鲁教版六年级数学第三单元整式及其运算第二讲整式

自信是成功的起点，坚持是成功的终点！教育是一项良心工程六年级数学个性化辅导讲义授课题目：整式任课教师：自信是成功的起点，坚持是成功的终点！2数学学科辅导讲义教学目标整式的概念，能求出整式的次数能进行熟练的整式加减运算教学重点和难点正确理解整式的加减的实质就是去括号、合并同类项考点分析多项式的次数和项的次数混淆；括号前面是负号或数时去括号。教学流程及授课详案一、本节学习指导本节知识点很多，大多都需要我们掌握。不要偷懒，捧起书本多看看，课后练习认真完成。本节知识并不难，相信你们都能掌握好。此外，如果有疑问的知识点千万不要闷在心里，无论是问老师还是问同学，总之要弄明白，为以后学习做好铺垫。二、知识要点1、单项式的系数、次数，多项式的项、次数等概念；……知识频道2、列代数式；体验代数式在处理实际问题中的优越性．……例题频道3、辨析多项式的次数。……方法频道1、代数式的有关概念代数式：用基本的运算符号（包括加、减、乘、除、乘方、开方）把数、表示数的字母连结而成的式子叫做代数式，单独一个数或一个字母也是代数式。说明：代数式书写时需注意：（1）数与字母、字母与字母相乘时乘号省略不写，数字要写在字母前面，如12ab；数字因数是1或－1时，“1”省略不写，如－mn；（2）带分数与字母相乘时要化成假分数，如：ab211要写成ab23的形式；（3）除号要改写成分数线，如：a÷b要写成ba；（4）书写单位时要把代数式用括号括起来，如（12ab＋2R）平方米。代数式的系数：在代数式中，每一项字母前的数字因数叫做这一项的系数。说明：当系数是1或－1时，1省略不写，如－ab，2a等。探究引导：在小学我们研究过一些图形的面积，如三角形、正方形、长方形和圆的面积公式，我们知道三角形的面积＝底×高÷2，正方形的面积＝边长×边长，长方形的面积＝长×宽；圆的面积＝2半径。如下图所示，我们用一些字母代替三角形的底和高、正方形的边长、长方形的长和宽、圆的半径，那么这些面积公式就可以分别表示为：时间分配及备注自信是成功的起点，坚持是成功的终点！3三角形的面积为_________;长方形的面积为___正方形的面积为________;圆的面积为____________.这些面积公式的表现形式比文字表示要简捷。象12ab，st，2a，2R这些式子都是代数式，它们都是数与字母的积，它们的系数分别是12，1，1，1。2、整式的有关概念（1）单项式的定义：都是数与字母的积的代数式叫做单项式．说明：判断一个代数式是不是单项式，主要是根据代数式中数字和字母间是否都是乘法运算关系．如xy2就不是一个单项式，因为2y与x之间是除法运算．但是，21ab2是单项式，因为21是一个数．a2是一个单项式，因为a2可以看作是a·a．特别地，单独的一个数或单独的一个字母也都是单项式，如－3，0，35，x，2x等都是单项式（2）单项式次数：一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．说明：单项式的次数，是指这个单项式中将所有字母指数相加得到的和．如单项式3x2、2xy、31x2y、21x的次数分别是2、2、3、1．特别地，单独的一个数字，如3，－９等，可以当做0次单项式来看待．（3）单项式的系数：单项式中的数字因数即为单项式的系数．说明：在单项式中，系数只与数字因数有关；次数只与字母有关．如x3yz4的系数是1，次数为3＋1＋4＝8．（4）多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式．说明：多项式是由几个单项式相加得到的，如多项式x2＋2x－1是由单项式x2，2x和－1相加而得到的（5）多项式的次数：一个多项式中，次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数．说明：在确定多项式的次数时，应先计算出多项式的每一项的次数，然后再确定多项式的次数，即取次数最大的项的次数作为该多项式的次数．