指数函数和对数函数的重点知识

指数函数和对数函数的重点知识重点、难点：重点：指数函数和对数函数的概念、图象和性质。难点：指数函数和对数函数的相互关系及性质的应用，以及逻辑划分思想讨论函数yayxxa，log在a1及01a两种不同情况。1、指数函数：定义：函数yaaax01且叫指数函数。定义域为R，底数是常数，指数是自变量。为什么要求函数yax中的a必须aa01且。因为若a0时，yx4，当x14时，函数值不存在。a0，yx0，当x0，函数值不存在。a1时，yx1对一切x虽有意义，函数值恒为1，但yx1的反函数不存在，因为要求函数yax中的aa01且。1、对三个指数函数yyyxxx21210，，的图象的认识。图象特征与函数性质：图象特征函数性质（1）图象都位于x轴上方；（1）x取任何实数值时，都有ax0；（2）图象都经过点（0，1）；（2）无论a取任何正数，x0时，y1；（3）yyxx210，在第一象限内的纵坐标都大于1，在第二象限内的纵坐标都小于1，yx12的图象正好相反；（3）当a1时，xaxaxx0101，则，则当01a时，xaxaxx0101，则，则（4）yyxx210，的图象自左到右逐渐上升，yx12的图象逐渐下降。（4）当a1时，yax是增函数，当01a时，yax是减函数。对图象的进一步认识，（通过三个函数相互关系的比较）：①所有指数函数的图象交叉相交于点（0，1），如yx2和yx10相交于()01，，当x0时，yx10的图象在yx2的图象的上方，当x0，刚好相反，故有10222及10222。②yx2与yx12的图象关于y轴对称。③通过yx2，yx10，yx12三个函数图象，可以画出任意一个函数yax（aa01且）的示意图，如yx3的图象，一定位于yx2和yx10两个图象的中间，且过点()01，，从而yx13也由关于y轴的对称性，可得yx13的示意图，即通过有限个函数的图象进一步认识无限个函数的图象。2、对数：定义：如果aNaab()01且，那么数b就叫做以a为底的对数，记作bNalog（a是底数，N是真数，logaN是对数式。）由于Nab0故logaN中N必须大于0。当N为零的负数时对数不存在。（1）对数式与指数式的互化。由于对数是新学的，常常把不熟悉的对数式转化为指数式解决问题，如：求log.032524分析：对于初学者来说，对上述问题一般是束手无策，若将它写成log.032524x，再改写为指数式就比较好办。解：设log.032524x则即∴即032524825825125241212032.log.xxx评述：由对数式化为指数式可以解决问题，反之由指数式化为对数式也能解决问题，因此必须因题而异。如求35x中的x，化为对数式xlog35即成。（2）对数恒等式：由aNbNba()log()12将（2）代入（1）得aNaNlog运用对数恒等式时要注意此式的特点，不能乱用，特别是注意转化时必须幂的底数和对数的底数相同。计算：3132log解：原式313122221313loglog。（3）对数的性质：①负数和零没有对数；②1的对数是零；③底数的对数等于1。（4）对数的运算法则：①logloglogaaaMNMNMNR，②logloglogaaaMNMNMNR，③logloganaNnNNR④logloganaNnNNR13、对数函数：定义：指数函数yaaax()01且的反函数yxalogx(,)0叫做对数函数。1、对三个对数函数yxyxloglog212，，yxlg的图象的认识。图象特征与函数性质：图象特征函数性质（1）图象都位于y轴右侧；（1）定义域：R+，值或：R；（2）图象都过点（1，0）；（2）x1时，y0。即loga10；（3）yxlog2，yxlg当x1时，图象在x轴上方，当00x时，图象在x轴下方，yxlog12与上述情况刚好相反；（3）当a1时，若x1，则y0，若01x，则y0；当01a时，若x0，则y0，若01x时，则y0；（4）yxyxloglg2，从左向右图象是上升，而yxlog12从左向右图象是下降。（4）a1时，yxalog是增函数；01a时，yxalog是减函数。对图象的进一步的认识（通过三个函数图象的相互关系的比较）：（1）所有对数函数的图象都过点（1,0），但是yxlog2与yxlg在点（1,0）曲线是交叉的，即当x0时，yxlog2的图象在yxlg的图象上方；而01x时，yxlog2的图象在yxlg的图象的下方，故有：log.lg.21515；log.lg.20101。（2）yxlog2的图象与yxlog12的图象关于x轴对称。（3）通过yxlog2，yxlg，yxlog12三个函数图象，可以作出任意一个对数函数的示意图，如作yxlog3的图象，它一定位于yxlog2和yxlg两个图象的中间，且过点（1,0），x0时，在yxlg的上方，而位于yxlog2的下方，01x时，刚好相反，则对称性，可知yxlog13的示意图。因而通过课本上的三个函数的图象进一步认识无限个函数的图象。4、对数换底公式：loglogloglog(.)logbaanegNNbLNNeNLNN其中…称为的自然对数称为常数对数27182810由换底公式可得：LNNeNNnlglglg..lg043432303由换底公式推出一些常用的结论：（1）loglogloglogababbaba11或·（2）loglogamanbmnb（3）loglogananbb（4）logamnamn5、指数方程与对数方程*定义：在指数里含有未知数的方程称指数方程。在对数符号后面含有未知数的方程称对数方程。由于指数运算及对数运算不是一般的代数运算，故指数方程对数方程不是代数方程而属于超越方程。指数方程的题型与解法：名称题型解法基本型同底数型abfxaafxx()()取以a为底的对数fxbalog取以a为底的对数fxx不同底数型需代换型abfxxFax0取同底的对数化为fxaxb··lglg换元令tax转化为t的代数方程对数方程的题型与解法：名称题型解法基本题logafxb对数式转化为指数式fxab同底数型loglogaafxx转化为fxx（必须验根）需代换型Fax(log)0换元令txalog转化为代数方程