2019南通三模参考答案(阅卷用)

数学参考答案与评分细则第1页（共13页）结束Y输出yN（第3题）开始输入xy←3xx≤1y←3+x南通市2019届高三第三次调研测试数学学科参考答案及评分建议一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．已知集合{1023}U，，，，{03}A，，则UAð▲．【答案】{12}，2．已知复数i13iaz（i是虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为▲．【答案】33．右图是一个算法流程图．若输出y的值为4，则输入x的值为▲．【答案】14．已知一组数据6，6，9，x，y的平均数是8，且90xy，则该组数据的方差为▲．【答案】1455．一只口袋装有形状、大小都相同的4只小球，其中有3只白球，1只红球．从中1次随机摸出2只球，则2只球都是白球的概率为▲．【答案】126．已知函数2220()20xxxfxxxx，≥，，，则不等式()()fxfx的解集为▲．【答案】(20)(2)，，7．已知na是等比数列，前n项和为nS．若324aa，416a，则3S的值为▲．【答案】148．在平面直角坐标系xOy中，双曲线22221yxab（00ab，）的右准线与两条渐近线分别交于A，B两点．若△AOB的面积为4ab，则该双曲线的离心率为▲．【答案】29．已知直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB=3cm，BC=1cm，CD=2cm．将此直角梯形绕AB边所在的直线旋转一周，由此形成的几何体的体积为▲cm3．【答案】73数学参考答案与评分细则第2页（共13页）10．在平面直角坐标系xOy中，若曲线sin2yx与1tan8yx在2，上交点的横坐标为，则sin2的值为▲．【答案】15811．如图，正六边形ABCDEF中，若ADACAE（，R），则的值为▲．【答案】4312．如图，有一壁画，最高点A处离地面6m，最低点B处离地面3.5m．若从离地高2m的C处观赏它，则离墙▲m时，视角最大．【答案】613．已知函数2()23fxxxa，2()1gxx．若对任意103x，，总存在223x，，使得12()()fxgx≤成立，则实数a的值为▲．【答案】1314．在平面四边形ABCD中，90BAD，2AB，1AD．若43ABACBABCCACB，则12CBCD的最小值为▲．【答案】262二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．（本小题满分14分）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对边的长，(sinsin)()(sinsin)aABcbBC．（1）求角C的值；（2）若4ab，求sinB的值．【解】（1）在△ABC中，因为(sinsin)()(sinsin)aABcbBC，由正弦定理sinsinsinabcABC，ABCDEF（第11题）ABC623.5（第12题）这里不写“正弦定理”或具体公式的扣1分数学参考答案与评分细则第3页（共13页）ABCDPEF（第16题）所以()()()aabbccb．……3分即222abcab，由余弦定理2222coscababC，得1cos2C．……5分又因为0πC，所以π3C．……7分（2）方法一：因为4ab及222abcab，得2222216413cbbbb，即13cb，……10分由正弦定理sinsincbCB，得13sin32bbB，所以39sin26B．……14分方法二：由正弦定理sinsinabAB，得sin4sinAB．由ABC，得sin()4sinBCB，因为3C，所以31sincos4sin22BBB，即7sin3cosBB．……11分又因为22sincos1BB，解得，23sin52B，因为在△ABC中，sin0B，所以39sin26B.……14分16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，平面BPC⊥平面DPC，BPBC，E，F分别是PC，AD的中点．求证：（1）BE⊥CD；（2）EF∥平面PAB．【证】（1）在△PBC中，因为BPBC，E是PC的中点，所以BE⊥PC．……2分又因为平面BPC⊥平面DPC，平面BPC平面DPCPC，BE平面BPC，所以BE⊥平面PCD．……5分这里不写“余弦定理”或具体公式的扣1分也可写成C为三角形的内角；缺范围扣1分此法，没有该公式扣3分数学参考答案与评分细则第4页（共13页）ABCDPEFH又因为CD平面DPC，所以BE⊥CD．……7分（2）取PB的中点H，连结EH，AH．在△PBC中，又因为E是PC的中点，所以HE∥BC，12HEBC．…………9分又底面ABCD是平行四边形，F是AD的中点，所以AF∥BC，12AFBC．所以HE∥AF，HEAF，所以四边形AFEH是平行四边形，所以EF∥HA．……12分又因为EF平面PAB，HA平面PAB，所以EF∥平面PAB．……14分其它方法：由面面平行得线面平行；延长CF交BA的延长线于Q点，在△PQC中考虑。注：这是课本题的组合。17．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆22221yxCab：（0ab）的上顶点为03A，，圆2224aOxy：经过点01M，．