二次函数基础知识盘点

1二次函数基础知识盘点二次函数20yaxbxca是中考必考的内容，填空题、选择题常考查其基础知识，解答题一般与其他知识组合形成综合题，并常作为压轴题，以考查学生分析问题和解决问题的能力，因此盘点一下二次函数的基础知识很有必要。一、二次函数的系数与抛物线的特征1.a的符号确定抛物线的开口，0a时开口向上；0a时开口向下。2.ab的整体符号确定抛物线对称轴的位置，当0ab（即02ba）时，对称轴在y轴的左方；当0ab（即02ba）时，对称轴在y轴的右方，特殊地，当0b时，02ba，y轴为抛物线的对称轴。当a的符号与对称轴的位置确定时，可以确定b的符号，例如，对称轴在y轴的右方时，0ab，若0a，则0b；若0a，则0b。3.c的符号确定抛物线与y轴的交点位置。0c时，交点在y轴的正半轴上；0c时，交点在y轴的负半轴上。特殊地0c时，抛物线过原点。又若0b时，抛物线的顶点在原点。4.24bac的符号确定抛物线与x轴的交点个数。0时，有两个交点；0时，只有一个交点，抛物线的顶点在x轴上；0时，没有交点。例如，二次函数20yaxbxca的图象如图⑴所示，则0a，0b（0ab），0c，0。二、二次函数与二次方程之间的关系二次函数20yaxbxca中，当0y时，转化为方程20axbxc，当抛物线与x轴有交点时（0），可以解二次方程20axbxc，求得抛物线与x轴的交点坐标，并且由图象可以确定当x取何值时0y或0y。例如，二次函数223yxx中，令2230xx，得3x或1x，抛物线与x轴交于A1,0，B3,0两点（如图2）。当3x或1x时，0y；当13x时，0y。三、二次函数的恒等变形图（1）0xy图（2）0321-4-3-2-1-1-1xy2222424bacbyaxbxcaxaa。这是一种非常重要的恒等变形，应该熟练掌握，这种变形至少有以下几个方面的作用：1.可知抛物线的顶点坐标为24,24bacbaa；2.可知抛物线的对称轴为2bxa；3.可知二次函数的最大值或最小值，当0a时，有最小值244acba；当0a时，有最大值244acba；4.可以确定x为何值时，y随x的增大而增大，或y随x的增大而减小；5.便于取点作出二次函数的图象（通常找出五点：顶点，与x轴的两个交点，与y轴的交点及该点关于对称轴的对称点）；6.有利于按照要求平移抛物线。例如，二次函数223yxx，可通过配方变形为214yx。由此可知抛物线的顶点坐标为1,4；对称轴为1x；当1x时，函数有最小值4；当1x时，y随x的增大而减小，当1x时，y随x的增大而增大；取五点：1,0，0,3，1,4，2,3，3,0可以作出此二次函数的图象（如上图⑵）；将抛物线向左平移1个单位，再向上平移4个单位，就可以得到二次函数2yx的图象。四、二次函数解析式的确定二次函数一般有三种形式：1.一般式：2yaxbxc；2.顶点式：2yaxmn，,mn为抛物线的顶点；3.交点式：12yaxxxx，12,xx为抛物线与x轴交点的横坐标。解题时，要根据所给的条件，灵活选择其中的一种表达形式。例1如图⑶，二次函数2yaxbxc的图象过点1,0A和点1,2B，且与y轴交于正半轴，给出下列四个结论：①0abc②20ab③1ac④1a其中正确结论的序号是__________。解：由图象可知0a，0b（0ab），0c，0abc。1-2-10-1xy3又由图象可知，对称轴12bxa，即12ba。0a，2ba，即20ab。图象过点1,0和1,2，0,2,abcabc二式相加得，1ac。1ac，1ac，0c，1a。正确结论的序号是②③④。例2已知抛物线2112yxmxn经过1,2A、4,3B两点。⑴求此抛物线的解析式；⑵求抛物线与x轴的交点坐标；⑶求抛物线的顶点坐标和对称轴方程；⑷画出此抛物线的图象；⑸当x取何值时，0y？⑹当x取何值时，y随x的增大而增大？⑺将此抛物线沿x轴方向向右平移32个单位，再沿y轴方向向下平移98个单位，求平移后的抛物线的解析式。解：⑴抛物线过1,2和4,3，112,28413,mnmn即51,2415.mnmn解得3,23.mn211322yxx。⑵解2113022xx，即260xx，得2x或3x。抛物线与x轴交于2,0和3,0。⑶22111125322228yxxx。抛物线的顶点坐标是125,28，对称轴是12x。4图1y=ax2xyOy=a（x＋ab2）2y=a（x＋ab2）2+abac442⑷抛物线过2,0、1,2、0,3、125,28、1,3、3,0、4,3诸点，图象如图⑷。⑸当2x和4x时，0y。⑹当12x时，y随x的增大而增大。⑺平移后的解析式为211325922288yx，即21222yx。二次函数的图象知识总结【知识梳理】一、图象平移示意图一般地，平移二次函数y=ax2的图象便可得到二次函数y=a（x-h）2+k的图象．二、图象的平移方法1、用配方法将二次函数y=ax2+bx+c转化成y=a（x-h）2+k的形式．即y=ax2＋bx＋c=a（x2＋abx＋ac）=a[x2＋2×ab2x＋（ab2）2－（ab2）2ac]=a（x＋ab2）2＋abac442．