数学讲义(高微)

（一）函数1凹（凸）函数1.1凸集凸集（ConvexSet）：对于任意两点uS∈和vS∈，且对于每一个[0,1]θ∈，当且仅当(1)wuvSθθ=+−∈为真时，集合为凸集。nSR⊂凸集要求集合内的任意两点，其连线也在集合内，即该集合不存在任何孔，它的边缘也不能有缩进。例如，平面中，一条线段就是一个凸集，而一个圆圈则不是。1.2凹（凸）函数引入凸集的概念后我们就可以介绍凹（凸）函数：不管是凹函数还是凸函数都要求其定义域是凸集。我们可以先举个例子直观感受下凹（凸）函数的特征，比如函数244yxx=−+−就是一个凹函数，它在定义域内呈现的形状是一只倒立的碗；而函数是一个凸函数，它在定义域内呈现的形状就像一只碗。24yxx=−+4现在具体给出凹（凸）函数的定义（x为自变量向量）：对于函数:fD→R，其定义域内任意两个不同的点和,当且仅当1x2x1212(x)(1)(x)(x(1)x)(0,1)tftffttt+−≤+−∀∈时，函数f为凹函数(ConcaveFunction)。对于函数:fD→R，其定义域内任意两个不同的点和,当且仅当1x2x1212(x)(1)(x)(x(1)x)(0,1)tftffttt+−≥+−∀∈时，函数f为凸函数(ConvexFunction)。如果f为一元函数，我们能从图形上看，凸函数的定义是指该曲线上任何两点之间的连线在曲线的上面，而凹函数则要求曲线上任何两点之间的连线在曲线的下面。如果是二元函数，则把“曲线”改为“曲面”也可以感受它们的特征。若将不等号“≤”和“≥”分别变换成严格不等号“”和“”，上述定义便成了严格凹函数和严格凸函数的定义。因为凹函数的定义域为凸集，因此点也一定在函数的定义域内。12x(1)xtt+−我们可以利用凹（凸）函数和严格凹（凸）函数判断函数极值的情况。在满足无约束极值一阶必要条件的前提下，凹函数一定存在全局最大值的解，但全局最大值的解可能不是唯一的，因为如果山峰包含一个平顶，则全局最大值的解有很多个。仅当我们限定它为严格凹形函数时，全局最大值的解才可能是唯一的。1.3凹（凸）函数与凸集的关系首先我们必须区别凸集与凸函数的概念。根据定义，可知当“凸的”在描述集合时，它要求该集合不能出现任何孔，边缘也不能有缩进。这不同于之前的凹（凸）函数：当“凸的”在描述函数时，它确定的是一条曲线或曲面是如何弯曲的。但凹（凸）函数确实与凸集有关。除了定义域都要求是凸集之外，它们都可以引致一个凸集。定理(x)f是凹函数{}(x)x,(x)AyDf⇔≡∈≥，y是凸集；(x)f是凸函数{}(x)x,(x)AyDf⇔≡∈≤，y是凸集。即，由函数上的点以及函数曲线（曲面）之下的点组成的集合若是凸集⇔该函数为凹函数；由函数上的点以及函数曲线（曲面）之上的点组成的集合若是凸集⇔该函数为凸函数。注意，这里的A是关于点（x,y）的集合。1.4用海塞矩阵判定凹（凸）函数当函数为二阶连续可导时，我们还可以利用海塞矩阵判定它是否为凹（凸）函数。定义海塞矩阵：为函数二阶导数和交叉导数构成的矩阵，如：。根据杨格定理：111212122212(x)(x)...(x)(x)(x)...(x)(x)............(x)(x)...(x)nnnnnnffffffHfff⎡⎤⎢⎥⎢=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎥ijjiff=，因此海塞矩阵为对称矩阵。通过判定海塞矩阵的负（正）定，我们可以判定函数的凹（凸）性，规则为（1）函数为严格凹函数⇐其海塞矩阵负定；(x)H（2）函数为严格凸函数⇐其海塞矩阵正定。(x)H接下来就介绍判断海塞矩阵正负定的方法。定义主子阵：对n矩阵A，由A的k个主对角线元素及其对应的非对角线元素来得到的矩阵，称为A的k阶主子阵；由A的前k个主对角线元素及其对应的非对角线元素来得到的矩阵，为k阶前主子阵。n×主子阵的行列式为主子式；前主子阵的行列式为顺序主子式。我们用表示的k阶顺序主子式（其中kD(x)H1,2,3,...,kn=），如:111(x)(x)Df=，111222122(x)(x)(x)(x)(x)ffDff=,…111212122212(x)(x)...