7037-各种湍流模型详细推导

1第三章Fluent湍流模型介绍3.1Fluent中湍流模型概述3.1.1湍流模型框架结构Fluent中湍流的数值模拟方法可以分为直接数值模拟方法和非直接数值模拟方法。所谓直接数值模拟方法是指直接求解瞬时湍流控制方程（3.1）和（3.2）。而非直接数值模拟方法就是不直接计算湍流的脉动特性，而是设法对湍流作某种程度的近似和简化处理。依赖所采用的近似和简化方法不同，非直接数值模拟方法分为大涡模拟、统计平均法和Reynolds平均法。下图简要概括了湍流模型的分类：2图3.1三维湍流数值模拟方法及相应的湍流模型3.1.2湍流模型概述3.1.2a直接数值模拟(DNS)直接数值模拟(DirectNumericalSimulation,简称DNS)方法就是直接用瞬时的N-S方程对湍流进行计算。DNS的最大好处是无需对湍流流动作任何简化或近似，理论上可以得到相对准确的计算结果。虽然这样计算的误差很小,最能贴近实际工况,但是计算量巨大,网格必须小于或等于流场中最小的涡结构尺寸。在现有的计算机水平下,该方法只能求解低雷诺数,理想边界条件下简单的流动,很难应用于工程计算。3.1.2b大涡模拟(LES)在模拟湍流运动的过程中,一方面要求计算区域大到可以包含湍流运动的整个流场区域,另一方面又要求计算网格的尺寸小到可以包含最小尺寸涡的运动,这在实际应用中是很难实现的。因此,目前只能放弃对全尺度范围上涡的运动的模拟，而只将比网格尺度大的湍流运动通过N-S方程直接计算出来，对于小尺度的涡对大尺度运动的影响则通过建立模型来模拟（亚格子尺度模型），这就解决了DNS方法中网格的细小化问题。能够在较大网格的尺度上模拟较高雷诺数和较复杂的湍流流动总体而言,LES方法对计算机的要求还是比较高,但低于DNS方法。LES方法的基本思想可以概括为：用瞬时的N-S方程直接模拟湍流中的大尺度涡，不直接模拟小尺度涡，而小涡对大涡的影响通过近似的模型来考虑。3.1.2c雷诺平均模拟(RANS)雷诺平均法是将非定常的N-S方程对时间平均,得到一组以时均物理量和脉动量乘积的时均值作为未知量的非封闭方程,然后添加其他方程来描述脉动量乘积的时均值,同N-S方程一起组成封闭的方程组来描述湍流运动。比如在kε−模型中,我们添加湍动能k和湍动能耗散率ε的方程来使N一S方程封闭。雷诺平均模型不需要计算各种尺度的湍流脉动,只计算平均流动,因此对空间的分辨率要求低,计算量小。RANS主要分为Reynolds应力模型和涡粘模型，下文将分别阐述。本文主要是采用涡粘模型中的RNGkε−模型来进行计算的。3.2Reynolds时均方程推导3.3.1湍流物理量时均值定义及性质按Reynolds平均法，任一变量φ的时间平均值定义为：1()ttttdttφφ+∆=∆∫（3.1）其中时间间隔t∆相对于湍流的随机脉动周期而言足够地大，但相对于流场的各种时均量的缓慢变化周期来说，则应足够地小。物理量的瞬时值φ，时均值φ及脉动值φ′/之间有如下关系：=+φφφ′（3.2）设φ及ξ是两个瞬时值，φ′及ξ′为相应的脉动值，则按定义（3.1）及式（3.2）有以下基本关系成立：=0φ′；=φφ；+=φφφ′；=φξφξ；=0φξ′；=φξφξ；=+φξφξφξ′′3iixxφφ∂∂=∂∂；ttφφ∂∂=∂∂；2222iixxφφ∂∂=∂∂；0ixφ′∂=∂；220ixφ′∂=∂（3.3）3.3.2Reynolds时均方程3.3.2a连续性方程将三个坐标方向的瞬时速度表示成时均值与脉动值之和并代入连续性方程，再对该式作时均运算，得：()()()0uuvvwwuvwuvwxyzxyyxyy′′′′′′∂+∂+∂+∂∂∂∂∂∂++=+++++=∂∂∂∂∂∂∂∂∂显然可有：0uvwxyy′′′∂∂∂++=∂∂∂（3.4）0uvwxyy∂∂∂++=∂∂∂（3.5）这两式表明，湍流速度的时均值仍满足连续性方程。