四川大学自动化专业英语 微分方程模型(1阶段)

上页下页返回微分方程模型上页下页返回2一般方程1,nnxxRx1(,)(,).(,)nnftxFtxRftx其中设Rba),(,nRD,当),(xtF在Dba),(连续,且关于x有连续的一阶偏导数时,对任意Dbaxt),(),(00,方程组(0)存在唯一的解(积分曲线)),;(00xttx满足00)(xtx.(,),xFtx(0)§1、微分方程稳定性理论简介上页下页返回3当方程组(0)的右端不显含t时,即()xFx，(1)称(1)为自治微分方程组(自治系统),nR称为相空间.方程组(1)在相空间中确定了一个速度场，)(xfi表示点x处速度的第i个分量。),;(00xtt是速度场中的一个运动，这一表达式给出了动点在运动时的路线，称为轨线。轨线也可理解为),;(00xttx在相空间的投影。上页下页返回4定义1若存在nRx*使得0*)(xF，则称*x是方程组(1)的平衡点(或奇点)。*xx称为平衡解。定义2设Tnxxx*),*,(*1是方程组(1)的平衡点，Tntxtxtxx))(,),(()(1是方程组(1)的任一解，如果存在*x的某邻域*)(xU，使得当*)()(0xUtx时，必有*)(limiitxtx),,1(ni，则称*x是稳定的(稳定性理论中称渐进稳定)；否则，称*x是不稳定的(非渐进稳定的)。上页下页返回5判定平衡点稳定性的两种方法：(1)直接法——求出解的表达式，再由稳定性的定义判定平衡点的稳定性。(2)间接法——不求解，直接利用微分方程的性质判定平衡点的稳定性上页下页返回6()xfx(2)定理1设0x是方程(2)的平衡点,即0)(0xf.当0)(0xf时,0x是方程(2)的稳定平衡点;当0)(0xf时,0x是方程(2)的不稳定平衡点.定理2设0x是方程(2)在)(0xU的唯一平衡点,)(xf在)(0xU连续,0)(0xf.如果当00xx时0)(xf,当00xx时0)(xf,则0x是方程(2)的稳定平衡点;否则,0x是方程(2)的不稳定平衡点.0xx()fx一阶自治方程的平衡点及稳定性0xx()fx上页下页返回7§2、人口模型t时刻的相对增长率：)()()(lim)(0txtxtxtxtrt设t时刻人口数为)(tx，经过t时间后，人数变为xtx)(，则从t时刻到tt时刻的平均增长速度为tx，相对增长率为()xxtt。上页下页返回8基本假设:人口的相对增长率为常数r.0(0)xrxxxrBDB：出生率D：死亡率人口函数：0rtxxeMalthus模型Malthus模型特点:在有限的时间内,在生存空间和食物供应充足的环境下,Malthus人口模型是比较准确的;但是,由于生存空间有限、食物短缺、战争、疾病、自然灾害,以及人为控制人口增长等等原因,Malthus人口模型不能准确地反映出人口的实际增长情况.上页下页返回9年t实际人口计算人口180005.35.301810107.247.151820209.649.6618303012.6813.0418404017.0617.6018505023.1923.7518606031.4432.0618707038.5643.2818808050.1958.4218909062.9878.86190010076.21106.45191011092.23143.701920120106.02193.971930130123.2261.83美国人口的Malthus预测值(单位:百万)比较精确误差增大整整高出一倍！0.035.3txe上页下页返回10Logistic阻滞增长模型基本假设:人口的相对增长率随着人口数量的增加而减少,当人数超过某饱和值N后,相对增长率为负.(1)xxrxN()(1)0xxfxrxN令0,xxN0,(0)0,()0rffN当时故x=0是不稳定平衡点,x=N是稳定平衡点.A.直接法分析平衡点(1)xxrxNr:固有增长率上页下页返回11222(1)0dxdxrxNdtdt2Nx拐点②当2Nx时220dxdt，dxdt单增；当2Nx时，dxdt最大；当2NxN时220dxdt，dxdt单减。N2NOtx①当xN时()0fx，()xt递增；当xN时()0fx，()xt递减。(1)xxrxN上页下页返回120(1)(0)dxxrxdtNxx0()1(1)rtNxtNexlim(),txtNB.间接法分析平衡点故N是稳定平衡点.上页下页返回13年t实际人口计算人口180005.35.301810107.247.111820209.649.5218303012.6812.7118404017.0616.9018505023.1922.3818606031.4429.4418707038.5638.4218808050.1949.6318909062.9863.33190010076.2179.61191011092.2398.331920120106.02119.081930130123.2141.141940140132.16163.591950150151.33185.451960160179.32205.821970170203.3224.051980180226.54239.781990190248.71252.94美国人口的Logisitc预测值(单位:百万)很吻合上页下页返回14050100150200250300135791113151719实际人口计算人口上页下页返回15(i)在无捕捞条件下)(tx的增长服从Logistic规律，记t时刻渔场中的鱼量为)(tx，并假设：§3、捕鱼模型(ii)单位时间的捕捞量)(xh与渔场鱼量成正比,比例系数为E(捕捞强度),即,()hxEx其中r为固有增长率，N为环境允许的最大鱼量。)