(x)(x)(x)...(x)(x)............(x)(x)...(x)nnknnnnffffffDfff=。定理对于二次连续可微函数，12(,,...,)nyfxxx=（1）海塞矩阵正定；(x)0(1,2,...,)kDkn=⇔（2）(海塞矩阵负定。1)(x)0(1,2,...,)kkDkn−=⇔用Hπ表示海塞矩阵H的指标（1,2,3，…，n）的任意排序，kDπ为Hπ的k阶顺序主子式，则（3）海塞矩阵半正定；(x)0,(1,2,...,)kDkπ≥=n⇔n⇔（4）(海塞矩阵半负定。1)(x)0,(1,2,...,)kkDkπ−≥=2拟凹（拟凸）函数不管是凹（凸）函数还是严格凹（凸）函数，它们对函数都有比较强的设定。我们需要更弱的假定来增加理论的一般性和解释力。拟凹（拟凸）函数则是一个相对而言更弱的条件。拟凹（拟凸）函数的定义如下：DR→，其定义域内任意两个不同的点和,当且仅当1x2xf:对于函数{}1212min(x),(x)(x(1)x)(0,1)fffttforallt≤+−∈时，函数f为拟凹函数（QuasiconcaveFunction）。对于函数:fD→R，其定义域内任意两个不同的点和,当且仅当1x2x{}1212max(x),(x)(x(1)x)(0,1)fffttforallt≥+−∈时，函数f为拟凸函数(QuasiconvexFunction)。若将不等号“≤”和“≥”分别变换成严格不等号“”和“”，上述定义便适用于严格拟凹函数和严格拟凸函数的定义。我们也可以通过更直观的方法检验函数的拟凹性和拟凸性。定义{}0()xx,(x)SyDfy≡∈≥(x)0为函数f在0y水平上的上等值集（UpperContourSet），{}00I()xx,(x)yDfy≡∈≤(x)为函数f在0y水平上的下等值集（LowerContourSet）。注意：不论是上等值集还是下等值集，它们都是关于选择变量x的集合。区别于之前与凹（凸）函数有关的A集合。定理对于值域内的所有y值，都是凸集(y)S:fDR⇔→是拟凹函数对于值域内的所有y值，(y)I都是凸集:fDR⇔→是拟凸函数经济学中常假设拟凹的效用函数。根据定理，拟凹的效用函数保证了其上等值集为凸集。2.1用加边海塞矩阵判定拟凹（拟凸）函数当函数为二次连续可微时，我们还可以利用加边海塞矩阵判定拟凹（拟凸）函数。定义加边海塞矩阵：由海塞矩阵和函数的一阶导数（边）构成的矩阵，如二元函数12(,)yfxx=的加边海塞矩阵1122121211211121212212211222120(,)(,(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,))fxxfxxHxxfxxfxxfxxfxxfxxfxx⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，加边海塞矩阵也是对称矩阵。kB为加边海塞矩阵的k+1阶顺序主子式，如11221221211211121212212211222120(,)(,(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,))fxxfxxBxxfxxfxxfxxfxxfxxfxx=。120(,)kkTkkfBxxfHππππ∇=∇,其中表示海塞矩阵的指标（1,2,3，…，n）的任意排序，为的k阶子式。(x)Hπ(x)H(x)kHπ(x)Hπ通过加边海塞矩阵判定函数的拟凹（拟凸）性的规则为（1）函数为拟凹函数⇔(1)(x)0(1,2,...,)kkBknπ−≥=；（2）函数为严格拟凹函数⇐(1)(x)0(1,2,...,)kkBknπ−=。