消费者最优化原理分析

§1效用最大化任何人都希望最大化自己的效用而非最小，这是经济学的先验命题。从重商主义、重农主义、古典经济学、新古典经济学到当代主流经济学，无不接受、继承和发展这一命题，效用最大化问题得到了越来越深入的研究。一方面，人们的欲望无止境，其需要没有满足的时候，经济学无法对如何满足人们无止境的欲望问题作出解释。另一方面，任何人都处在一定的客观环境中，客观条件必然对人们的选择行为带来一定限制。比如，人们需要商品，但必须能够卖得起。人们受到的这些种种限制，虽然影响着人们的选择，但这些限制却使得效用最大化问题有了解决途径——服从约束条件的效用最大化。理性消费者正是在服从种种条件限制的情况下,选择自己最满意的消费方案。这就是效用最大化。一、预算约束设消费集合为，价格体系为，消费者收入为r。消费者进行选择时，要受到两方面条件限制：客观条件与经济条件。客观条件限制：包括政策、法规、生理状态、自然环境等非经济因素对消费选择的制约，这些制约因素划出了允许消费者选择的范围，即消费集合X。因此，客观条件限制可表示为xX。经济条件限制：主要是价格与收入对消费选择的限制，消费者必须在收入许可的范围内选择。经济条件限制可表示为pxr。理性消费者不能去偷、去抢、去骗，但可以赊账消费或借款消费。然而这不是说可免费消费，赊账和借款相当于扩大收入，然后在收入限制下进行消费选择，并没有没有摆脱收入约束。预算约束：是指由客观条件限制(xX)与经济条件限制(pxr)给消费选择造成的制约条件。预算约束可表示为：要求消费选择行为x必须服从条件“(xX)(pxr)”。RXRp=(b1,b2,,b)，这就证明了(p,r)的有界性。至于(p,r)的闭性，则从可知。这样，(p,r)是有界闭集。(一)预算集合预算集合是指由预算约束确定的消费选择范围，是消费集合X的子集(p,r)={xX:pxr}。超平面px=r叫做预算线。(p,r)X(预算集合)证明：既然X下有界，存在向量a使得xa=(a1,a2,,a)对一切xX成立。令bi=(r-pa+piai)/pi(i=1,2,,)。对任何x(p,r)，既然p≫0且xa，我们有0pi(xi–ai)p(x–a)r–pa，从而pixir–pa+piai(i=1,2,,)。可见，axbpx=r(预算线)定理在X为下有界闭子集的情况下，对任何价格体系p≫0及收入r，预算集合(p,r)都是有界闭集，从而是紧集。}:{),(rpxRxXrp(二)最低生活保障国家为了维护人民生活，建立了最低生活保障制度。这项制度有利于社会稳定，有利于促进经济均衡。现在，我们先从预算集合角度，考察一下最低生活保障制度的含义。为了保证消费者在收入限制下选择到生活需要品，消费者收入就应不低于最低收入标准。所谓最低收入标准，是指在既定价格体系p下消费集合X中的最低支出I(p)=inf{px:xX}。最低生活保障制度是一种保证收入r不低于I(p)的制度。条件rI(p)就叫做最低生活保障或最低收入条件或最低支出条件。定理设X为消费集合，p为价格体系，r为消费者收入。(1)如果X且rI(p)，则(p,r)；(2)如果X是非空下有界闭集，p≫0且rI(p)，则预算集合(p,r)是非空有界闭集。二、马歇尔需求效用最大化是指消费者在预算约束下进行最满意的消费。准确地讲，设消费集合为X，偏好关系为。在价格体系p和收入r下，消费者的(马歇尔)需求集合D(p,r)是指(p,r)中最好的商品向量的全体：D(p,r)={x(p,r):(z(p,r))(zx)}。定理马歇尔需求集合中任何两种方案都无差异：(x,yD(p,r))(x~y)。),(rpDxy无预算线差异曲线(p,r)马歇尔从效用最大化出发，导出了消费者需求，即预算集合中消费者认为最好的消费方案，这个方案就是消费者最终决定的消费方案，称为马歇尔需求(向量)，简称为需求(向量)。