中科院高等工程数学-02

高等工程数学AdvancedEngineeringMathematicsR21006Y40/3王泳中国科学院研究生院2011.03.05矩阵理论在自然科学、工程技术、控制理论和社会经济学等领域的应用日趋深广，应用矩阵的理论和方法来解决工程技术和社会经济领域中的实际问题也越来越普遍。线性空间与线性变换内积空间矩阵的标准形矩阵函数及其应用矩阵理论•线性空间•基变换与坐标变换•子空间与维数定理•线性空间的同构•线性变换的概念•线性变换的矩阵表示•不变子空间•欧氏空间•正交基及子空间的正交关系•内积空间的同构•正交变换•复内积空间（酉空间）•正规矩阵•厄米特二次型•矩阵的相似对角形•矩阵的约当标准形•最小多项式•多项式矩阵与史密斯标准形•向量范数•矩阵范数•向量和矩阵的极限•矩阵幂级数•矩阵函数•矩阵的微分与积分•常用矩阵函数的性质•矩阵函数在微分方程组中的应用第二章：内积空间欧氏空间1正交基及子空间的正交关系2内积空间的同构3正交变换4复内积空间（酉空间）5正规矩阵6厄米特二次型（略）7欧氏空间欧氏空间1正交基及子空间的正交关系2内积空间的同构3正交变换4复内积空间（酉空间）5正规矩阵6厄米特二次型（略）7欧氏空间定义2.1欧氏空间欧氏空间性质例2.1（10分）思考题欧氏空间例2.2例2.3欧氏空间定理2.1证明：欧氏空间定理2.1证明：欧氏空间定理2.1证明：命题得证欧氏空间定义2.2向量的长度欧氏空间例2.4（10分）思考题推论欧氏空间推论证明：命题得证欧氏空间补充1补充2正交基及子空间的正交关系欧氏空间1正交基及子空间的正交关系2内积空间的同构3正交变换4复内积空间（酉空间）5正规矩阵6厄米特二次型（略）7正交基及子空间的正交关系定义2.3.1正交组推论证明：命题得证正交基及子空间的正交关系定义2.3.2正交基与标准正交基正交基及子空间的正交关系定理2.2证明：正交基及子空间的正交关系定理2.2证明：正交基及子空间的正交关系定理2.2证明：命题得证正交基及子空间的正交关系注意正交基及子空间的正交关系正交基及子空间的正交关系推论证明：正交基及子空间的正交关系推论证明：命题得证定义2.4空间正交内积空间的同构欧氏空间1正交基及子空间的正交关系2内积空间的同构3正交变换4复内积空间（酉空间）5正规矩阵6厄米特二次型（略）7内积空间的同构定义2.6内积空间的同构推论内积空间的同构定理2.5证明：内积空间的同构定理2.5证明：命题得证（10分）思考题正交变换欧氏空间1正交基及子空间的正交关系2内积空间的同构3正交变换4复内积空间（酉空间）5正规矩阵6厄米特二次型（略）7正交变换定义2.7正交变换定理2.6正交变换证明：定理2.6正交变换证明：定理2.6差点啥否？正交变换证明：定理2.6正交变换证明：定理2.6命题得证（10分）思考题正交变换例2.5证明：命题得证正交变换例2.6证明：正交变换例2.6证明：命题得证（5分）思考题复内积空间（酉空间）欧氏空间1正交基及子空间的正交关系2内积空间的同构3正交变换4复内积空间（酉空间）5正规矩阵6厄米特二次型（略）7复内积空间（酉空间）定义2.8复内积空间（酉空间）复内积空间是实内积空间的推广，许多概念、结论及证明方法与实内积空间中所讲到的相类似复内积空间（酉空间）推论例2.7（10分）思考题复内积空间（酉空间）复内积空间（酉空间）复内积空间（酉空间）定义2.9酉变换将正交变换的概念推广到酉空间，便有：定义2.10酉矩阵复内积空间（酉空间）定理2.7复内积空间（酉空间）推论正规矩阵欧氏空间1正交基及子空间的正交关系2内积空间的同构3正交变换4复内积空间（酉空间）5正规矩阵6厄米特二次型（略）7正规矩阵定义2.11正规矩阵定理2.8正规矩阵定义厄米特矩阵正规矩阵推论1证明：正规矩阵正规矩阵（10分）思考题正规矩阵正规矩阵命题得证补充正规矩阵推论2证明：命题得证厄米特二次型欧氏空间1正交基及子空间的正交关系2内积空间的同构3正交变换4复内积空间（酉空间）5正规矩阵6厄米特二次型（略）7正交基及子空间的正交关系厄米特二次型（略）内积空间的同构正交变换正规矩阵复内积空间（酉空间）内积空间总结欧氏空间[e-mail]