如，多项式x3－x2y2＋x中，单项式x3的次数是3，单项式－x2y2的次数是4，单项式x的次数是1，所以多项式x3－x2y2＋x的次数是4．自信是成功的起点，坚持是成功的终点！4（6）多项式的项数：一个多项式中有几个单项式就有几项．每一个单项式就是一项。说明：多项式的项，包括符号．如多项式5－3x2中，二次项是－3x2．（7）常数项的定义：在多项式中，不含有字母的项叫做多项式的常数项。（8）降幂排列：把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母降幂排列．（9）升幂排列：把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升幂排列．说明：把多项式按升幂或降幂排列时，一定要弄清是针对哪个字母的排列，排列时只看这个字母的指数，而后按照加法交换律交换项的位置．对于不同的字母，排列后的顺序往往不同，切记重新排列多项式时，各项一定要带着符号移动位置．如：x3＋2x4y－7xy3－y4－7＝2x4y＋x3－7xy3－y4－7①＝－7－y4－7xy3＋x3＋2x4y②＝－y4－7xy3＋2x4y＋x3－7③＝－7＋x3＋2x4y－7xy3－y4④其中，①是按x的降幂排列；②是按x的升幂排列；③是按y的降幂排列；④是按y的升幂排列．（10）整式的定义：单项式和多项式统称整式．说明：知道一个代数式，不论是单项式还是多项式，都一定是整式；反之，如果已知一个代数式是整式，那么它或者是单项式，或者是多项式，二者必具其一．如单项式－3x2，x等都是整式，多项式3－x，－x3－x＋1等都是整式；在整式2x，x4－1中，2x是单项式，x4－1是多项式．探究引导：．4a,216b,35x,a2h等，都是数字与字母的乘积.例如4a是4与a的积，216b是16与b2的积，35x是35与x的积，a2h是1与a2h的积.像这样的代数式我们把它们都叫做单项式，其中的数字因式如“4”“16”“35”“1”是单项式的系数.，每个单项式中所有字母的指数和叫单项式的次数。如216b是二次单项式，这里要注意是一个常数，不是一个字母，所以单项式中只有一个字母b，它的指数是2，216b就是一个二次单项式。代数式4a－4b是单项式4a,－4b的和，像这样的几个单项式的和所形成的代数式，我们把它叫做多项式.，每个单项式就是这个多项式的一项，多项式4a－4b中的项是4a和－4b，要注意多项式的项包括符号，所以第二项是－4b。在一个多项式中，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数.13x2y这一项在13x2y+2y－1中次数最高，因此我们把13x2y的次数3作为多项式13x2y+2y－1的次数，即13x2y+2y－1是一个三次三项式。自信是成功的起点，坚持是成功的终点！5二、方法频道由解题理解知识，由知识学会解题1.对单项式、多项式、整式进行判断例1判断下列各代数式，哪些是单项式，哪些是多项式，哪些不是整式．(1)－3xy2；(2)2x3＋1；(3)21(x＋y＋1)；(4)－a2；(5)0；(6)yx2；(7)32xy；(8)x21；(9)x2＋x1－1；(10)11x；解：单项式有：多项式有：不是整式的有：知识体验：只有数字与字母的乘积，这样的代数式是单项式，几个单项式的和组成多项式，单项式和多项式都是整式。在数字和字母之间只出现了乘法、加法、减法（可转化为加法）的运算，这样的代数式就是整式。没有出现2÷x即x2,或x÷2即2x这样的式子，那么2x,x2是整式吗？2x可以写成21·x,所以2x是单项式，而2x是数字与字母的商，所以不是单项式，更不是整式，所以整式最显著的特征是字母不能作分母。易错提示：(3)21(x＋y＋1)；会误以为是单项式，其实21(x＋y＋1)＝21x+21y+21，所以是三个单项式的和，是一个多项式。