IIpvpIpv),(),(最优解：斜率相等。切点是最优点五、应用事例现在应用效用最大化理论来分析两个实际问题：所得税与销售税的比较，价格补贴发放办法比较。问题1：所得税与销售税哪一种对消费者更为有利？国家向居民征税有两种办法，一种是征收所得税，另一种是征收销售税。假定不论采取哪种办法，居民缴纳的税额是一样的。那么，哪一种征税办法对居民更为有利些?问题2：涨价补贴对消费者是否有利？商品涨价，国家要发放价格补贴。一种办法是控制价格，不许涨价，把价格补贴发给生产者。另一种办法是允许涨价，把价格补贴发给消费者。那么，哪一种补贴办法对消费者更为有利？为了分析这两个问题，设当前的市场价格体系为p，消费者收入为r，消费者的选择为xD(p,r)。(一)所得税与消费税的比较征收销售税：税率向量为t=(t1,t2,,t)，ti为购买一单位商品i的税额。按税率t征收销售税，相当于价格从p上升到p+t，于是需求从xD(p,r)变到yD(p+t,r)，所纳的税额为T=ty。注意y(p+t,r)(p,r)，故yx。征收所得税：把销售税改为所得税，直接从消费者收入r中扣除销售税情况下所缴纳的税额T=ty，则预算集合变为(p,r-T)，消费者选择变为zD(p,r-T)。xxyyz(p+t,r)(p,r)结果比较：可以看出，y(p,r-T)，因而yz。这说明：虽然缴纳的税额相同,但征收所得税要比征收销售税对居民更为有利些。(p,r-T)(二)价格补贴发放办法比较不许涨价：在把价格补贴发放给生产者，不允许商品涨价的情况下，消费者的选择为xD(p,r)。允许涨价：允许商品涨价，把价格补贴发放给消费者。涨价后的价格体系为q，补贴使得消费者收入从r提高到s，消费者的选择从x变为yD(q,s)。补贴标准：补贴后，要保证消费者仍可以按照原来的方案进行消费，即补贴额=qxpx，也即qx=s。结果比较：x(q,s)，xy。这说明“允许涨价，把补贴发给消费者”比“不许涨价，把补贴发给生产者”对消费者来说更为有利些。(p,r)xxy§2支出最小化任何人都希望在保持生活水平不变的条件下最小化自己的支出而非最大，这也是经济学的一个先验命题。支出最小化反映的是这样一种经济现象：当消费者面临一种消费方案时，常常会作出这样的考虑：只要效用水平不降低，支出越少就越好。这就是说，消费者首先确定一个效用水平，然后在不低于这个效用水平的前提下使消费支出达到最小。这种做法的道理在于货币也是一种具有效用的商品，支付货币相当于支付效用。以货币换商品，相当于以效用换效用。正常人都会有想占便宜的正常心理，谁不想以较少的效用换得较多的效用呢？因此，支出最小化当然也要算作经济人理性的构成部分。准确地讲，支出最小化是指消费者在保证不降低生活水平的前提下，谋求消费支出达到最少。希克斯从支出最小化出发，分析了消费者的选择，给出了今天称谓的希克斯需求概念。121),,(puppE最优支出例：已知CES效用函数12121)(),(xxxxu10请推出对应的支出函数22112,1minxpxpxx0)(),(12121xxxxu受约束于希克斯需求函数),,(),,,(212211uppxuppx),,(),,,(212211uppxuppx将最优解带入2211xpxp得支出函数收入=支出最优点等于支出函数的斜率替代效应收入效应价格效应一、支出约束现在，我们按照支出最小化的思路，来分析一下消费者的最优选择。假定消费者目前面临着一种可以选择的消费方案为xX，商品的价格体系为p。这样，消费方案x的支出便为px。消费者是否要选定x作为消费行动呢？这取决于是否还有其他不比x差的可行消费方案y能使支出(py)变得更少。