奥数专题-定义新运算(带答案完美排版)

小学奥数专题之----定义新运算-1-定义新运算我们学过的常用运算有：＋、－、×、÷等.如：2＋3＝52×3＝6都是2和3，为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，实际是对应法则不同.可见一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法，对应法则不同就是不同的运算.当然，这个对应法则应该是对任意两个数，通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应.只要符合这个要求，不同的法则就是不同的运算.在这一讲中，我们定义了一些新的运算形式，它们与我们常用的“＋”，“－”，“×”，“÷”运算不相同.我们先通过具体的运算来了解和熟悉“定义新运算”.例1、设a、b都表示数，规定a△b＝3×a－2×b，①求3△2，2△3；②这个运算“△”有交换律吗？③求（17△6）△2，17△（6△2）；④这个运算“△”有结合律吗？⑤如果已知4△b＝2，求b.分析：解定义新运算这类题的关键是抓住定义的本质，本题规定的运算的本质是：用运算符号前面的数的3倍减去符号后面的数的2倍.解：①3△2＝3×3－2×2＝9－4＝52△3＝3×2－2×3＝6－6＝0.②由①的例子可知“△”没有交换律.③要计算（17△6）△2，先计算括号内的数，有：17△6＝3×17－2×6＝39；再计算第二步39△2＝3×39－2×2＝113，所以（17△6）△2＝113.对于17△（6△2），同样先计算括号内的数，6△2＝3×6－2×2＝14，其次17△14＝3×17－2×14＝23，所以17△（6△2）＝23.④由③的例子可知“△”也没有结合律.⑤因为4△b＝3×4－2×b＝12－2b，那么12－2b＝2，解出b＝5.例2、定义运算※为a※b＝a×b－（a＋b），①求5※7，7※5；②求12※（3※4），（12※3）※4；③这个运算“※”有交换律、结合律吗？④如果3※（5※x）＝3，求x.解：①5※7＝5×7－（5＋7）＝35－12＝23，7※5＝7×5－（7＋5）＝35－12＝23.②要计算12※（3※4），先计算括号内的数，有：3※4＝3×4－（3＋4）＝5，再计算第二步12※5＝12×5－（12＋5）＝43，所以12※（3※4）＝43.对于（12※3）※4，同样先计算括号内的数，12※3＝12×3－（12＋3）＝21，其次21※4＝21×4－（21＋4）＝59，所以（12※3）※4＝59.小学奥数专题之----定义新运算-2-③由于a※b＝a×b－（a＋b）；b※a＝b×a－（b＋a）＝a×b－（a＋b）（普通加法、乘法交换律）所以有a※b＝b※a，因此“※”有交换律.由②的例子可知，运算“※”没有结合律.④5※x＝5x－（5＋x）＝4x－5；3※（5※x）＝3※（4x－5）＝3（4x－5）－（3＋4x－5）＝12x－15－（4x－2）＝8x－13那么8x－13＝3解出x＝2.例3、定义新的运算ab＝a×b＋a＋b.①求62，26；②求（12）3，1（23）；③这个运算有交换律和结合律吗？解：①62＝6×2＋6＋2＝20，26＝2×6＋2＋6＝20.②（12）3＝（1×2＋1＋2）3＝53＝5×3＋5＋3＝231（23）＝1（2×3＋2＋3）＝111＝1×11＋1＋11＝23.③先看“”是否满足交换律：ab＝a×b＋a＋bba＝b×a＋b＋a＝a×b＋a＋b（普通加法与乘法的交换律）所以ab＝ba，因此“”满足交换律.再看“”是否满足结合律：（ab）c＝（a×b＋a＋b）c＝（a×b＋a＋b）×c＋a×b＋a＋b＋c＝abc＋ac＋bc＋ab＋a＋b＋c.a（bc）＝a（b×c＋b＋c）＝a×（b×c＋b＋c）＋a＋b×c＋b＋c＝abc＋ab＋ac＋a＋bc＋b＋c＝abc＋ac＋bc＋ab＋a＋b＋c.