2、说出单项式、多项式的次数和项例2指出下列各单项式的系数与次数：（1）;832ab（2）-mn3;（3）3432yx（4）－3；解：（1）832ab的系数是次数是（2）-mn3的系数是次数是（3）3432yx的系数是次数是（4）－3的系数是次数是知识体验：单项式的系数，包括前面的符号，当单项式的系数是1或－1时，“1”自信是成功的起点，坚持是成功的终点！6省略不写，如-nm3中，系数是－1，则把“1”省略不写；圆周率只是一个常数符号，不能把它作为字母，如：3432yx的系数是34，次数是5。另外，像－3，21，0等这样的常数，是零次单项式．易错提示：-nm3的系数是-1；3432yx的系数是34，次数是5，如写成系数是43，次数是6就不对了.例3、填空：（1）多项式2x4-3x5-2π4是次项式，最高次项的系数是，四次项的系数是，常数项是，补足缺项后按字母x升幂排列得；（2）多项式a3-3ab2+3a2b-b3是次项式，它的各项的次数都是，按字母b降幂排列得.应用体验：－2π4是常数项，不是4次项。确定多项式项时不要漏掉前面的符号，移动多项式的某一项的位置时，要连同前面的符号一起移动，这些都是容易犯错误的地方，要引起高度重视。另外，第（2）小题所给多项式各项次数都等于3，一般称这样的三次多项式为三次齐次式.解题技巧：多项式应看作是省略括号的和的形式．因此，当确定多项式的项时，应包括符号．另外，圆周率π是一个常数．回答多项式是几次几项式时，数字要大写.如五次三项式，不能写成5次3项式.；补足缺项，是把升（或降）幂排列中缺少次数的项的系数用零表示补入式中.，移动多项式的某一项的位置时，要连同前面的符号一起移动.，对含有两个以上字母的多项式，一般按其中的某一个字母的指数大小顺序排列，本题是按规定的字母指数大小排列。三、例题频道（一）题型分类全析1、与代数式有关的题型例1.用代数式表示：（1）把温度是t℃的水加热到100℃，水温升高了___________℃。（2）一个两位数，个位数字是a，十位数字是b，则这个两位数可表示为___________。（3）用字母表示两个连续奇数为___________。（4）若正方体的棱长是a－1，则正方体的表面积为___________。（5）如图，亮亮家装饰新家，他为自己的房间选了一款窗帘（上方阴影固定），请你帮他计算可以射进阳光的面积为___________米2。自信是成功的起点，坚持是成功的终点！7b米a米思维直现：（1）温度差别就是末了温度－初始温度；（2）一个两位数的表示方法：十位数字×10＋各位数字；（3）连续奇数之间相差2；（4）正方体的表面积＝棱长×棱长×6；（5）射进阳光的面积＝长方形面积－阴影部分的面积。阅读笔记：用代数式表示，要仔细读题，找到题目中的等量关系，将需要表示的量表达出来，书写代数式时要注意：（1）数与字母、字母与字母相乘时乘号省略不写，数字要写在字母前面，如10b＋a；数字因数是1或－1时，“1”省略不写，如（100－t）；（2）带分数与字母相乘时要化成假分数，如：ab211要写成ab23的形式；（3）除号要改写成分数线，如：a÷b要写成ba；（4）书写单位时要把代数式用括号括起来，如（12ab＋2R）平方米。题评解说：列代数式是学习整式的基础，有代数式才能研究整式，而列代数式用到的知识很多，比如面积公式、温差等生活知识，对学生能力要求较高，难度视题目而定，可能很简单也可能比较难。列代数式是后续学习列方程解决实际问题的基础，所以要掌握好。建议：对列代数所用到的知识要努力回忆和复习，要多练才能熟练。例2.用语言叙述下列代数式的实际意义。（）；（）；（）；（）1323120%)492222aabxaa(思维直现：列代数式要有一定的问题背景，用语言叙述下列代数式，就是要再现列出代数式的问题背景，问题背景可能设计的不同，只要能解释即可。解：（1）如果用a表示一支铅笔的价格，那么3a表示3支铅笔的价格。（2）如果用a，b分别表示两个正方形的边长，那么a2＋b2表示这两个正方形面积之和。（3）如果用x表示过去的产量，那么（1－20%）x表示减少20%以后的产量。（）如果用表示圆的半径，正方形的边长是它的，那么表示413922aaa圆面积与正方形面积之差。自信是成功的起点，坚持是成功的终点！8阅读笔记