如果这样的方案y存在，那么消费者不会选择x。至于是否选择y作为行动方案，则又取决于是否存在不比x差而支出比y还少的其他可行消费方案z。这种选择过程要一直进行下去，直至选不出其他不比x差而支出能进一步减少的可行方案。可以看出，每次选择都在集合E(x)={yX:yx}中进行。该集合E(x)就称为消费者在方案x处的支出集合，条件“yE(x)”叫做x处的支出约束。支出集合x)(xEX对任何。其中u:XR为消费者的效用函数。显然，。(一)支出函数支出函数)}(:min{),(,),(xEzpzxpeXRxp支出函数e(p,x)正表达了支出最小化的意义：与x相比，在不降低生活水平的条件下，寻求支出最小化。对任何及任何x,yX，只要x~y，就有e(p,x)=e(p,y)。对任何及任何xX，e(p,x)+e(q,x)e(p+q,x)。对任何，xX及任何实数t0，都有e(tp,x)=te(p,y)。对任何xX，e(p,x)都是价格p的凹函数。效用水平支出函数：RXRe:)(xEx),(xpepz)(),(,),(pIxpeXRxpRpRqp,RpRRRe:ˆ)})(()(:min{),(ˆ,),(UzuXzpzUpeRRUp))(,(ˆ),(xupexpe当e(p,x)=I(p)时，支出达到消费集合上的最小支出，再也没有变小的余地。此时，便可能出现这样的情况：存在x,yX使得xy但e(p,x)=e(p,y)。这意味着E(x)中的最小支出点x*(即px*=e(p,x))和E(y)中的最小支出点y*都在X上，如下图所示。在点x处，本来x*是最优选择，但它位于消费集合边界，失去了“最优”意义：同(二)最低支出限制样支出下，还有更优的消费方案y*。鉴于这个原因，通常考虑支出最小化问题时，总是要求e(p,x)I(p)。这个条件叫做最低支出限制，符合该条件的消费方案的全体是集合。定理对于理性消费者(X,)来说，在任何价格p0下，对任何x,yX(p)，都有这就是支出函数的效用性质。)}(),(:{)(pIxpeXxpXxyxy无差异曲线pypIpx)(),()(),(ypepIxpepyx)),(),(()(ypexpeyxX在既定的价格体系p下，对于xX，支出集合E(x)中的最小支出点x*(即x*E(x)且px*=e(p,x))所代表的消费方案，就叫做价格体系p下方案x处的希克斯需求(向量)。用H(p,x)表示价格下方案x处的希克斯需求向量的全体，称为价格p下方案x处(或效用水平[x]上)的希克斯需求集合，即H(p,x)={zE(x):(yE(x))(pzpy)}二、希克斯需求对任何p0及任何x,yX，只要x~y，就有H(p,x)=H(p,y)。对任何p0及任何xX，若H(p,x)，则pH(p,x)=e(p,x)。希克斯需求法则：对任何价格向量p,q及任何zX，都有(xH(p,z))(yH(q,z))((pq)(xy)0)即希克斯需求与商品价格之间呈反向变动关系。证明：注意，x,yE(z)。xH(p,z)说明pxpy；yH(q,z)说明qxqy。因此，pxqxpyqy，即(pq)(xy)0。存在性定理如果消费集合是下有界非空闭子集，并且偏好关系连续，则对任何价格向量p≫0及任何消费方案xX，都有H(p,x)。因此，理性消费者的希克斯需求必然存在。(一)希克斯需求的存在性希克斯需求的存在性是一个基本问题。如果说希克斯需求集合H(p,x)是空集，那么支出最小化理论便是空谈。xp证明：X为下有界非空闭集及p0意味着集合B={zX:(zx)(pzpx)}是非空有界闭集。注意，函数pz(zX)在E(x)上的最小值与在B上的最小值一致，且pz为连续函数，而连续函数在有界闭集上必有最小值。故希克斯需求存在。),(wherexpHHHRXB(二)希克斯需求的唯一性希