对数的运算法则

对数的运算法则对数的文化意义恩格斯说，对数的发明与解析几何的创立、微积分的建立是17世纪数学史上的3大成就。伽利略说，给我空间、时间及对数，我可以创造一个宇宙。布里格斯（常用对数表的发明者）说，对数的发明，延长了天文学家的寿命。对数的概念x(0,1)xaNaa且logaxNa一般地，若，那么数叫做以a为底N的对数，记作叫做对数的底数，N叫做真数.ab＝NlogaN＝blogxaaNNx对数的概念底数指数真数底数对数幂有关性质：⑴负数与零没有对数（∵在指数式中N0）⑵,01logalog1,aa⑶对数恒等式log,aNaNlogbaab⑷常用对数：为了简便,N的常用对数N10log简记作lgN。我们通常将以10为底的对数叫做常用对数。⑸自然对数：在科学技术中常常使用以无理数e=2.71828……为了简便，N的自然对数Nelog简记作lnN。（6）底数a的取值范围：),1()1,0(真数N的取值范围:),0(为底的对数，以e为底的对数叫自然对数。积、商、幂的对数运算法则：如果a0，a1，M0，N0有：𝑙𝑜𝑔𝑎𝑀𝑁=𝑙𝑜𝑔𝑎𝑀+𝑙𝑜𝑔𝑎𝑁1𝑙𝑜𝑔𝑎𝑀𝑁=𝑙𝑜𝑔𝑎𝑀−𝑙𝑜𝑔𝑎𝑁2𝑙𝑜𝑔𝑎𝑀𝑛=𝑛𝑙𝑜𝑔𝑎𝑀𝑛∈𝑅3𝑙𝑜𝑔𝑎𝑀𝑃𝑛=𝑝𝑛𝑙𝑜𝑔𝑎𝑀(4)证明：①设,logpMa,logqNa由对数的定义可以得：,paMqaN∴MN=qpaaqpaqpMNloga即证得)1(NlogMlog(MN)logaaa正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的和证明：②设,logpMa,logqNa由对数的定义可以得：,paMqaN∴qpaaqpaqpNMloga即证得NM)(2NlogMlogNMlogaaa两个正数的商的对数等于被乘数的对数减去除数的对数证明：③设,logpMa由对数的定义可以得：,paMnpnaMnpMlogna即证得)(3R)M(nnlogMlogana正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数正数的正的方根的对数等于被开方数的对数除以根指数.证明：④设log𝒂𝑴𝒑𝒏=𝒉由对数的定义可以得：𝒂𝒉=𝑴𝒑𝒏⇔𝒂𝒉=𝑴𝒑𝒏⇒𝑴=𝒂𝒉𝒏𝒑即证得𝑙𝑜𝑔𝑎𝑀=ℎ𝑛𝑝⇔𝑝𝑛𝑙𝑜𝑔𝑎𝑀=ℎ(两边同时乘以𝑝𝑛)log𝒂𝑴𝒏=𝒑𝒏𝒍𝒐𝒈𝒂𝑴𝑙𝑜𝑔𝑎𝑀𝑃𝑛=𝑝𝑛𝑙𝑜𝑔𝑎𝑀(4)①简易语言表达：“积的对数=对数的和”…②有时逆向运用公式③真数的取值范围必须是),0(④对公式容易错误记忆，要特别注意：,loglog)(logNMMNaaaNMNMaaaloglog)(log分析运用转化的思想,先通过假设,将对数式化成指数式,并利用幂的运算性质进行恒等变形;然后再根据对数定义将指数式化成对数式.11025101010logloglog)(log)(log))((log5353222)(log)(log1021010210例1计算)42(log)1(75227log)2(9讲解范例解:)42(log752522log724log522log1422log=5+14=19解:27log9333log23log23323一、对数的换底公式:如何证明呢?aNNccalogloglog)0),,1()1,0(,(Nca证明：设由对数的定义可以得：paN即证得pNalogpccaNloglogapNccloglogaNpccloglogaNNccalogloglog通过换底公式，人们可以把其他底的对数转换为以10或e为底的对数，经过查表就能求出任意不为1的正数为底的对数。二、几个重要的推论:如何证明呢?abbalog1logNmnNanamloglog),1()1,0(,ba证明：利用换底公式得：即证得NmnNanamlogloglglglgloglglglgmnaNnNnNnNamamamlogaNmnaNlglg证明:由换底公式abbalog1log即abbaloglog1lglglglgbaab1logloglogacbcba推论: