正弦定理教案

1.1.1正弦定理一、教学内容分析：《普通高中课程标准数学教科书·数学(必修5)》(人教A版)第一章《解三角形》：11“正弦定理和余弦定理”的第1课。“解三角形”既是高中数学的基本内容，又有较强的应用性，在这次课程改革中，被保留下来，并独立成为一章。解三角形作为几何度量问题，应突出几何的作用和数量化的思想，为学生进一步学习数学奠定基础。本课“正弦定理”，作为单元的起始课，为后续内容作知识与方法的准备，是在学生已有的三角函数及向量知识的基础上，通过对三角形边角关系作量化探究，发现并掌握正弦定理（重要的解三角形工具），解决简单的三角形度量问题。教学过程中，应发挥学生的主动性，通过探索发现、合情推理与演绎证明的过程，提高学生的思辨能力。二、学生学习情况分析：由于本课内容和一些与测量、几何计算有关的实际问题相关，教学中若能注意课程与生活实际的联系，注重知识的发生过程，定能激起学生的学习兴趣。当然本课涉及代数推理，定理证明中可能涉及多方面的知识方法，综合性强，学生学习方面有一定困难。三、设计思想：定理教学中有一种简陋的处理方式：简单直接的定理呈现、照本宣科的定理证明，然后是大剂量的“复制例题”式的应用练习。本课采用实验探究、自主学习、合作交流的研究性学习方式，重点放在定理的形成、证明的探究及定理基本应用上，努力挖掘定理教学中蕴涵的思维价值。从实际问题出发，引入数学课题，最后把所学知识应用于实际问题。四、教学目标：让学生从已有的知识经验出发,通过对特殊三角形边角间数量关系的探求，发现正弦定理；再由特殊到一般，从定性到定量，探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，猜想，比较，推导正弦定理，由此培养学生合情推理探索数学规律的数学思考能力；培养学生联想与引申的能力，探索的精神与创新的意识。五、教学重点与难点：本节课的重点是正弦定理的探索、证明及其基本应用；难点是正弦定理应用中“已知两边和其中一边的对角解三角形，判断解的个数”，以及逻辑思维能力的培养。六、教学过程设计：（一）课堂导入(由初中学习的解直角三角形，引入本章解三角形)明代著名诗人魏允贞曾写下千古绝句“洞庭天下水，岳阳天下楼”，现甲、乙两位同学为了解岳阳楼的高度，来到楼前观摩。如图，若甲同学站在离楼10m的A处观察楼顶D，仰角恰为45度；乙同学站在C处，恰能以30度的仰角观察到楼顶D，问楼高BD和乙同学与楼的距离CB？解：1045tantanBDABBDDAB即1045tanBD)(10mBD)(3101030tantanmCBCBCBBDC即（二）知识巩固（提出问题：“初中阶段解直角三角形的过程中，通常运用到的有关三角形的基本定理或性质？”，这个过程先由学生讨论，最后由教师归纳总结。）解直角三角形：在直角三角形中，除直角外，一共五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程。对任意三角形：①.内角和定理；②.大角对大边，大边对大角；③.两边之和大于第三边，两边之差小于第三边对直角三角形：①.两个锐角互余；②.斜边上的中线为斜边的一半；③.勾股定理；④.射影定理；⑤.三角函数（三）新课探知3.1正弦定理的探索与证明如图，在直角三角形ABC中，根据正弦函数的定义：AaccaAsinsinBbccbBsinsinCccCsin1sin可知：CcBbAasinsinsin（提出问题：以上关系式是否只针对于直角三角形呢？一般三角形是否满足呢？）（1）在锐角三角形中，作AB边上的高CD，根据正弦函数的定义：AbBaAbCDBaCDsinsinsin,sinBbAasinsin同理CcBbsinsin所以CcBbAasinsinsin（2）在钝角三角形ABC中（此过程现由学生自主探索，再由教师梳理），由正弦函数的定义：BbAaBaAbCDaCDCBDBBbCDAsinsinsinsinsin)sin(sin,sin同理CcBbsinsin所以CcBbAasinsinsin3.2正弦定理的理解从上面的讨论和探究得到以下结论：自然语言：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等符号语言：CcBbAasinsinsin公式理解：Ⅰ.恒等变形AcCaBcCbAbBasinsin,sinsin,sinsinⅡ.应用：解三角形定义：一般地，把三角形三个角A、B、C和它们的对边a、b、c叫做三角形的元素。通过已知三角形几个元素求其他元素的过程叫做解三角形。适用范围：（强调为何正弦定理只适应与这样两种类型。）①.已知两角及一边；②.已知两边及一对角（四）例题精讲类型一、已知两角及一边.)(.,453020.1cbBcbBCAaABC和，再有正弦定理求出角和定理求出角分析：解答本题先用内，，求，，中，已知例1054530-1804530）（，知，解：由BCA，得又由正弦定理CcBbAasinsinsin22021222030sin45sin20sinsinACac)26(104264075sin4030sin105sin20sinsinABab技巧总结（两步解题）：一、由内角和定理求出另一个内角；二、由正弦定理求出另两边。对点练习：.105455cCBaABC，求，，中，已知在类型二、已知两边及一对角),sin(,6245.2边。定理求出另一角和另一角和定理和正弦的大小，再用三角形内从而得出出分析：由正弦定理可求解此三角形。，，中，已知在例CCcaAABC1-3,15,12013,75,601-313,sinsin1545120180,754560180120,60,,4523222645sin26sin,sinsinbBCbBCbABabBBCacACCcAa或或又或或所以得解：由正弦定理技巧总结（四步解题）：一、由正弦定理求出另一边对角的正弦值；二、由正弦值求角遵从“大边对大角，小边对小角”的原则，有可能无解，一解，两解；三、由内角和定理求出第三个内角；四、由正弦定理求出第三边。.,,,45,1,2CAaBcbABC求中，对点练习：（五）课堂总结Ⅰ.解直角三角形基本知识点Ⅱ.正弦定理的证明Ⅲ.利用正弦定理解三角形适用范围：a.已知两角及一边（两步解题）；b.已知两边及一对角（四步解题）（注意“大边对大角，小边对小角“原则）六、课后习题?sin,2,3,1,,,,.1ABCAbaCBAABCcba则所对的边，若的三个内角分别是已知的关系？之间外接圆半径与，试探究中，若在三角形。是等腰三角形或者直角求证：中，若在探索练习：RABCkkCcBbAaABCABCBbAaABCsinsinsin.2,coscos.1