高等数学第二章——导数与微分1

2．1导数的概念2．2函数的求导法则2．3高阶导数2．4隐函数及由参数方程所确定的函数的导数2．5导数的简单应用2．6函数的微分2.1导数的概念一、导数概念的引入二、导数的定义三、单侧导数四、函数的可导性与连续性的关系一、导数概念的引入求函数变化率的两个实例实例1质点作变速直线运动的瞬时速度.设质点的运动方程为：s=s(t).则从时刻t0到t0+t时间段内，质点走过的路程为：Δs=s(t0+t)-s(t0)在时间间隔Δt内，质点运动的平均速度为:00()()sttstsvtt000()()limtsttstvt当t0时，取极限得质点在时刻t0的瞬时速度:实例2切线问题割线的极限位置——切线位置播放T0xxoxy)(xfyCNM如图,如果割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT,直线MT就称为曲线C在点M处的切线.极限位置即.0,0NMTMN).,(),,(00yxNyxM设的斜率为割线MN00tanxxyy,)()(00xxxfxf,,0xxMNC沿曲线的斜率为切线MT.)()(limtan000xxxfxfkxx二、导数的定义0000000000000()(),(),()()(),,(),()()im,.lxxxxxxxfxxfxyfxxUxxxUxyfxyfxdydfxxyfxdxdxxx设在点的某个邻域内有定义且若存在则称在并称这个极限为在点处的记为或点处可导导数定义1即00000()()limlimxxxxfxxfxyyxx0000()()lim().xfxxfxfxxx如果不存点处，则称在不可导在.)()(lim)(0000hxfhxfxfh其它形式.)()(lim)(0000xxxfxfxfxx00000()()limlimxxxxfxxfxyyxx实例1质点作变速直线运动的瞬时速度:00()()vtst实例2曲线y=f(x)上一点M(x0,f(x0))处的切线斜率0tan()fxxxfxxfyx)()(lim0即.)()(lim)(0hxfhxfxfh或])([)(00xfxf(),().yfxIfxI如果在开区间内的每一点处都可导就称函数在开区间内可导定义200()()()(),(),.xIfxyfxdydfxfxyfxdxdx导由确定的新函数叫做的，简称，记作或函数导数注意:00()().xxfxfx.,0慢程度而变化的快因变量随自变量的变化反映了它处的变化率点导数是因变量在点x注意(2)右导数:单侧导数(1)左导数:0000000()()()()()limlim;xxxfxfxfxxfxfxxxx0000000()()()()()limlimxxxfxfxfxxfxfxxxx，定义３左、右导数统称为单侧导数．函数)(xf在点0x处可导左导数)(0xf和右导数)(0xf都存在且相等.定理1如果)(xf在开区间ba,内可导，且)(af及)(bf都存在，就说)(xf在闭区间ba,上可导.注意:由定义求导数步骤:);()()1(xfxxfy求增量;)()()2(xxfxxfxy算比值.lim)3(0xyyx求极限例1.)()(的导数为常数求函数CCxf解hxfhxfxfh)()(lim)(0hCCh0lim.0.0)(C即例2.)(sin)(sin,sin)(4xxxxxf及求设函数解hxhxxhsin)sin(lim)(sin022sin)2cos(lim0hhhxh.cosx.cos)(sinxx即44cos)(sinxxxx.2202sincos()22limhhhxh(cos)sin.xx例3.)1,0()(的导数求函数aaaxfx解haaaxhxhx0lim)(haahhx1lim0.lnaax.ln)(aaaxx即.)(xxee例4.)1,0(log的导数求函数aaxya解hxhxyaahlog)(loglim0.1)(lnxxxxhxhah1)1(loglim0hxahxhx)1(loglim1011log.lnaexxa1(log).lnaxxa即0log(1)limahhxh01limlog(1)ahxhxhx例5.)(的导数为正整数求函数nxyn解更一般地)(.)(1Rxx)(x例如,12121x.21x)(3x23x)(1x11)1(x.12xhxhxxnnhn)(lim)(0]!2)1([lim1210nnnhhhxnnnx1nnx.)(1nnnxx即例6.0)(处的可导性在讨论函数xxxf解xyxyo,)0()0(hhhfhfhhhfhfhh00lim)0()0(lim,1hhhfhfhh00lim)0()0(lim.1),0()0(ff即.0)(点不可导在函数xxfy注意导数的几何意义与物理意义oxy)(xfyT0xM(1)几何意义)(,tan)(,))(,()()(0000为倾角即切线的斜率处的在点表示曲线xfxfxMxfyxf切线方程为法线方程为).)((000xxxfyy).