3.3.2b动量方程以x方向动量方程为例，作类似于上面的处理，有：2222222()()()()()()1()()()()uuuuuuvvuuwwtxyzppuuvvwwxxyzuρ′′′′′′∂+∂+∂+∂+∂+∂++++∂∂∂∂′′′′∂+∂+∂+∂+=−+++∂∂∂∂利用上节给出的关系式，可得：22222222()()()()()()1uuuvuwuuvuwtxyzxyxpuuuxxyzuρ′′′′′∂∂∂∂∂∂∂++++++∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=−+++∂∂∂∂把上式左端脉分量乘积的时均值项移到等号右端，得：222()()()()()()1()uuuvuwuuvuwtxyzxyxpuuuuuvuwxxxyyxxuuuρ′′′′′∂∂∂∂∂∂∂++++++∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂′′′′′=−+−+−+−∂∂∂∂∂∂∂对其他两个方向也可作类似的推导，并写成张量符号形式。可得下列时均形式的Navier-Stokes方程，即Reynolds方程：4()()ijiiijjijjuuuupuutxxxxρρµρ∂∂∂∂∂′′+=−+−∂∂∂∂∂（i=1,3）（3.6）3.3.3c其他变量方程()()jijjjjjuupuStxxxxρφρφρφ∂∂∂∂∂′′+=−+Γ−+∂∂∂∂∂（3.7）3.4关于脉动值乘积的时均值的讨论3.4.1湍流模型由上述时均方程推导可看出，一次项在时均过程中保持形式不变，二次项产生了包含脉动值乘积的附加项，该项代表了由湍流脉动而引起的能量转移（应力、热流密度等），其中（ijuuρ′′−）称为Reynolds应力或湍流应力。在（3.5），（3.6），（3.7）这五个方程中有14个变量：5个时均量（u、v、w、p、φ），9个脉动值乘积的时均项（ijuu′′、juφ′′i，j=1,2,3）。要使上述方程组封闭必须补充用以确定这9个附加量的关系，并且这些关系式中不能再引入新的未知量。所谓湍流模型就是把湍流的脉动值附加项与时均值联系起来的一些特定关系式。3.4.2Reynolds应力方法对9个附加量分别导出确定它们的控制方程；在导出过程中又引进了更高阶的附加量；需要进一步导出确定更高阶附加量的控制方程，但是最终必须终止在近似的模型上；如此处理已经导出了多达20余个偏微分方程的模型。其中对两个脉动量乘积的时均值导出微分方程，对三个脉动量乘积时均值建立模型的方法称为二阶矩模型(secondmomentmodel)，已经得到工程应用。3.4.3湍流粘性系数法将湍流应力表示成湍流黏性系数的函数，这就叫做湍流系数法，整个方法的关键就在于确定这种湍流粘性系数。3.4.3a湍流粘性系数Boussinesq（1877）假设，湍流脉动所造成的附加应力也与层流运动应力那样可以同时均的应变率关联起来。层流时联系流体的应力与应变率的本构方程为：,,,23jiijijijjiuupdivxxτdµµd∂∂=−++−∂∂V（3.8）其中µ是分子扩散所造成的动力粘性。模拟层流的本构方程，湍流脉动所造成的附加应力可以表示成为：,,,2()3jiijijttijttijjiuuuupdivxxρτdµµd∂∂′′−==−++−∂∂V（3.9）上式各物理量均为时均值。𝑝𝑡是脉动速度所造成的压力，定义为：522211()33tpuvwkρρ′′′=++=（3.10）K为单位质量流体湍流脉动动能：2221()2kuvw′′′=++（3.11）式（9.9）中𝜇𝑡称为湍流粘性系数，它是空间坐标的函数，取决于流动状态而不是物性参数，而分子粘性µ则是物性参数。（今后，为了方便表述，除脉动值的时均值外，其他时均值的符号均予略去；凡由流体分子扩散所造成的迁移特性，不加下标，由湍流脉动所造成的量加下标t）。Boussinesq近似与雷诺应力输运模型对比：Boussinesq假设被用于Spalart-Allmaras单方程模型和双方程模型。