第四部分直线与平面两平面的相对位置教学课件

第四章直线与平面、两平面的相对位置§4-1直线与平面平行•两平面平行§4-2直线与平面的交点•两平面的交线§4-3直线与平面垂直•两平面垂直内容提要§4-4点、线、面综合题举例•本章重点讨论的三个问题：•1、在投影图上如何绘制及判断直线与平面和两平面的平行问题。•2、如果直线与平面及两平面不平行，在投影图上如何求其交点或交线。•3、在投影图上如何绘制及判断直线与平面和两平面的垂直问题。返回ABCEFabcefDd§4-1直线与平面平行•两平面平行一、直线与平面平行若一直线平行于某平面上的任一直线，则该直线与平面平行。据此可以解决:1.作直线平行于已知平面2.作平面平行于已知直线3.判断直线是否于平面平行例题4.1试过点N作水平线MN平行于ΔABC平面分析作图b’abcna’c’n’XO1.在ΔABC平面上任作一水平线BD2.过点N作直线MN平行与直线BDdmm’d’直线MN即为所求例题4.2试过点A作平面ΔABC平行于直线MN分析作图1.作直线AC∥MN2.过点A任作直线ABΔABC即为所求b’cc’bmm’a’n’naXO例题4.3试判断直线EF是否平行于平面ΔABCb’abcea’c’e’XO分析作图1.在ΔABC平面上任作一辅助线CD,且使c’d’∥e’f’(或cd∥ef)2.求出ΔABC上的CD直线的另一投影cd(或c’d’)因ef不平行cd故EF不平行与ΔABCff’d’dABCMNEFmnabce(f)当直线与投影面垂直面平行时,则该直线必有一个投影与平面具有积聚性的那个投影平行,且在平面有积聚性的那个投影面上反映直线与平面间的真实距离。当直线与平面同时垂直与同一投影面时,该直线必与该平面平行,且在它们垂直的那个投影面上反映它们之间的真实距离。线面平行的特殊情况mnabce(f)m’n’a’b’c’e’f’XO二、平面与平面平行若一平面内两相交直线对应平行于另一平面上的相交两直线，则这两平面相互平行。据此可以解决:1.作平面平行于已知平面2.判断两是否平面平行§4-1直线与平面平行•两平面平行一、直线与平面平行ABCA1B1C1PQ例题4.4试作ΔEFG∥ΔABC平面e’b’abcea’c’XOff’g分析作图1.在ΔABC内作直线AM∥EF,MN∥FG(am∥ef,mn∥fg)2.求出AM,MN的正面投影mnm’n’3.过f’作e’f’∥a’m’、f’g’∥m’n’,则ΔEFG即为所求g’例题4.5判断ΔEFG与ΔABC平面是否平行gfabceg’b’c’e’f’a’XOb’c’平行g’f’但bc不平行gf例题4.5判断ΔEFG与ΔABC平面是否平行gfabceg’b’c’e’f’a’XOb’a’平行g’e’但ba不平行geb’c’平行g’f’但bc不平行gf因此，ΔEFG与ΔABC平面不平行例题4.6判断两平面是否平行dfgecbaa’f’g’d’b’c’e’h’h例题4.7判断两平面是否平行dfecbaa’f’d’b’c’e’a’c’平行d’f’但ac不平行df例题4.7判断两平面是否平行dfecbaa’f’d’b’c’e’a’c’平行d’f’但ac不平行dfb’c’平行d’e’但bc不平行de因此两平面不平行ABCGHEFefacbh若两平行平面同时垂直于同一投影面,则它们在该平面上的积聚性投影必然相互平行,且反映两平行平面之间的真实距离。面面平行的特殊情况efacbhgh’f’g’e’b’a’c’§4-2直线与平面相交•两平面相交直线与平面相交,必有一个交点,它是直线与平面的共有点。平面与平面相交,必有一个交线,它是两平面的共有线。求解交线的方法:1.作出交线上的两个共有点2.作出交线上的一个共有点及交线的方向求作交点或交线的过程:1.求出交点或交线的投影2.判别可见性§4-2直线与平面相交•两平面相交一、利用积聚性求交点和交线1.一般位置直线与特殊位置平面相交ABCabcFEKfekb’a’c’bace’f’efb’a’c’bace’f’efkk’作图步骤1.利用积聚性求出K点水平投影k2.利用点在线上的投影特性求出K点正面投影k’3.判别可见性121’(2’)y1＞y2,即点Ⅰ在点Ⅱ前方，EK正面投影可见121’(2’)a’b’c’bace’f’efkk’作图步骤1.利用积聚性求出K点水平投影k2.利用点在线上的投影特性求出K点正面投影k’3.判别可见性y1＞y2,即点Ⅰ在点Ⅱ前方，EK正面投影可见§4-2直线与平面相交•两平面相交一、利用积聚性求交点和交线1.一般位置直线与特殊位置平面相交2.特殊位置直线与一般位置平面相交a’b’c’bace’(f’)efkk’d’d分析EF在正面的投影有积聚性，故交点K的正面投影必与EF的正面投影重合，利用面上取点的方法可求出交点K的水平投影作图a’b’c’ace’(f’)efkk’d’d§4-2直线与平面相交•两平面相交一、利用积聚性求交点和交线1.一般位置直线与特殊位置平面相交2.特殊位置直线与一般位置平面相交3.特殊位置平面与一般位置平面相交kla’b’c’bace’f’efdd’k’l’VXOABCEDFcabefd作图步骤1.利用积聚性求出KL的水平投影kl2.