1()()(Nxrxxftx()()()(1)xtfxhxxrxExN()Fx上页下页返回16直接法分析平衡点：结论：若rE,则0)(0xF,0)(1xF,从而0x是稳定平衡点,1x是不稳定平衡点;若rE,则相反.0)1()(＝令ExNxrxxF0),1(10xrENxErxFrExF)(,)(100xO)(xFx1x只要捕捞适度(rE),则可使鱼量稳定在00x,从而获得持续产量00)(Exxh;当捕捞过度（rE）,鱼量将减至01x,不能获得持续产量.上页下页返回17yO0x0xNmhh*PPrxyx2NExxhy)(()(1)xyfxrxN图解法：的解是0)()(0xhxfx)()(00xhxf固定曲线调节E产量模型问题：如何控制E，以获得最大持续产量？()()()(1)xtfxhxxrxExN上页下页返回18当直线Exy与)(xfy在抛物线顶点*P相交时，可获得最大持续产量。此时的稳定平衡点为2*0Nxx，单位时间内最大持续产量为4rNhm)1(0rENx2*2*0rEENxx时，＝当结论：当捕捞强度控制在2*rE时,鱼量保持在最大鱼量N的一半,可获得最大持续产量.**22rNEx上页下页返回19假设:鱼的销售单价(price)为常数p,单位捕捞强度(如每条出海渔船)的费用(cost)为常数c.T：单位时间的收入S：单位时间的支出R：单位时间的利润ExNxrxxhxfxFtx)1()()()()(鱼量方程同产量模型：效益模型问题：如何控制E，以获得最大利润？上页下页返回20,cES,)(pExxhpT时当鱼量稳定在)1(0rENx.cEpExSTRcErEpNEESETER)1()()()(0)(ER令)1(2pNcrEERpcNrENxxRR22)1(0)1(4)1(222NpcrNxENxxrhRRRRR上页下页返回21结论：当REE时，利润)(ER达到最大。此时，渔场鱼量及单位时间的持续产量分别为Rx和Rh.与产量模型比较，在追求最大效益的原则下，捕捞强度及持续产量均有所减少，而渔场鱼量随成本c的增加而增加，符合实际情况。(1)222RRrcNcExpNp比较：**22rNEx上页下页返回22当渔场向众多的盲目经营者开放，只要有微薄利润，经营者也会去捕捞，称为盲目捕捞（或开放式捕捞），这将导致捕捞过度。cErEpNEESETER)1()()()()1(E0)(pNcrEERs令当0sEE时，利润0)(ER，盲目的经营者们会加大捕捞强度；当sEE时，利润0)(ER，则会减小捕捞强度。故sE是盲目捕捞下的临界强度。捕捞过渡上页下页返回23图解法确定临界捕捞强度sE与价格p成本c的关系:sE存在（即0sE）的必要条件：cNp，即Ncp。)()(sssESETE满足..(1)sssEcieNEErpO1SE2SEyNEE2*rEcyEp(1)EyNErry2NyE上页下页返回24说明：当售价大于相对总量而言的成本时，sE存在，且成本越低、售价越高，则sE越大。当sEE时，稳定鱼量0(1)ssEcxxNrp，可以看出，sx完全由成本-价格比决定，随着价格的上升和成本的下降迅速减少，出现捕捞过度。(1)ssccErxpNp上页下页返回251、当NcpNc2，即121pNc时，*EEEsR（如图中1SE），称为经济学捕捞过度；2、当Ncp2，即21pNc时，*EEs（如图中2SE），称为生态学捕捞过度。)1(pNcrEs由*E、sE和RE的表达式以及图示可知：)1(2pNcrER2*rE3、当p时，rEs，将造成种群灭绝。上页下页返回26一阶自治方程组的平衡点及稳定性1、线性系统1212aaAbb称为系数矩阵当0detA时，方程组(5)只有唯一平衡点)0,0(O，其稳定性由(5)的特征方程0)det(IA的根(特征根)决定:ybxbyyaxax2121(5)当特征根的实部均小于零时，平衡点是稳定的；当存在实部大于零的特征根时，平衡点是不稳定的。上页下页返回270)()(1221212bababa记12(),pab0)det(2121bbaaIA02qp1221det,qAabab21,21(4)2ppqqp42pqO鞍点区稳定结点区不稳定结点区稳定焦点区不稳定焦点区中心区qp42pqO上页下页返回282、非线性系统),(),(yxgyyxfx(4)设系统(4)有孤立平衡点),(000yxP,且,fg在0P处可微.将,fg在0P处作Taylor展开,只取一次项,得(4)的一阶近似方程组:其中),(001yxfax，),(002yxfay，),(001yxgbx，),(002yxgby。00120012()()()()xaxxayyybxxbyy(5)上页下页返回29定理3当A的特征值不具有零实部时，非线性系统(4)在平衡点附近的相轨线性状由它的一次近似系统(5)决定。当特征值的实部均小于零时，平衡点是稳定的；当存在实部大于零的特征值时，平衡点是不稳定的。注:对非线性方程而言，平衡点的稳定性往往指的是局部稳定性，若要讨论全局稳定性，可以用相轨线分析方法讨论。Oxy0),(yxg0),(yxf0P上页下页返回30其中)(tx——种群甲在t时刻的总数(0)(tx);)(ty——种群乙在t时刻的总数(0)(ty).),()(),(