后离子晶体密度的改变(2)在某温度下，用X射线测定食盐的离子间距，再由此时测定的密度计算的分子量为58.4300.016而用化学法测定的分子量是58.454，求此时Ns/N的数值。【解】(1)设未产生肖特其缺陷时离子晶体体积为V，则产生率肖特基缺陷后体积为(1/)NsNV，因此产生肖特基缺陷后离子晶体密度降低到原来的NNsN(2)通过X射线衍射测定的分子量不包含肖特基缺陷的影响，通过化学法测定的分子量会受到肖特基缺陷的影响，此时4458.45410.00041(1.3710~6.8510)58.430NsN。第一章半导体中的电子状态1对于晶格常数为2.5×10-10m的一维晶格，当外加电压为102V/m和107V/m时，试分别计算电子从能带底运动到能带顶时所需的时间。解：/00346191081312()1.054103.148.310()1.6102.5108.310;8.310TadkFdtdtdkFTdtdkFqEaTsEETsTs分别代入=2设晶格势场对电子的作用力为FL，电子受到的外场力为Fe，试证明*0eneLFmmFF式中，*nm和0m分别为电子的有效质量和惯性质量。解：设V为电子的速度，则0**0eLneeneLdVmFFdtdVmFdtFmmFF3根据图示的能量曲线的形状，试回答以下问题(1)请比较在波矢0k处，I、II、III能带的电子有效质量的大小关系，它们的符号分别是什么？(2)设I、II为满带，III为空带，若II带的少量电子进入III带，则在II带形成同样数量的空穴，那么II带中的空穴的有效质量*pm比III带中的电子有效质量*nm大还是小？【解】(1)电子的有效质量*nm与22()dEkdk成反比，在0k处，能带III的曲率最大，所以电子有效质量最小；能带I的曲率最小，所以电子有效质量最大。能带II的有效质量为负数。(2)II带的少量电子进入III带后，将占据其带底附近的状态；而少量空穴处于第II能带的带顶附近的状态，空穴的有效质量定义为电子的有效质量的负值，有图可知，2222()()IIIIIdEkdEkdkdk所以，II带中的空穴有效质量*pm大于III带中的电子有效质量*nm。4题目：在量子力学中，晶体中电子的波函数可以表示为平面波的线性叠加()kr()()hhikKriKrikrhhhhakKeeakKe请用该式证明:nkK和k描述的是同一电子状态的，其中nK是晶体的倒格矢。证明：固体物理知识可以知道，电子的波函数是无数组平面波的线性叠加，可以表示为：kr()hiKrikrhheakKe其中：()()hiKrkhhurakKe()()kknururRn()()()()hnliKrkKhnhikKrllurakKKeakKe()r()()()()nnnlikKrkKkKikikrlklreureakKer上式说明：nkK和k态实际是同一电子态。同一电子态对应同一个能量，所以又有：()()nErEkK5、题目：根据量子力学知道，晶体中电子的平均运动速度为30()()drimkkvrr式中()kr为晶体中电子的布洛赫波函数，()kr为其共轭。请用薛定谔方程证明1()Ekvk证明：布洛赫波函数为()()iuekrkkrr将波矢空间梯度算符kxyzkkkijk作用到布洛赫波函数上，可得()()()iieukrkkkkkrrrr薛定谔方程为220()()()()()2UEmkkkrrrkr将算符k作用到薛定谔方程两侧，得(1)222200()()()()()()22()()()()()()iiiieuUiUeummiEEeuEkrkrkkkkkkkrkkkkkrrrrrrrrrkrkrrk（1）为薛定谔方程的右侧部分，将（1）用薛定谔方程的左侧部分代替，并进行左右侧内容的对调，可得2202222002220()()()()()2()()()()()()()()22()()()()()2iiieuUeuEeumiUiUiEmmiiEmkrkrkrkkkkkkkkkkkkkkkkrrrkrrrrrrrrrrrkrrrrrk因为()ieukrkkr也为布洛赫波函数，所以220()()()()()02iiieuUeuEeumkrkrkrkkkkkkrrrkr又因为222()()()2()()iiiiieueuieukrkrkrkkkkrrrkrrkrrr222()2()2()()2()()iiiiiieuieuieueuieukrkrkrkrkkkkkkrkrrkrrrkrrkrrr而()()()iiieueukrkrkkkrkrr所以222()()()()iiikkkrrrrr所以222020()()()()()2()()()0iiEmEimkkkkkkkrrrrrkrrk上式乘以()kr并对晶体进行积分2*30()()()()0iEdrmkkkkrrrk所以*3*301()()()()()Edrdrimkkkkkrrkrr*3*3111()()()()()()()EdrEdrEkkkkkkkrrkkrrk所以1()Ekvk6、已知一维晶体的电子能带可写成22071()(cos2cos6)88hEkkakama式中：a为晶格常数。试求：（1）能带的宽度（2）电子的波矢k状态时的速度（3）能带底部和顶部电子的有效质量【解】（1）由E（k）关系得22301(3sin2sin2)4dEhkakadkma令dEdk=0得21sin212ka所以1211cos212ka求2222201(18sin2cos2sin2)2dEhkakakadkm当1211cos212ka时，22dEdk0对应E(k)极小值当1211cos212ka时，22dEdk0对应E(k)极大值求得minE和maxE即可得能带宽度将1211cos212ka代入得322maxmin011212hEEEma（2）3011()(3sin2sin2)4dEhvkkakahdkma（3）能带底和顶部电子有效质量分别是12*02214.18ndEmmhdk带底带底12*02214.18ndEmmhdk带顶带顶7、设晶格常数为a的一维晶格，导带极小值附近能量Ec（k）和价带极大值附近能量Ev（k）分别为：222200(1)()3ChkhkkEkmm＋和22221003()6vhkhkEkmm－；m0为电子惯性质量，k1＝1/2a；a＝0.314nm。试求：①禁带宽度；②导带底电子有效质量；③价带顶电子有效质量；④价带顶电子跃迁到导带底时准动量的变化。[解]①禁带宽度Eg根据dkkdEc)(＝0232mkh＋012)(2mkkh＝0；可求出对应导带能量极小值Emin的k值：kmin＝143k，由题中EC式可得：Emin＝EC(K)|k=kmin=2104kmh；由题中EV式可看出，对应价带能量极大值Emax的k值为：kmax＝0；并且Emin＝EV(k)|k=kmax＝02126mkh；∴Eg＝Emin－Emax＝021212mkh＝20248amh＝112828227106.1)1014.3(101.948)1062.6(＝0.64eV②导带底电子有效质量mn0202022382322mhmhmhdkEdC；∴2231023/3.410kg8CcdEmmdk③价带顶电子有效质量m’02226mhdkEdV，∴2*231021/1.5106VvdEmhmkgdk④准动量的改变量h△k＝h(kmin-kmax)=1337.91025(/)48kkgmSa[毕]、8已知电子的能量相对于价带顶为E(k)=-1×10-37k2(J)。当一个kx=1×10-9m-1的电子被从价带激发到导带后，则在价带中相应产生一个空穴。试求此空穴的有效质量、波矢、准动量、共有化运动速度、能量以及由他产生的电流密度。[解]该电子的有效质量、波矢、准动量、公有化运动速度、能量和电流密度为2342*23102371.05410/0.55545810()0.061210VndEmkgmdk（）**00.061pnmmm9191110()110()nxpkkmkm349431.0