有理数专题复习(教师版)

1有理数专题复习考点一、正数和负数的有关概念（1）正数：比0大的数叫做正数；负数：比0小的数叫做负数；0既不是正数，也不是负数，它是正数与负数的分界点．（2）正数和负数表示相反意义的量。1.我国是最早使用负数的国家，东汉初，在我国著名的数学书《九章算术》中，明确提出了“正负术”．如果盈利2000元记作“+2000元”，那么亏损3000元记作（A）A．﹣3000元B．3000元C．5000元D．﹣5000元2.（2018绍兴）如果向东走2m记为+2m，则向西走3m可记为（C）A.+3mB.+2mC.-3mD.-2m3.下列语句中，含有相反意义的两个量是（C）A.盈利1千元和收入2千元B.上升8米和后退8米C.存入1千元和取出2千元D.超过2厘米和上涨2厘米4.在－4,0，－1,3这四个数中，既不是正数又不是负数的数是(B)A.－4B.0C.－1D.35.下列各数：-2，−（−3），−[−(−5)],−(−4)2负数的个数为（C）A．1B．2C．3D．46.某粮店出售的三种品牌的面粉袋上分别标有质量为(25±0.1)kg,(25±0.2)kg,(25±0.3)kg的字样,从中任意拿出两袋,它们的质量最多相差（B）A.0.8kgB.0.6kgC.0.5kgD.0.4kg考点二、有理数的概念及分类有理数是整数和分数的统称。通常有两种分类：（1）按数的意义分（2）按数的性质分0正整数整数负整数有理数正分数分数负分数0正整数正数正分数有理数负整数负数负分数注意：(1)易把整数误认为分为二类：正整数、负整数．最小的正整数是1，最大的负整数是-1。（2）有理数：有限小数或无限循环小数。无理数：无限不循环小数。如：，2.1010010001…，1.在21，π，4，231，0，﹣0.中，表示有理数的有（C）A．3个B．4个C．5个D．6个2.-a一定是（D）A.正数B.负数C.正数或负数D.正数或零或负数自然数23．下列说法正确的个数有（A）①不带“－”号的数都是正数②如果a是正数，那么－a一定是负③0℃表示没有温度④不存在既不是正数，也不是负数的数⑤一个有理数不是正数就是负数A．1B．2C．3D．44.将下列各数填在相应的集合里：－3.8，－10，4.3，－|－207|，42，0，－(－35)，15%，π．整数集合：{－10，42，0，…}；分数集合：{－3.8，4.3，－|－207|，－(－35)，15%，…}；正数集合：{4.3，42，－(－35)，15%，π．…}；负数集合：{－3.8，－10，－|－207|，…}；非正有理数集合：{－3.8，－10，－|－207|，0，…}考点三、数轴、相反数、倒数、绝对值1.数轴：（1）数轴的三要素：原点、正方向、单位长度。数轴是一条直线。（2）所有有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点不一定都是有理数。（3）数轴上，右边的数总比左边的数大；表示正数的点在原点的右侧，表示负数的点在原点的左侧。2.相反数：符号不同、绝对值相等的两个数互为相反数。（1）数a的相反数是-a.（2）0的相反数是0．（3）若两个数a、b互为相反数a+b=0．注意：相反数是本身的是0，正数的相反数是负数，负数的相反数是正数。3.倒数:数a(a≠0)的倒数是a1.注意：（1）0没有倒数．（2）若两个数a、b在互为倒数ab=1.(如互为倒数:5与51,-143与-74)4.绝对值：在数轴上表示数a的点与原点的距离，叫做a的绝对值，记作：a。正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．)0(0)0()0(||aaaaaa=)0()0(aaaa注意：绝对值最小的数是0；绝对值是本身的数是非负数。任何数的绝对值是非负数，即a0.1.点A表示-3,从点A出发,沿数轴移动4个单位长到达点B,则点B表示的数是_1或-7_____.2.（2018滨州）若数轴上点A、B分别表示数2、－2，则A、B两点之间的距离可表示为（B）A．2＋（－2）B．2－（－2）C．（－2）＋2D．（－2）－2解析：AB＝|xA－xB|＝|2－（－2）|＝2－（－2）.3.数轴上点A、B的位置如图所示，若点B关于点A的对称点为C，则点C表示的数为__1__.34.小明不慎将墨水滴在数轴上，根据图中的数值，判定墨迹盖住部分的整数的和是3.–6–4–32-101234565.﹣2019的相反数是（B）A．﹣2019B．2019C．﹣20191D．201916.已知9,a那么a的相反数是-9.；已知9a，则a的相反数是9.m的相反数是m，1m的相反数是m-1，1m的相反数是-m-1.7.下列各对数中，互为相反数的是（D）A．﹣（+5）和﹣5B．+（﹣5）和﹣5C．﹣21和﹣（+21）D．+|+8|和﹣（+8）8.若m，n互为相反数，则5m+5n-5=-5．9.－232的倒数是（B）A.83B.－83C.38D.－23210.如果2()13，则“”内应填的实数是（D）A．32B．23C．23D．3211.(2018株洲)如图，25的倒数在数轴上表示的点位于下列______两个点之间．(C)A．点E和点FB．点F和点GC．点G和点HD．点H和点I12.（2018怀化）-2018的绝对值是（A）A.2018B.-2018C.20181D.±201813.倒数是它本身的数是1；相反数是它本身的数是0；绝对值是它本身的数是非负数。14.数轴上的两点A、B分别表示－6和－3，那么A、B两点间的距离是（D）A.－6+(－3)B.－6－(－3)C.|－6+(－3)|D.|－3－(－6)|15.（2018枣庄）实数a，b，c，d在数轴上的位置如图所示，下列关系式不正确的是（B）A．|a||b|B．|ac|=acC．bdD．