（1）求椭圆C的方程；（2）过点M作直线1l交椭圆C于P，Q两点，过点M作直线1l的垂线2l交圆O于另一点N．若△PQN的面积为3，求直线1l的斜率．【解】（1）因为椭圆C的上顶点为03A，，所以3b，又圆22214Oxya：经过点01M，，所以2a．……2分所以椭圆C的方程为22143yx．……4分xOA（第17题）yMNPQ本小题由三个逻辑段组成，每个逻辑段不能少条件，否则该逻辑段以及后面的都不得分。数学参考答案与评分细则第5页（共13页）（2）若1l的斜率为0，则463PQ，2MN，所以△PQN的面积为463，不合题意，所以直线1l的斜率不为0．……5分设直线1l的方程为1ykx，由221431yxykx，消y，得22(34)880kxkx，设11Pxy，，22Qxy，，则2124262134kkxk，2224262134kkxk，所以221212()()PQxxyy22212246121134kkkxxk．……8分直线2l的方程为11yxk，即0xkyk，所以22222111kMNkk．……11分所以△PQN的面积12SPQMN2222461211232341kkkk，解得12k，即直线1l的斜率为12．……14分18．（本小题满分16分）南通风筝是江苏传统手工艺品之一．现用一张长2m，宽1.5m的长方形牛皮纸ABCD裁剪风筝面，裁剪方法如下：分别在边AB，AD上取点E，F，将三角形AEF沿直线EF翻折到AEF处，点A落在牛皮纸上，沿AE，AF裁剪并展开，得到风筝面AEAF，如图1．（1）若点E恰好与点B重合，且点A在BD上，如图2，求风筝面ABAF的面积；（2）当风筝面AEAF的面积为23m时，求点A到AB距离的最大值．（图1）ABCDFEA（图2）AB（E）CDFA斜率为0要否定掉，因为后面用倒数；没有扣1分椭圆的弦长3分圆的弦长3分数学参考答案与评分细则第6页（共13页）【解】（1）方法一：建立如图所示的直角坐标系．则20B，，302D，，直线BD的方程为3460xy．……2分设0Fb，（0b），因为点F到AB与BD的距离相等，所以465bb，解得23b或6b（舍去）．……4分所以△ABF的面积为21222m233，所以四边形ABAF的面积为24m3．答：风筝面ABAF的面积为24m3．……6分方法二：设ABF，则2ABA．在直角△ABD中，3tan24ADAB，……2分所以22tan341tan，解得1tan3或tan3（舍去）．所以2tan3AFAB．……4分所以△ABF的面积为21222m233，所以四边形ABAF的面积为24m3．答：风筝面ABAF的面积为24m3．……6分（2）方法一：建立如图所示的直角坐标系．设AEa，AFb，00Axy，，则直线EF的方程为0bxayab，因为点A，A关于直线EF对称，所以0000022yaxbbxayab，，ABCDFExyAACDFB（E）xyAACDFB（E）A数学参考答案与评分细则第7页（共13页）解得20222abyab．……10分因为四边形AEAF的面积为3，所以3ab，所以3043232333ayaaa．因为02a≤，302b≤，所以2323a≤≤．……12分设33()faaa，2323a≤≤．244(3)(3)(3)9()1aaafaaa，令()0fa，得3a或3a（舍去）．列表如下：当3a时，()fa取得极小值，即最小值433，所以0y的最大值为32，此时点A在CD上，3a，1b．答：点A到AB距离的最大值为3m2．……16分方法二：设AEa，AEF，则tanAFa．因为四边形AEAF的面积为3，所以3AEAF，即2tan3a，所以23tana．过点A作AB的垂线AT，垂足为T，则sin2sin2sin2ATAEAEa……10分22224332232sincos2tan33sincostan11aaaaaaa．因为02AE≤，302AF≤，所以2323a≤≤．……12分（下同方法一）a2333，332，()fa0+()fa单调递减极小值单调递增AABCDFET关键步骤2323a≤≤或求出3a，1b都可以，否则扣2分数学参考答案与评分细则第8页（共13页）19．（本小题满分16分）已知数列na满足11(2)(21)nnnnnaaaa（2n≥），1nnbna（nN）．（1）若1=3a，证明：nb是等比数列；（2）若存在kN，使得1ka，11ka，21ka成等差数列．①求数列na的通项公式；②证明：111lnln(1)22nnnana．【证】（1）由11(2)(21)nnnnnaaaa，得1122nnnaa，得11121nnnnaa，即12nnbb，因为11a，所以11110ba，所以12nnbb（2n≥），所以nb是以1b为首项，2为公比的等比数列．……4分【解】（2）①设111a，由（1）知，12nnbb，所以21121222nnnnbbbb，即112nnna，所以112kkka．……6分因为1ka，11ka，21ka成等差数列，则11(2)(22)2(21)kkkkkk，所以120k，所以0，所以1nna，即1nan．……10分②要证111lnln(1)22nnnana，即证111()ln2nnnaan，即证1112ln1nnnn．设1ntn，则111111tttnntt，且1t，从而只需证，当1t时，12lnttt．……12分设1()2lnfxxxx（1x），不写11110ba扣1分数学参考答案与评分细则第9页（共13页）则22121()1(1)0fxxxx，所以()fx在(1)，上单调递增，所以()(1)0fxf，即1