()(1000xxxfyy000()(,())()yfxMxfxyfxx曲线在点处的切线存在函数在处可导0000()(,())lim()xyfxMxfxxyyfxxx当曲线在点处的切线垂直于轴时，即函数在处的导数为无穷大.例7.,)2,21(1方程和法线方程并写出在该点处的切线斜率处的切线的在点求等边双曲线xy解由导数的几何意义,得切线斜率为21xyk21)1(xx2121xx.4所求切线方程为法线方程为),21(42xy),21(412xy.044yx即.01582yx即(2)物理意义非均匀变化量的瞬时变化率.变速直线运动:路程对时间的导数为物体的瞬时速度..lim)(0dtdststvt交流电路:电量对时间的导数为电流强度.0()lim.tQdQittdt非均匀的物体:质量对长度(面积,体积)的导数为物体的线(面,体)密度.定理２若f(x)在x0处可导，则f(x)在x0处连续.证三、函数的可导性与连续性的关系,)(0可导在点设函数xxf)(lim00xfxyx)(0xfxyxxxfy)(0])([limlim000xxxfyxx0.)(0连续在点函数xxf)0(0x注意:该定理的逆定理不成立(连续函数未必可导)例如y=|x|在x=0处连续但不可导.0x假设例7.0,0,00,1sin)(处的连续性与可导性在讨论函数xxxxxxf解,1sin是有界函数x01sinlim0xxx.0)(处连续在xxf处有但在0xxxxxy001sin)0(x1sin.11,0之间振荡而极限不存在和在时当xyx.0)(处不可导在xxf0)(lim)0(0xffx例8?,1)(,1,1,)(2应取什么值处连续且可导，在为了使函数设函数baxxfxbaxxxxf解21(1)lim1xfx1(1)lim()xfaxbab1)1(f1,1)(baxxf则连续在若2_11()(1)1(1)limlim211xxfxfxfxx111()(1)1(1)limlimlim111xxxfxfaxbaxafaxxx)1()1(,2_ffa时当2,1,()1abfxx当时在处连续且可导小结1.导数的实质:增量比的极限;2.axf)(0)(0xf;)(0axf3.导数的几何意义:切线的斜率;4.函数可导一定连续，但连续不一定可导;5.求导数最基本的方法:由定义求导数.6.判断可导性不连续,一定不可导.连续直接用定义;看左右导数是否存在且相等.思考与练习1.函数在某点处的导数有什么区别与联系?与导函数2.设存在,则.________)()(lim000hxfhxfh3.已知则)(0xf0k4.设,问a取何值时,都存在,并求出在2.2函数的求导法则一、四则运算法则二、反函数求导法则三、复合函数的求导法则一、四则运算法则定理１并且也可导处在点分母不为零它们的和、差、积、商那么处可导在点如果函数,)(,)(),(xxxvxu).0)(()()()()()(])()([)3();()()()(])()([)2();()(])()([)1(2xvxvxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxu证(3)证(1)、(2)略.),0)((,)()()(xvxvxuxf设hxfhxfxfh)()(lim)(0hxvhxvhxvxuxvhxuh)()()()()()(lim0hxvxuhxvhxuh)()()()(lim0hxvhxvxvhxvxuxvxuhxuh)()()]()()[()()]()([lim0)()()()()()()()(lim0xvhxvhxvhxvxuxvhxuhxuh2)]([)()()()(xvxvxuxvxu.)(处可导在xxf推论;)(])([)1(11niiniixfxf);(])([)2(xfCxCf;][)3(wuvwvuvwuuvw.)1()4(2vvv例1.sin223的导数求xxxy解例2.ln2sin的导数求xxy解23xyx4.cosxxxxylncossin2xxxylncoscos2xxxln)sin(sin2xxx1cossin2.2sin1ln2cos2xxxx例3.tan的导数求xy解同理可得2(cot)sc.cxx2(tan)sec.xx即)cossin()(tanxxxyxxxxx2cos)(cossincos)(sinxxx222cossincosxx22seccos1例4.sec的导数求xy解同理可得(sec)sta.ecnxxx即(csc)cc.scotxxxxx2cos)(cos.tansecxxxx2cossin)cos1()(secxxy.1csc22yxxy，求例5解2222(csc)(1)csc(1)2(1)xxxxyx222)1(2)1(cotcsc2xxxxx222csccot(1)2csc2(1)xxxxxx).(,0),1ln(0,)(xfxxxxxf求设解,1)(xf,0时当x,0时当xhxhxxfh)1ln()1ln(lim)(0)11ln(1lim0xhhh,11x例6,0时当xhhfh)01ln()0(lim)0(0,1hhfh)01ln()]0(1ln[lim)0(0,1.1)0(f.