锐角三角函数--讲义

哈佛教育——宾老师锐角三角函数讲义一、基础知识点：1.定义：如图在△ABC中，∠C为直角，我们把锐角∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA；caAsin把锐角∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA；cbAcos把锐角∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA；baAtan2、三角函数值（1）特殊角的三角函数值角度三角函数0°30°45°60°90°sinA01222321cosA13222120tanA03313不存在（2）锐角三角函数值的变化：（1）当为锐角时，各三角函数值均为正数，且0sin1，0cos1，当0°≤≤45°时，sin，tan随角度的增大而_______，cos随角度的增大而_______．（3）当0°45°时，sin_____cos；当45°90°时，sin______cos．3、同角、互余角的三角函数关系：（1）同角三角函数关系：1cossin22AA.；AAAcossintan；（2）互余锐角的三角函数关系：)90cos(cossinABA，)90sin(sincosABA。1、解直角三角形:由直角三角形中除直角以外的两个已知元素（其中至少有一条边），求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。直角三角形的可解条件及解直角三角形的基本类型如下表：哈佛教育——宾老师已知条件解法一条边和一个锐角斜边c和锐角A290,sin,cos,sincosBAacAbcAScAA直角边a和锐角A90,,,tansinaaBAbcAA两条边两条直角边a和b22cab，1,90,2ABASab直角边a和斜边c22,sin,,90abcaAABAc备注：a、b、c为三角形的三边；A、B、C为三角形的三个内角、S为三角形的面积三、典型例题：1．锐角三角函数的相关概念例1、如图1，在RT△ABC中，∠C=90°，sinA=53，则tanB的值为（）A．34B．54C．45D．43例5例2、如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，若⊙O的半径是23，AC=2，则sinB的值是（）A．32B．23C．43D．34例3：已知在RtABC△中，∠C为直角，AC=4cm，BC=3cm，sin∠A=．例4：在RtABC△中，90C°，abc，，分别是ABC，，的对边，若2ba，则tanA．例5：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝2，则cosA的值是（）A．215B．25C．212D．52ACB图1ABCDO例2哈佛教育——宾老师ACBACBDBACDE例6：如图2，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，sinA＝54，则BC的长为___cm.例6例7：正方形网格中，AOB∠如图3放置，则cosAOB∠的值为（）Ａ．55Ｂ．255Ｃ．12Ｄ．2典型例题题型一：求锐角三角函数的值例1在Rt△ABC中，∠C=90°，sinB=35，点D在BC边上，且∠ADC=45°，DC=6，求∠BAD的正切值．变式训练1如图，在ABC△中，90ACB，CDAB于D，若23AC，32AB，则tanBCD的值为（）A.2B.22C.63D.33变式训练2如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADE=60°，BD=4，CE=43，则△ABC的面积为（）A．83B．15C．93D．123题型三：化简计算例1（1））计算：20113015(1)()(cos68)338sin602.ABO例7变式1图变式2图哈佛教育——宾老师变式：已知α是锐角，且sin(α+15°)=32。计算10184cos(3.14)tan3。特殊角的三角函数值例1菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，452AOCOC°，，则点B的坐标为（）A．(21)，B．(12)，C．(211)，D．(121)，变式训练2.如图，直径为10的⊙A经过点C(0,5)和点O(0,0)，B是y轴右侧⊙A优弧上一点,则∠OBC的余弦值为().A．12B．34C．32D．45概念巩固练习1.已知ABC中，AC=4，BC=3，AB=5，则sinA（）A.35B.45C.53D.342.已知为锐角，且23)10sin(，则等于（）A．50B．60C．70D．803.如图，已知直角三角形ABC的斜边AB长为m，40B，则直角边BC的长是（）A．sin40mB．cos40mC．tan40mD．tan40m4.正方形网格中，AOB∠如图放置，则sinAOB∠=（）A．55B．255C．12D．2ABO例1图变式1图第3图第4图哈佛教育——宾老师5.在△ABC中，∠C＝90°，tanA＝31，则sinB＝（）A．1010B．32C．43D．101036.直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将ABC△如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则tanCBE的值是（）A．247B．73C．724D．137、如图，AB是⊙O的直径，C、D是圆上的两点（不与A、B重合），已知BC＝2，tan∠ADC＝1，则AB＝__________．2、锐角三角函数的应用性问题(1)求线段长、面积、周长例1如图，测量河宽AB（假设河的两岸平行），在C点测得∠ACB＝30°，D点测得∠ADB＝60°，又CD＝60m，则河宽AB为m（结果保留根号）.变式1如图，一个小球由地面沿着坡度i=1∶2的坡面向上前进了10m，此时小球距离地面的高度为()A．5mB．25mC．45mD．310m变式2如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O，直径AB是河底线，弦CD是水位线，CD∥AB，且CD=24m，OE⊥CD于点E．