（3）函数为拟凸函数⇔(x)0(1,2,...,)kBkn≤=（4）函数为严格拟凸函数⇐(x)0(1,2,...,)kBkn=3函数间关系（1）(x)f是（严格）凹函数⇔(x)f−是（严格）凸函数；（2）(x)f是（严格）拟凹函数⇔(x)f−是（严格）拟凸函数；（3）(x)f是（严格）凹函数⇒(x)f是（严格）拟凹函数（反之不成立）；（4）(x)f是（严格）凸函数⇒(x)f是（严格）拟凸函数（反之不成立）；（5）单调函数既是拟凹函数也是拟凸函数（6）凹（凸）函数相加后仍为凹（凸）函数，拟凹和拟凸函数则没有类似关系。4常见的拟凹函数拟凹的效用函数上等值集为凸集⇒凸的无差异曲线。⇔因为等产量曲线的概念几乎与无差异曲线是一致的，我们可以类推：拟凹的生产函数上等值集为凸集⇒凸的等产量曲线。⇔（二）无约束的最优化问题1一元函数的无约束极值本讲义讨论的函数都是二次连续可微的。给定一个一元函数,。易知，它在()yfx=*xx=处取得局部极值的一阶必要条件为：。而该局部极值究竟是全局最大值还是全局最小值得看*'()0fx=''()fx的符号：若，则''()0fx*x为唯一的全局最大值的解；若，则''()0fx*x为唯一的全局最小值的解。利用上述极值的导数条件，我们可以推导出极值的微分条件，即：*'()0dyfxdx==⇒2⇒对于任意非零dx，函数在极值处的一阶全微分为零：这是局部极值的一阶必要条件；22['()]''()''()()dydfxdxfxdxfxdx===对于任意非零dx，我们也可以通过计算函数的二阶全微分来判断局部极值是全局最大值还是全局最小值。综上，当函数为二次连续可微时，它取得极值的必要条件为：（1）*x为函数的全局最大值的解，对于任意非零都成立；*22'()0''()0dyfxdxdyfxdx⇒==⇒=≤()dx（2）*x为函数的全局最小值的解，对于任意非零都成立。*22'()0''()()0dyfxdxdyfxdx⇒==⇒=≥dx在满足必要条件的前提下，若函数取得唯一的最值的解，它的充分条件为（1），对于任意非零都成立2''()0dyfxdx=()2dx⇒*x为函数唯一的全局最大值的解；（2），对于任意非零dx都成立2''()0dyfxdx=()2⇒*x为函数唯一的全局最小值的解。只要将改为一阶微分向量，以上极值的微分条件能直接从单变量的情况推广至两个甚至多个变量的情况。dxxd2多元函数的最优化问题2.1一阶条件（F.O.C）定义稳态值：n元函数12(,,...,)nyfxxx=的稳态值****12(,,...,)xTnxxx=，在该点处，下面几个等式同时成立：***112***212***12(,,...,)0,(,,...,)0,...(,,...,)0.nnnnfxxxfxxxfxxx===定理如果在点，我们可能得到局部最大（小）值，即对于一个尽可能小的邻域内，所有点****12(,,...,)xTnxxx=****12(,,...,)xTnxxx=12(,,...,)xTnxxx=都有***1212(,,...,)(,,...,)nnfxxxfxxx≥≤，那么稳态条件必然满足。2.2二阶条件(S.O.C)2.2.1二阶条件：一元函数极值条件扩展后的微分形式直觉上，多元函数与一元函数一样，在稳态值取得全局最大值还是全局最小值，这与的符号有关，即：在满足必要条件的前提下，函数取得唯一的最值时充分条件为2dy（1），对于任意非零都成立为函数唯一的全局最大值的解；20dyxd⇒*x（2），对于任意非零都成立为函数唯一的全局最小值的解。20dyxd⇒*x我们先对dy进行微分，可得：211221111121211212122222211221112[(x)][(x)]...[(x)](x)(x)...(x)(x)(x)...(x)............(x)(x)...(x)(x)(x(x)nnnnnnnnnnnnnTdydfdxdfdxdfdxnfdxdxfdxdxfdxdxfdxdxfdxdxfdxdxfdxdxfdxdxfdxdxffd=++++++++++=+++=12122212)...(x)(x)(x)...(x)(x)............(x)(x)...(x)nnnnnnffffdfff⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦其中，为海塞矩阵。1112121222