2、图象的平移的方向和大小xy321-34301-1-12-2-2y=ax2上、下移y=ax2+k左、右移y=a（x-h）2y=a（x-h）2+k左、右移上、下移上、下移且左、右移5根据ab2的正（负）将其图象向左（右）平移|ab2|个单位；再根据abac442的正（负）将其图象向上（下）平移|abac442|个单位，即可得到二次函数y=ax2+bx+c的图象，如图1所示．三、图象的性质1、二次函数y=ax2+bx+c的图象是以x=－ab2为对称轴，以（－ab2，abac442）为顶点的抛物线．2、二次函数y=ax2+bx+c的图象，如图2，当a0时，其图象的开口向上，这时当x－ab2时y的值随x的增大而减小；当x－ab2时y的值随x的增大而增大；当x=－ab2时，y有最小值abac442．如图3，当a0时，其图象的开口向下，这时当x－ab2时y的值随x的增大而增大；当x－ab2时y的值随x的增大而减小；当x=－ab2时，y有最大值abac442．3、二次函数y=ax2+bx+c的图象的二次项系数a——定形；顶点（－ab2，abac442）——定位．【链接中考】例1二次函数y=x2－2x－3的对称轴和顶点坐标分别是（）A．x=1，（1，－4）B．x=1，（1，4）C．x=－1，（－1，4）D．x=－1，（－1，－4）解析：将y=x2－2x－3配方，y=x2－2x－3=x2－2x＋1－1－3=（x－1）2－4．∴对称轴是x=1，顶点坐标是（1，－4）．故应选A．注：还可以直接利用顶点坐标公式求得（读者自己完成）．例2在距离地面2米高的某处把一物体以初速度0（米/秒）竖直向上抛出,在不计空气阻力的情况下,其上升高度s（米）与抛出时间t（秒）满足：s=0t－21gt2(其中g是常数,通常取10米/秒2),若0=10米/秒,则该物体在运动过程中最x=－ab2yxOx=－ab2xyO图2图33.05米Oxy图46高点距离地面＿＿＿＿米．解析：由题意，得s=10t－5t2．则s=10t－5t2=－5（t2－2t）=－5（t2－2t＋1－1）=－5（t－1）2＋5．所以，该函数的最大值为5．故该物体在运动过程中最高点距离地面5＋2=7（米）．例3如图4，一位篮球运动员跳起投篮，球沿抛物线y=－51x2＋3.5运行，然后准确落入篮框内。已知篮框的中心离地面的距离为3.05米．（1）球在空中运行的最大高度为多少米？（2）如果该运动员跳投时，球出手离地面的高度为2.25米，请问他距离篮框中心的水平距离是多少？解析：（1）由抛物线y=－51x2＋3.5知，其顶点为（0，3.5）．所以，球在空中运行的最大高度为3.5米．（2）在y=－51x2＋3.5中，当y=3.05时，3.05=－51x2＋3.5，∴x=±1.5．又∵x0，x=1.5．当y=2.25时，2.25=－51x2＋3.5，∴x=±2.5．又∵x0，x=－2.5．故运动员距离篮框中心的水平距离是|1.5|＋|－2.5|=4（米）．求二次函数解析式的三种方法一、已知任意三点求解析式用一般式，即2(0)yaxbxca。方法是：把三点坐标分别代入一般式，得到关于a、b、c的三元一次方程组，求出a、b、c的值，即可得到二次函数的解析式。例1、如图，抛物线经过A、B、C三点，顶点为D，且与x轴的另一个交点为E，求抛物线的解析式7yx-1321321EDC(2,3)BA分析：观察图像，点A、B、C、E的坐标已知，在其中任选三点，将它们的坐标代入一般式，即可求出抛物线的解析式解：设抛物线的解析式为2yaxbxc，由图像可知，抛物线经过点A（1，0）、B（0，3）、C（2，3）三点，所以03423abccabc，解得123abc，所以抛物线的解析式为23yxx二、已知顶点或最大（小）值求解析式用顶点式，即2()(0)yaxhka方法是：先将顶点坐标（h，k）或最大（小）值代入顶点式，再把另一点的坐标代入求出a，即可得抛物线的解析式例2、已知二次函数2yaxbxc的顶点为（2，1），且过点（2，7），求二次函数的解析式分析：本题提供的是一般式，若用一般式求解比较繁琐，若设顶点式，则只需求一个待定系数即可。解：设二次函数为2(2)1yax，把点（2，7）代入解析式，得27(22)1a，解得12a，所以二次函数的解析式为21(2)12yx，即21212yxx三、已知与x轴两交点坐标求解析式用交点式，即12()()(0)yaxxxxa方法是：将抛物线与x轴两个交点的横坐标1x、2x代入交点式，然后将抛物线上另一点的坐标代入求出a，即可得抛物线的解析式例3、已知变量y是x的二次函数，且函数图像如图，在x轴上截得的线段AB长为4个单位，又知函数图像顶点坐标为P（3，2），求这个函数的解析式分析：因为函数图像在x轴上截得的线段AB长为4个单位，且函数图像顶点坐标为P（3，2），根据图像可知，图像与x轴的两个交点的坐标分别为A（1，0）、B（5，0），然后利用交点式即可求出二次函数的解析式解：因为函数图像顶点坐标为P（3，2），在x轴上截得的线段AB长为4个单位，所以抛物线与x8轴的交点分别为A（1，0）、B（5，0），设所求二次函数解析式为(1)(5)yaxx。因为函数图像经过P（3，2），所以2(31)(35)a，解得12a，所以二次函数的解析式为1(1)(5)2yxx，即215222yxxyxPOBA