数学(拓展模块)第1章

数学（扩展模块）第1章三角公式及应用1.1和角公式1.2正弦型函数1.3正弦定理与余弦定理1.1和角公式两角和与差的余弦公式1.1.1我们知道：cos60°=,cos30°=，cos60°+cos30°=，cos(60°+30°)=cos90°=0，显然cos60°+cos30°≠cos(60°+30°)，由此可知，一般情况下，对于任意两个角α、β，cos(α+β)≠cosα+cosβ.那么，cos(α+β)与α,β的三角函数值到底有什么关系呢？如何计算cos(α+β)的值呢？下面我们来讨论这个问题.21232311.1和角公式如图1-1所示，设∠BOA,∠COA的大小分别为α,β.为简单起见，我们先假定α,β均为锐角.以OA为始边，记∠BOA,∠COA的终边分别与单位圆的交点为B,C.点B的坐标为(cosα,sinα)，点C的坐标为(cosβ,－sinβ)，因此向量=(cosα,sinα)，向量=(cosβ,－sinβ),且=1,=1，于是·=··cos(α+β)=cos(α+β)，OBOCOCOBOBOCOCOB1.1和角公式设向量a=(x1,y2),b=(x2,y2)，且a,b=θ，则a·b=|a|·|b|·cosθ，又由于a·b=x1x2+y1y2，则|a|·|b|·cosθ=x1x2+y1y2.学习提示1.1和角公式又由于·=（cosα，sinα）·（cosβ,-sinβ）=cosαcosβ－sinαsinβ，所以cos(α+β)=cosαcosβ－sinαsinβ.由此，我们得到了两角和的余弦公式cos(α+β)=cosαcosβ－sinαsinβ.（1-1）式（1-1）反映了α+β的余弦函数值与α,β的三角函数值之间的关系OBOC图1-11.1和角公式当α,β为任意角时，式（1-1）仍然成立，同学们可以通过锐角情况下的结论，利用三角函数的诱导公式来证明.学习提示1.1和角公式将式（1-1）中的β换成－β，则有cos(α－β)=cos［α+(－β)］=cosαcos(－β)－sinαsin(－β)=cosαcosβ+sinαsinβ.由此，我们得到了两角差的余弦公式cos(α－β)=cosαcosβ+sinαsinβ.（1-2）式（1-2）反映了α－β的余弦函数值与α,β的三角函数值之间的关系.1.1和角公式式（1-1）、（1-2）的特点可归纳为：任意角、同名称、符号反.学习提示1.1和角公式例1不用计算器，求cos75°的值.解将75°看成是30°与45°的和，利用式（1-1）得cos75°=cos(30°+45°)=cos30°cos45°－sin30°sin45°=4262221-22231.1和角公式例5化简下列各式：（1）cos40°cos20°－sin40°sin20°；（2）cos(α－β)cosβ－sin(α－β)sinβ.解和角公式（1-1）把角α+β的三角函数转化成了α,β的三角函数式.如果反过来，从右向左使用式（1-1），我们就可以将上述的三角函数式化简.（1）cos40°cos20°－sin40°sin20°sin4=cos(40°+20°)=cos60°=1/2.（2）cos(α－β)cosβ－sin(α－β)sinβ=cos［(α－β)+β］=cosα.1.1和角公式练一练1.不用计算器，求下列各式的值：（1）cos105°；（2）cos225°.2.化简下列各式，并求值：（1）cos80°cos20°+sin80°sin20°；（2）15sin23+15cos211.1和角公式两角和与差的正弦公式1.1.2我们已经学习了两角和与差的余弦公式，那么，两角和与差的正弦公式是怎么样的呢？根据两角和的余弦公式式（1-1）我们可以计算出，因此有这一等式.这说明余弦函数与正弦函数之间是可以互相转化的，也为我们推导两角和的正弦公式提供了有力的工具.sin)2cos()2-cos(sin1.1和角公式由此，我们得到了两角和的正弦公式sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ.（1-3）式（1-3）反映了α+β的正弦函数值与α,β的三角函数值之间的关系.1.1和角公式将式（1-3）中的β换成－β，则有sin(α－β)=sin［α+(－β)］=sinαcos(－β)+cosαsin(－β)=sinαcosβ－cosαsinβ.由此，我们得到了两角差的正弦公式sin(α－β)=sinαcosβ－cosαsinβ.（1-4）式（1-4）反映了α－β的正弦函数值与α,β的三角函数值之间的关系.1.1和角公式例6不用计算器，求sin75°的值.解将75°看成是30°与45°的和，利用式（1-3）得sin75°=sin(30°+45°)=sin30°cos45°+cos30°sin45°=462222322211.1和角公式例7不用计算器，求sin15°的值.解将15°看成是45°与30°的差，利用式（1-4）得sin15°=sin(45°－30°)=sin45°cos30°－cos45°sin30°=426212223221.1和角公式例7是否还有别的解法？1.1和角公式例8已知cosα=3/5,α∈(－π/2,0)，求sin(α+π/3)的值.解利用式（1-3），首先应求出sinα的值.由于cosα=3/5,α∈(－π/2,0)，所以1.1和角公式逆向使用公式是非常重要的，往往会给解题带来新的思路，使问题的解决变得简单化。学习提示1.1和角公式练一练1.求下列各式的值：（1）sin105°；（2）sin165°；（3）sin225°.2.