圆的多解问题

圆的多解问题一知识点回顾圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，还具有旋转不变性，圆的这些特性决定了关于圆的某些问题会有多解。解答这类问题时需要按照一定的标准，分成若干种情况，逐一加以讨论。这样可以避免漏解，培养同学们分析问题、解决问题的能力。本次课就近年中考题举例说明如下。二、经典例题1、点与圆的位置关系：例1、若点P到圆的最大距离为14cm，最短距离为6cm，求此圆半径。（分两种情况）当点P在圆外，半径r=（14-6）÷2=4（cm）当点P在圆内，半径r=（14+6）÷2=10（cm）所以半径为4cm或10cm.2、圆中的平行弦间的距离：例2、在半径为5cm的⊙O中，弦AB＝6cm，弦CD＝8cm，且AB∥CD，求AB与CD之间的距离。分析：两平行弦与圆心的位置关系一般有两种：两弦在圆心的同侧；两弦在圆心的异侧。由勾股定理易求得两弦在圆心同侧时，两弦间距为1cm；两弦在圆心异侧时，两弦间距为7cm。如图，作OE⊥AB，交CD于F，连结OA、OC，OA=OC=5cm，∵AB∥CD，∴OF⊥CD，∴AE=12AB=3cm，CF=12CD=4cm，在Rt△AOE中，OE=22OAAE=4cm，在Rt△COF中，OF=22OCCF=3cm，当圆心O在平行弦AB与CD之间，EF=OE+OF=4cm+3cm=7cm；当圆心O在平行弦AB与CD之外，EF=OE-OF=4cm-3cm=1cm；∴弦AB、CD之间的距离为1cm或7cm．故答案为1cm或7cm．3、弦所对圆周角：例3.半径为2的圆中有一条弦，如果它的长为2，那么这条弦所对的圆周角的度数等于解：弦所对的圆周角有两种情况：（1）当弦所对的圆周角的顶点在优弧上时，其圆周角为30°；（2）当弦所对的圆周角的顶点在劣弧上时，其圆周角为150°。故应填30°或150°。4、弦所在的弓形高：例4.半径为10cm的圆形水管，测得水面宽度为弦AB为12cm.计算水的最大深度。解：水的最大深度有两种情况：（1）当弦所对的弧是优弧时，水的最大深度是14cm（2）当弦所对的弧是劣弧时，水的最大深度是2cm。5、两圆相切分内切、外切例5、已知两圆相切，一圆半径为2，另一圆半径为3，求两圆的圆心距。(分内切、外切两种情况)答案应为1或5。6.两圆相交公共弦的问题。例6，半径为25和39的两圆相交，公共弦长30，则两圆的圆心距是。(分圆心在公共弦的同侧或异侧)答案为16或56。例7.已知半径为4和的两圆相交，公共弦长为4，则两圆的圆心距为_________。分析：相交两圆圆心的位置有在公共弦的同侧和异侧两种情况。解：如图9、图10，在中，在中，（1）当圆心在公共弦AB的同侧时，如图9（2）当圆心在公共弦AB的异侧时，如图10三．巩固测试：1、圆的弦长确好等于该圆的半径，则这条弦所对的圆周角是度。2、圆的半径等于2，圆内一条弦长cm，则弦的中点与弦所对弧的中点的距离为。3、△ABC内接于⊙0，∠AOB=1000，则∠ACB=______度。4、PA、PC分别切⊙0于A、C两点，B为⊙0上与A、C不重合的点，若∠P=500，则∠ABC=___________度5、AB，AC是⊙0的两条弦，且∠BAC=480，M，N分别是AB，AC的中点，则∠MON=度。6、两圆相切，圆心距是10㎝，其中一圆的半径为4㎝，则另一圆的半径是。7、⊙01的半径为2cm，⊙02的半径为5cm，两圆没有公共点，则两圆的圆心距的取值范围为________。8、已知⊙O的半径为3cm，点P是直线l上一点，OP长为5cm，则直线l与⊙O的位置关系为（）A.相交B.相切C.相离D.相交、相切、相离都有可能9、已知：在⊙O中，半径为5，圆内一点A，OA=2，直线l⊥直线OA于点B，且AB=3，则直线l与⊙O的关系是（）A.相交B.相切C.相离D.相交或相切10、半径为1cm和2cm两圆外切，那么与这两个圆都相切，且半径为3cm的圆的个数有（）A.2个B.3个C.4个D.5个11．如图3，已知⊙O的半径为5，点到弦的距离为3，则⊙O上到弦所在直线的距离为2的点有（）A．1个B．2个C．3个D．4个12、已知圆O的直径AB=10cm，CD为圆O的弦，且点C，D到AB的距离分别为3cm和4cm，则满足上述条件的CD共有（）A.8条B.12条C.16条D.以上都不对四、思维拓展13、平面上有三个点，则可以确定几个圆？有四个点呢？有五个点呢？若有n个点，则最多可以确定几个圆？14、已知圆内接三角形ABC中，AB=AC，圆心O到BC的距离为3cm，圆的半径为6cm,求腰长AB。16.如图，直线AB经过圆O的圆心，与圆O交于A、B两点，点C在圆O上，且∠AOC=300，点P是直线AB上的一个动点（与点O不重合），直线PC与圆O相交于点Q，问点P在直线AB的什么位置时，QP=QO？这样的点P有几个？并相应地求出∠OCP的度数。圆中的多解问题答案1、30°或15002、1或3cm3、500或13004、650或11505、480或13206、6或14cm7、d＞7或O≤d＜38、D9、D10、D11、C12、A13、分类：1、共线：0个；2、共圆：1个；3、不共线不共圆：4个14、或615、或16、2．400，1000