利用点在线上的投影特性求出K点正面投影k’，l’3.判别可见性klKL121’(2’)kla’b’c’bace’f’efdd’k’l’§4-2直线与平面相交•两平面相交一、利用积聚性求交点和交线1.一般位置直线与特殊位置平面相交2.特殊位置直线与一般位置平面相交3.特殊位置平面与一般位置平面相交二、利用辅助平面求交点和交线一般位置直线与一般位置平面相交FEDMNdd’abfeb’a’e’f’BAMmnn’m’k’k作图判别可见性11’Z1＞ZM,AK的水平投影ak可见2’(3’)2YⅡ＞YⅢ,AK的正面投影a’k’不可见3dd’abfeb’a’e’f’FEDMNBAMmnn’m’k’k作图判别可见性11’Z1＞ZM,AK的水平投影ak可见2’(3’)2YⅡ＞YⅢ,AK的正面投影a’k’不可见3§4-2直线与平面相交•两平面相交一、利用积聚性求交点和交线1.一般位置直线与特殊位置平面相交2.特殊位置直线与一般位置平面相交3.特殊位置平面与一般位置平面相交二、利用辅助平面求交点和交线一般位置直线与一般位置平面相交一般位置平面与一般位置平面相交三、利用辅助投影求交点和交线a’b’c’bace’f’efd’dd1’f1’e1’a1’b1’c1’n1’l1’lnn’l’作图步骤1.将△ABC变换为铅垂面2.求出交线的辅助投影l1’n1’3.求出交线的正面投影和水平投影4.判别可见性a’b’c’bace’f’efd’dd1’f1’e1’a1’b1’c1’n1’l1’lnn’l’1’(2’)123(4)3’4’1.YⅠ＞YⅡ,AB的正面投影可见2.ZⅢ＞ZⅣ,DF的水平投影可见n’a’b’c’bace’f’efd’dd1’f1’e1’a1’b1’c1’n1’k1’knn’k’1’(2’)123(4)3’4’k’dfgecbaa’f’g’d’b’c’e’1’2’23’3h’h例一求作两平面的交线并判断可见性nmcbaa’b’c’m’n’1’2’例二求作两平面的交线并判断可见性§4-3直线与平面垂直•两平面垂直一、直线与平面垂直若一直线垂直于一平面，则必垂直于属于该平面的一切直线。据此可以解决:1.作直线垂直平面或平面垂直直线2.判断线面是否垂直作图举例:若一直线垂直于一平面、则直线的水平投影必垂直于属于该平面的水平线的水平投影；直线的正面投影必垂直于属于该平面的正平线的正面投影。k’l’kl若一直线垂直于属于平面的水平线的水平投影；直线的正面投影垂直于属于平面的正平线的正面投影、则直线必垂直于该平面。ha’cac’例题1：平面由ΔBDF给定，试过定点K作平面的法线。h’返回KCFDBA1.在△BDF上作正平线DC和水平线AB2.作k’h’⊥d’c’;kh⊥abH例题2：平面由两平行线AB、CD给定，试判断直线MN是否垂直于定平面。e’f’ef1.DC为正平线,判断m’n’是否垂直d’c’2.在平面内作水平线EF,判断mn是否垂直ef直线MN不垂直给定平面例题3：试过定点S作一平面垂直于已知直线EF。e’s’OXeff’sSFENM过S点分别作正平线SN、水平线SM,使水平SN⊥EFSM⊥EFn’nmm’§4-3直线与平面垂直•两平面垂直一、直线与平面垂直二、平面与平面垂直若一直线垂直于定平面则包含该直线的所有平面都垂直于该平面。据此可以解决:1.作平面垂直平面2.判断面面是否垂直实质问题是作面垂直例题4：平面由ΔBDF给定，试过定点K作平面垂直ΔBDF。ha’cah’c’m’m例题5：判断ΔDEF、ΔGHK是否与ΔABC垂直。ghcabfdek’h’g’f’e’d’c’b’a’m’hmΔDEF⊥ΔABCΔGHK⊥ΔABC§4-4点线面综合题举例画法几何问题，归纳起来大体分为定位问题和度量问题两大类。（2）空间分析轨迹分析法逆推法（4）解答分析（3）投影作图（1）题意分析分析有哪些几何条件，有无几何元素在空间处于特殊位置，明确求解的几何元素或几何量。EF例题1过点K作直线KS平行于三角形ABC并与直线EF相交。e’c’b’a’k’f’eafkcbSACBK(1)过K作平面平行三角形ABC(2)求出EF与辅助平面的交点Sss’(3)连KS即为所求例题1过点K作直线KS平行于三角形ABC并与直线EF相交。e’c’b’a’k’f’eafkcbACBEFMNKS例题2：求交叉两直线AB和CD的公垂线MN。dcbaa’d’b’c’分析EDCBAKMNdcbaa’d’b’c’ABCDmnNMabc(d)c1’d1’a1’b1’a2b2(d2)c2m2n2n1’m1’mnn’m’dcbaa’d’b’c’X例题3：求三角形ABC及BCD两平面之间的夹角。dbad’c’b’a’cXABCDθdbad’c’b’a’cXθa1’c1’(b1’)d1’c1’(d1’)b1’(a1’)a’bcd’c’b’daX例题4以DC为直角边作等腰直角△CDE(∠CDE=90)且与ABCD平面垂直。e1’V例题5：已知等边三角形ABC,点C在H面上,求此三角形的两面投影。bab’a’Xa’b’c’ABCbab’a’Xabcc’1.求边AB的实长2.求边AC的水平投影3.求边BC的水平投影4.求c,c’并连线