已测得sin∠DOE=1213．（1）求半径OD；（2）根据需要，水面要以每小时0.5m的速度下降，则经过多长时间才能将水排干？68CEABD（第6题）ABCDOAOBECD第7图例1图哈佛教育——宾老师例2如图，菱形ABCD的边长为10cm，DE⊥AB，3sin5A，则这个菱形的面积=cm2．（2）测量问题例2、某学校宏志班的同学们五一期间去双塔寺观赏牡丹，同时对文宣塔的高度进行了测量，如图2，他们先在A处测得塔顶C的仰角为30°；再向塔的方向直行80步到达B处，又测得塔顶C的仰角为60°，请用以上数据计算塔高。（学生的身高忽略不计，1步=0.8m，结果精确到1m）（3）、航海问题例3、如图3，灯塔A在港口0的北偏东55°的方向，且与港口的距离为80海里，一艘船上午9时从港口0出发向正东方向航行，上午11时到达B处，看到灯塔A在它的正北方向，试求这艘船航行的速度（精确到0.01海里/小时）（供选数据：sin55°=0.8192,cos55°=0.5736,tan55°=1.4281）四、巩固练习：1.如图，在RtABC△中，ACBRt，1BC，2AB，则下列结论正确的是（）A．3sin2AB．1tan2AC．3cos2BD．tan3B2.如图，在坡屋顶的设计图中，AB=AC，屋顶的宽度l为10米，坡角α为35°，则坡屋顶的高度h为米．（结果精确到0．1米）BCA（第1题）ABO北东西南)55°哈佛教育——宾老师3.△ABC中，∠C=90°，AB=8，cosA=43，则AC的长是；4.先锋村准备在坡角为的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为（）A.cos5B.cos5C.sin5D.sin55.如图10，已知Rt△ABC中，AC=3，BC=4，过直角顶点C作CA1⊥AB，垂足为A1，再过A1作A1C1⊥BC，垂足为C1，过C1作C1A2⊥AB，垂足为A2，再过A2作A2C2⊥BC，垂足为C2，…，这样一直做下去，得到了一组线段CA1，A1C1，12CA，…，则CA1=，5554CAAC第5题图填空第1题图填空第2题图6.某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米，此时他与水平地面的垂直距离为52米，则这个破面的坡度为__________.7.如图所示，小华同学在距离某建筑物6米的点A处测得广告牌B点、C点的仰角分别为52°和35°，则广告牌的高度BC为_____________米(精确到0.1米)．(sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70；sin52°≈0.79，cos52°≈0.62，tan52°≈1.28)8.104cos30sin60(2)(20092008)=______．9.(1)计算2(2)tan452cos60。。=（2）计算：02cos602009π9°=五、课后练习1．如图，小颖利用有一个锐角是30°的三角板测量一棵树的高度，已知她与树之间的水平距离BE为5m，AB为1.5m（即小颖的眼睛距地面的距离），那么这棵树高是（）A．（53332）mB．（3532）mC．533mD．4m2．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90o，AC=6，D是AC上一点，若tan∠DBA=51，则AD的长为（）（A）2（B）3（C）2（D）1BAEDC30°图10ABCD6米52°35°(第7题图)BCD哈佛教育——宾老师CBA3．已知在ABC△中，90C，设sinBn，当B是最小的内角时，n的取值范围是A．202nB．102nC．303nD．302n4．如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为（）A．90°B．60°C．45°D．30°5．如图，矩形ABCD中，AB＞AD，AB=a，AN平分∠DAB，DM⊥AN于点M，CN⊥AN于点N．则DM+CN的值为（用含a的代数式表示）()A．aB．a54C．a22D．a236．在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝45，则tanB＝（）A．43B．34C．35D．457．在正方形网格中，ABC△的位置如图所示，则cosB的值为（）A．12B．22C．32D．338．计算2sin45°的结果等于________.9．在Rt△ABC中,∠C=90°,若AC=2BC,则sinA的值是()A．12B．2C．55D．5210．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=1，则tanB=，sinA=。11．直角梯形ABCD中，AB⊥BC，AD∥BC，BC＞AD，AD＝2，AB＝4，点E在AB上，将△CBE沿CE翻折，使得B点与D点重合，则∠BCE的正切值为．12．如图，在△ABC中，∠B=45°，cos∠C=53，AC=5a，则△ABC的面积用含ａ的式子表示是．aNMCDAB（第5题）第7题图第11题图第4题图哈佛教育——宾老师13.如图，某边防巡逻队在一个海滨浴场岸边的A点处发现海中的B点有人求救，便立即派三名救生员前去营救．1号救生员从A点直接跳入海中；2号救生员沿岸边(岸边看成是直线)向前跑到C点，再跳入海中；3号救生员沿岸边向前跑30O米到离B点最近的D点，再跳人海中．救生员在岸上跑的速度都是6米／秒，在水中游泳的速度都是2米／秒．若∠BAD=45°，∠BCD=60°，三名救生员同时从A点出发，请说明谁先到达营救地点B．(参考数据2≈1.4，3≈1.7)14.如图13，某数学兴趣小组在活动课上测量学校旗杆高度．已知小明的眼睛与地面的距离()AB是1.7m，看旗杆顶部M的仰角为45；小红的眼睛与地面的距离()CD是1.5m，看旗杆顶部M的仰角为30．两人相距28米且位于旗杆两侧（点BND，，在同一条直线上）．请求出旗杆MN的高度．（参考数据：21.4≈，31.7≈，结果保留整数）MNBOADOC30°45°哈佛教育——宾老师DABCEF15.小刚有一块含有30°角的直角三角板，他想测量其短直角边的长度，而手中另外只有一个量角器，于是他采用了如下的办法，并获得了相关数据：第一步，他先用三角板