化简下列各式，并求值：（1）sin26°cos19°+cos26°sin19°；（2）sin80°cos35°－cos80°sin35°.1.1和角公式两角和与差的正切公式1.1.3根据两角和与差的正弦公式、余弦公式可知当cosα·cosβ≠0时，上式分子分母同除以cosαcosβ可得（1-5）同理，可得出（1-6）注意：在两角和与差的正切公式中，α、β的取值应使式子的左右两端都有意义.sinsincoscossincoscossin)cos()sin()tan(tantan1tantan)tan(tantan1tan-tan)-tan(1.1和角公式例10不用计算器，求（1）；（2）tan285°的值.解（1）=-==（2）1211tan1211tan12tan)64tan(75tan)75360tan(285tan3230tan45tan130tan45tan)3045tan(1.1和角公式练一练1.求下列各式的值：（1）；（2）.2.已知tanα=1/2,tan（α-β）=-2/5，求tan（2α-β）的值.3.已知：tanα、tanβ分别是关于x的二次方程x2-5x+6=0的两个根，求tan（α+β）的值.50tan70tan350tan70tan15tan115tan11.1和角公式二倍角公式1.1.4在式（1-1）中，令α=β，就可以得到二倍角的余弦公式：cos2α=cos(α+α)=cosαcosα－sinαsinα=cos2α－sin2α,即cos2α=cos2α－sin2α.（1-7）同理，在式（1-3）中，令α=β，就可以得到二倍角的正弦公式:sin2α=2sinαcosα.（1-8）因为sin2α+cos2α=1，所以式（1-7）又可以写为1.1和角公式cos2α=2cos2α－1，（1-9）cos2α=1－2sin2α，（1-10）则还可以得到下列公式cos2α=（1+cos2α）/2，（1-11）sin2α=(1－cos2α)/2.（1-12）在式（1-5）中，令=α=β,就可以得到二倍角的正切公式：tan2α=2tanα/(1-tan2α).（1-13）式（1-7）~（1-13）反映出具有二倍角关系的角的三角函数之间的关系，在三角计算中有着广泛的应用.1.1和角公式例14不用计算器,求下列各式的值：（1）sin15°cos15°；（2）2sin222.5°－1.解（1）sin15°cos15°=1/2×(2sin15°cos15°)=1/2sin(2×15°)=1/2sin30°=1/4.（2）2sin222.5°－1=－(1－2sin222.5°)=－cos(2×22.5°)=－cos45°=－.221.1和角公式在利用二倍角公式求三角函数的值时，要经常用到开方运算.为了判断平方根的正负号，要首先确定角的范围.学习提示1.1和角公式练一练1.根据二倍角公式，完成下列各题：（1）sin6α=2sin()cos()；（2）sinα=2sin()cos().2.已知sinα=5/13，且α是第一象限的角，求sin2α,cos2α,tan2α的值.3.已知tan2α=3/4，求tanα的值。1.2正弦型函数正弦型函数的概念和性质1.2.1我们已经学习了正弦函数y=sinx和余弦函数y=cosx.在物理学和电学中，我们经常会遇到形如y=Asin(ωx+φ)(A0,ω0)的函数，这类函数称为正弦型函数.它与正弦函数y=sinx有着密切的关系.我们先来讨论正弦型函数的周期.y=Asin(ωx+φ)(A0,ω0)中，令z=ωx+φ，则y=Asin(ωx+φ)=Asinz.1.2正弦型函数我们已经知道正弦函数y=sinx的定义域为R，周期为2π，值域为［－1,1］.因此,函数y=Asin(ωx+φ)(A0,ω0)的定义域为R，并且1.2正弦型函数由于正弦函数y=sinx的值域为［－1,1］，所以y=Asinz(A0)的值域为［－A,A］，即正弦型函数y=Asin(ωx+φ)(A0,ω0)的最大值为A，最小值为－A.综上所述，正弦型函数y=Asin(ωx+φ)(A0,ω0)主要有以下性质：（1）定义域为R；（2）周期为T=2πω；（3）值域为［－A,A］，即最大值为A，最小值为－A.1.2正弦型函数例1求正弦型函数y=sin（2x+π/6)和y=sin(x/2+2π/5)的周期.解根据正弦型函数的周期公式T=2π/ω，可知y=sin(2x+π/6)的周期为T=2π/ω=2π/2=π；y=sin(x/2+2π/5)的周期为42122wT1.2正弦型函数例2求函数y=3sin(4x+π/3)的周期和最大值、最小值，并求在什么情况下函数取得最大值和最小值.解据正弦型函数的性质，我们可得函数y=3sin(4x+π/3)的周期为T=2π/ω=2π/4=π/2.设z=4x+π/3，即x=z/4－π/12，则当z=2kπ+π/2(k∈Z),即x=kπ2+π24(k∈Z)时，函数y=3sinz有最大值，最大值为3；1.2正弦型函数当z=2kπ－π/2(k∈Z),即x=kπ/2－5π/24(k∈Z)时，函数y=3sinz有最小值，最小值为－3.所以，当x=kπ/2+π/24(k∈Z)时，函数y=3sin(4x+π/3)取得最大值3；当x=kπ/2－5π/24(k∈Z)时，函数y=3sin(4x+π/3)取得最小值－3.1.2正弦型函数一般地，研究函数y=asinx+bcosx(a0,b0)时，首先要把函数转化为正弦型函数y=Asin(x+θ)的形式.如图1-2所示，考察以(a,b)为坐标的点P，设以OP为终边的角为θ，则图1-21.2正弦型函数于是即，角θ的值可以由tanθ=b/a确定（角θ所在的象限与点P所在的象限相同）.22baA1.2正弦型函数例3中，利用公式（1-3）将函数转化为正弦型函数的形式，这是确定函数周期和值域的关键.学习提示1.2正弦型函数例3求函数y=cosx+sinx的最大值和最小值.解因为故函数y=cosx+sinx的最大值为，最小值为.221.2正弦型函数练一练1.求下列函数