（普通加法的交换律）所以（ab）c＝a（bc），因此“”满足结合律.说明：“”对于普通的加法不满足分配律，看反例：小学奥数专题之----定义新运算-3-1（2＋3）＝15＝1×5＋1＋5＝11；12＋13＝1×2＋1＋2＋1×3＋1＋3＝5＋7＝12；因此1（2＋3）≠12＋13.例4、有一个数学运算符号“”，使下列算式成立：24＝8，53＝13，35＝11，97＝25，求73＝？解：通过对24＝8，53＝13，35＝11，97＝25这几个算式的观察，找到规律：ab＝2a＋b，因此73＝2×7＋3＝17.例5、x、y表示两个数，规定新运算“*”及“△”如下：x*y=mx+ny，x△y=kxy，其中m、n、k均为自然数，已知1*2=5，（2*3）△4=64，求（1△2）*3的值.分析：我们采用分析法，从要求的问题入手，题目要求1△2）*3的值，首先我们要计算1△2，根据“△”的定义：1△2=k×1×2=2k，由于k的值不知道，所以首先要计算出k的值，k值求出后，l△2的值也就计算出来了.我们设1△2=a，(1△2）*3=a*3，按“*”的定义：a*3=ma+3n，在只有求出m、n时，我们才能计算a*3的值.因此要计算（1△2）*3的值，我们就要先求出k、m、n的值.通过1*2=5可以求出m、n的值，通过（2*3）△4=64求出k的值.解：因为1*2=m×1+n×2=m+2n，所以有m+2n=5.又因为m、n均为自然数，所以解出：①当m=1，n=2时：（2*3）△4=（1×2+2×3）△4=8△4=k×8×4=32k有32k=64，解出k=2.②当m=3，n=1时：（2*3）△4=（3×2+1×3）△4=9△4=k×9×4=36k有36k=64，解出k=971，这与k是自然数矛盾，因此m=3，n=1，k=971这组值应舍去.所以m=l，n=2，k=2.（1△2）*3=（2×1×2）*3=4*3=1×4+2×3=10.在上面这一类定义新运算的问题中，关键的一条是：抓住定义这一点不放，在计算时，严格遵照规定的法则代入数值.还有一个值得注意的问题是：定义一个新运算，这个新运算常常不满足加法、乘法所满足的运算定律，因此在没有确定新运算是否具有这些性质之前，不能运用这些运算律来解题.m=1n=2m=2n=23（舍去）m=3n=1小学奥数专题之----定义新运算-4-课后习题1.a*b表示a的3倍减去b的21，例如：1*2=1×3－2×21=2，根据以上的规定，计算：①10*6；②7*（2*1）.2.定义新运算为a㊀b＝b1a，①求2㊀（3㊀4）的值；②若x㊀4＝1.35，则x＝？3.有一个数学运算符号○，使下列算式成立：21○32=63，54○97=4511，65○71=426，求113○54的值.4.定义两种运算“”、“”，对于任意两个整数a、b，ab＝a＋b＋1，ab=a×b－1，①计算4[（68）（35）]的值；②若x（x4）=30，求x的值.5.对于任意的整数x、y，定义新运算“△”，x△y=y×2x×my×x×6（其中m是一个确定的整数），如果1△2=2，则2△9=？6.对于数a、b规定运算“▽”为a▽b=（a＋1）×（1－b），若等式（a▽a）▽（a＋1）=（a＋1）▽（a▽a）成立，求a的值.7.“*”表示一种运算符号，它的含义是：x*y=xy1＋））（（Ay1x1，已知2*1=1×21＋））（（A1121=32，求1998*1999的值.8.a※b=b÷aba，在x※（5※1）=6中，求x的值.9.规定a△b=a＋（a＋1）＋（a＋2）＋…＋（a＋b－1），（a、b均为自然数，ba）如果x△10=65，那么x=？10.我们规定：符号◇表示选择两数中较大数的运算，例如：5◇3=3◇5=5，符号△表示选择两数中较小数的运算，例如：5△3=3△5=3，计算：)25.2◇106237()9934△3.0()3323△625.0()2617◇6.0(=？