c+d016.a，b，c在数轴上的位置如下图，化简abbc__-a-c________．17.已知x=3，y=2，且xy〈0，则x+y=__1_____.18.若a=3,|b|=7,则ba的值是（C）A.10B.4C.10或4D.10或4或-4或-1019.若ab≠0，则a|a|＋|b|b的值不可能是(D)A．2B．0C．－2D．1420.已知mm，化简21mm所得的结果是__-1______．21.已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，|m|=3，求mba-cd+m的值．解：∵a、b互为相反数，c、d互为倒数，∴a+b=0，cd=1，∵|m|=3，∴m=±3，∴当m=3时，原式=0﹣1+3=2；当m=﹣3时，原式=0﹣1﹣3=﹣4．故答案为：2或﹣4．考点四、有理数数的大小比较(1)利用数轴：右边左边；正数0负数；正数负数；(2)利用绝对值:两个负数比较大小，绝对值大的反而小．1.下列各数中，绝对值最小的数是（D）A.πB.21C.-2D.-312.(2018攀枝花)如图数－3，x，3，y在数轴上的对应点分别为M，N，P，Q，这四个数中绝对值最小的数对应的点是(B)A．点MB．点NC．点PD．点Q解析：数轴上的点离原点越近(远)，所表示的数的绝对值越小(大)．这里四个点中，点M越原点最近，其表示的数的绝对值最小，故选B．3.数a在数轴上对应的点如图所示，则a、－a、1的大小关系正确的是（D）A．－a＜a＜1B．a＜－a＜1C．1＜－a＜aD．a＜1＜－a4.（2014湖北）如图，M，N两点在数轴上表示的数分别是m，n，则下列式子中成立的是（D）A．m+n＜0B．﹣m＜﹣nC．|m|﹣|n|＞0D．2+m＜2+n5.（2016泰安）如图，四个数m，n，p，q在数轴上对应的点分别为M，N，P，Q，若n+q=0，则m，n，p，q四个实数中，绝对值最大的一个是（A）A．pB．qC．mD．N6.若0＜x＜1,则把x,x2,1x从小到大排列为：(C)A.x＜x2＜1xB.xx21xC.x2x1xD.无法确定7.已知a=7453,b=53-74,c=-53-74,d=(-53)-(-74)按从小到大排列为（B）A．dcbaB．CdbaC.bdcaD．Cbda8．阅读材料：若a−b0，则ab；若a−b=0，则a=b；若a−b0，则ab．运用此方法可进行有理数的大小比较，如比较5与3的大小.因为5−3=20，所以53，我们把这种比较大小的方法叫作“求差法”.QPMN－3x03y5（1）请用“求差法”比较大小：34与23；（2）请运用不同于（1）的方法比较34与23的大小.解：（1）323298104343121212，3243；（2）3394412，2283312，又981212，根据两负数比较大小，绝对值大的反而小可得3243.考点五、有理数数的运算1.加法：有理数加法运算技巧：1）几个带分数相加,把整数部分与分数（或小数）部分分别结合起来相加2）几个非整数的有理数相加，把相加得整数的数结合起来相加；3）几个有理数相加，把相加得零的数结合起来相加；4）几个有理数相加，把正数和负数分开相加；5）几个分数相加，把分母相同（或有倍数关系）的分数结合相加．2.减法：a-(-b)=a+b3.乘法:两数相乘，同号得正，异号得负，再把绝对值相乘；任何数与0相乘都得0。注意：①先确定积的符号②后绝对值相乘几个有理数相乘，因数都不为0时，积的符号由负因数的个数确定：当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正。几个有理数相乘,有一个因数为零,积就为零。4.除法：ab=ab1(a0)5.乘方:naaaa个=na，正数的任何次幂都是正数;负数的奇数次幂是负数,负数的偶数次幂是正数.注意：一个数的平方为它本身,这个数是0和1；一个数的立方为它本身,这个数是0、1和-1。6.有理数运算律：加法:交换律：a+b=b+a；结合律：(a+b)+c=a+(b+c)(a,b,c为任意有理数)乘法:交换律：ab＝ba；结合律：(ab)c=a(bc)；分配律：a(b+c)=ab+ac注意：其中a、b、c表示任意实数．运用运算律有时可使运算简便．7.有理数混合运算:顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里的。1.下列各组数中，相等的是（B）A.–1与（–4）+（–3）B.3与–（–3）C.432与169D.2)4(与–162.下列各组数中，互为相反数的是(D)A．)3(与3B．（－1）2与1C．2与2D．－12与163.561()(2)2的值是（C）A.12B.12C.－2D.24.1110(2)(2)的值是（D）A.－2B.(－2)21C.0D.－2105．20032004)2(3)2(的值为（A）．A．20032B．20032C．20042D．200426.已知a=25,b=-3,则a99+b100的末位数字是6。7.一个质点P从距原点1个单位长度的点A处向原点方向跳动，第一次跳动到OA的中点A1处，第二次从点A1跳动到OA1的中点A2处，第三次从点A2跳动到OA2的中点A3处，…如此不断跳动下去，则第五次跳动后，该质点到原点O的距离为__125__.8.计算：（1）.﹣15+（﹣8）﹣（﹣11）﹣12解：原式=-15-8+11-12=-(15+8+12)+11=-35+11=-24（2）.111135332114;（3）.﹣．解：原式=﹣1+8﹣2+4＝9．（4）.)21(2)4(23)2()5(2020)1(解：原式＝1+（-5）×（-6）+8=1+30+8=39（5）.323）（(-31)2-(-7)÷23-(-）解：原式＝11×91+7×91=(11+7)×91=2考点六、科学计数法、近似数1.科学计数法：一般情况下，把大于