Boussinesq近似的好处是与求解湍流粘性系数有关的计算时间比较少，例如在Spalart-Allmaras单方程模型中，只多求解一个表示湍流粘性的输运方程；在双方程模型中，只需多求解湍动能k和耗散率ε两个方程，湍流粘性系数用湍动能k和耗散率ε的函数。Boussinesq假设的缺点是认为湍流粘性系数是各向同性标量，对一些复杂流动该条件并不是严格成立，所以具有其应用限制性。另外的方法是求解雷诺应力各分量的输运方程。这也需要额外再求解一个标量方程，通常是耗散率ε方程。这就意味着对于二维湍流流动问题，需要多求解4个输运方程，而三维湍流问题需要多求解7个方程，需要比较多的计算时间，对计算机内存也有更高要求。在许多问题中，Boussinesq近似方法可以得到比较好的结果，并不一定需要花费很多时间来求解雷诺应力各分量的输运方程。但是，如果湍流场各向异性很明显，如强旋流动以及应力驱动的二次流等流动中，求解雷诺应力分量输运方程无疑可以得到更好的结果。3.4.3b湍流扩散系数类似于湍流切应力，其他Φ变量的湍流脉动值附加项可以引入相应的湍流扩散系数，均以tΓ表示，则湍流脉动所传递的通量可以通过下列关系式与时均参数联系起来：itjuxφρφ∂′′−=Γ∂（3.12）ttµσ=Γ（3.13）σ常可近似唯为一常数，称为湍流Prandtl数（φ为温度）或Schmidt数（φ为质交换方程的组份）将式（3.9）代入（3.6）后，可以把𝑝𝑡与p组合成成一个有效压力：𝑃eff=p+𝑝𝑡=p+23𝜌𝜌（3.14）于是湍流对流换热的研究归结为确定𝜇𝑡，确定湍流黏性系数所需微分方程的个数成为湍流工程计算模型的名称。63.5零方程模型所谓零方程模型是指确定湍流黏性系数不需要微方程的模型。3.5.1常系数模型最简单的零方程模型是常系数模型。对自由剪切层流动，Prandtl提出在同一截面上𝜇𝑡为常数。maxmintCuuud=−（3.15）式中，δ为剪切层厚度（δ为对称轴到1%速度点之间的距离），maxu与minu为同一截面上的最大和最小流速。3.5.2二维Prandtl混合长度理论在二维坐标系中，湍流切应力表示成为：2ijmuuuuyyρρ∂∂′′−=∂∂l（3.16）或2tmuyµρ∂=∂l（3.17）µ为主流的时均速度，y是与主流方向相垂直的坐标。ml称为混合长度，是这种模型中需要加以确定的参数。确定合适的混合长度是零方程模型的关键。2ml是从量纲考虑的唯一选择；uy∂∂是造成动量交换的根本原因；uy∂∂是按照牛顿切应力公式。混合长度理论已被推广到三维流动。混合长度理论适用于一些比较简单的流动，如：边界层类型流动与换热（机翼上气流脱离前部分）；平直通道内的流动与换热；回流较弱接近于边界层类型流动与换热等。但混合长度理论在物理概念上存在着不足之处，如：在管道中心线处速度梯度为零，但实际𝜇𝑡不为零；不能考虑湍流的历史（上游情况）的影响；不能考虑到湍流强强度的影响。因此，引入偏微分方程来确定湍流粘性系数来适应这方面的需要。3.6雷偌应力输运方程和湍动能输运方程推导3.6.1纳维-斯托克斯方程不可压缩牛顿型流体运动的控制方程是纳维-斯托克斯方程。在直角坐标下，它可表示为：21νρ∂∂∂∂+=−++∂∂∂∂iiijijijjuuupuftxxxx（2.1）0iiux∂=∂（2.2）7ρ是流体密度，ν是流体的运动粘性系数，if是质量力强度。3.6.2雷偌方程由第3节可得雷偌方程组为：0iiux∂=∂（2.6）()()ijiiijijijjuuuupuuftxxxxρρµρ∂∂∂∂∂′′+=−+−+∂∂∂∂∂（2.7）3.6.3脉动运动方程将N-S方程（2.1）和（2.2）和雷偌平均方程（2.7）和（2.6）相减，得到脉动运动的控制方程。通常质量力是确定性的，即iiff=，经过运算，得到脉动运动的控制方程如下：()21νρ′′′′∂∂∂∂∂∂′′′′′++=−+−−∂∂∂∂∂∂∂i