小学奥数专题之----定义新运算-5-课后习题解答1.2.3.所以有5x-2=30，解出x=6.4左边：小学奥数专题之----定义新运算-6-8.解：由于9.解：按照规定的运算：x△10=x+（x+1）+（x+2）+…+（x+10－1）=10x+（1+2+3+⋯+9）=10x+45因此有10x+45=65，解出x=2.小学奥数专题之----定义新运算-7-定义新运算我们学过的常用运算有：＋、－、×、÷等.如：2＋3＝52×3＝6都是2和3，为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，实际是对应法则不同.可见一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法，对应法则不同就是不同的运算.当然，这个对应法则应该是对任意两个数，通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应.只要符合这个要求，不同的法则就是不同的运算.在这一讲中，我们定义了一些新的运算形式，它们与我们常用的“＋”，“－”，“×”，“÷”运算不相同.我们先通过具体的运算来了解和熟悉“定义新运算”.例1、设a、b都表示数，规定a△b＝3×a－2×b，①求3△2，2△3；②这个运算“△”有交换律吗？③求（17△6）△2，17△（6△2）；④这个运算“△”有结合律吗？⑤如果已知4△b＝2，求b.例2、定义运算※为a※b＝a×b－（a＋b），①求5※7，7※5；②求12※（3※4），（12※3）※4；③这个运算“※”有交换律、结合律吗？④如果3※（5※x）＝3，求x.小学奥数专题之----定义新运算-8-例3、定义新的运算ab＝a×b＋a＋b.①求62，26；②求（12）3，1（23）；③这个运算有交换律和结合律吗？例4、有一个数学运算符号“”，使下列算式成立：24＝8，53＝13，35＝11，97＝25，求73＝？例5、x、y表示两个数，规定新运算“*”及“△”如下：x*y=mx+ny，x△y=kxy，其中m、n、k均为自然数，已知1*2=5，（2*3）△4=64，求（1△2）*3的值.小学奥数专题之----定义新运算-9-课后习题1.a*b表示a的3倍减去b的21，例如：1*2=1×3－2×21=2，根据以上的规定，计算：①10*6；②7*（2*1）.2.定义新运算为a㊀b＝b1a，①求2㊀（3㊀4）的值；②若x㊀4＝1.35，则x＝？3.有一个数学运算符号○，使下列算式成立：21○32=63，54○97=4511，65○71=426，求113○54的值.小学奥数专题之----定义新运算-10-4.定义两种运算“”、“”，对于任意两个整数a、b，ab＝a＋b＋1，ab=a×b－1，①计算4[（68）（35）]的值；②若x（x4）=30，求x的值.5.对于任意的整数x、y，定义新运算“△”，x△y=y×2x×my×x×6（其中m是一个确定的整数），如果1△2=2，则2△9=？6.对于数a、b规定运算“▽”为a▽b=（a＋1）×（1－b），若等式（a▽a）▽（a＋1）=（a＋1）▽（a▽a）成立，求a的值.小学奥数专题之----定义新运算-11-7.“*”表示一种运算符号，它的含义是：x*y=xy1＋））（（Ay1x1，已知2*1=1×21＋））（（A1121=32，求1998*1999的值.8.a※b=b÷aba，在x※（5※1）=6中，求x的值.9.规定a△b=a＋（a＋1）＋（a＋2）＋…＋（a＋b－1），（a、b均为自然数，ba）如果x△10=65，那么x=？小学奥数专题之----定义新运算-12-10.我们规定：符号◇表示选择两数中较大数的运算，例如：5◇3=3◇5=5，符号△表示选择两数中较小数的运算，例如：5△3=3△5=3，计算：)25.2◇106237()9934△3.0()3323△625.0()2617◇6.0(=？