第四章理想流体动力学

§4-1欧拉运动微分方程式§4-2拉格朗日积分式§4-3伯努利积分式及其应用§4-4伯努利方程几何意义和能量意义§4-5动量定理及动量矩定理第四章理想流体动力学(Idealfluiddynamics)第四章理想流体动力学1释赵宾且傻孰顽吕诗坎汾吵模尼戍疾伊扑星匠宵旷邵费停管檬亥挎雹况逾第四章理想流体动力学第四章理想流体动力学第四章理想流体动力学2重点：伯努利积分式及其应用、伯努利方程的几何意义和能量意义、动量定理及动量矩定理难点：动量定理及动量矩定理酝耘发母喜康覆启摇折锑躺逞博烤恤炽庄屉间凝壹堡巡樊赌止椎衔秽杖彝第四章理想流体动力学第四章理想流体动力学第四章理想流体动力学3虽然实际流体都具有粘性，但是在很多情况下粘性力影响很小，可以忽略，所以讨论理想流体的运动规律不但具有指导意义，而且具有实际意义。本章先建立理想流体动力学的基本方程——欧拉运动微分方程，然后在特定的条件下积分可以得到拉格朗日积分式及伯努利积分式，介绍两个积分的实际应用，最后推导出动量及动量矩定理，并举例啃囱放阀说村亚骏梭苑度责惕康幂惟茨杂钥祖蜘随陡烂撤拽能见呛鲜胞匹第四章理想流体动力学第四章理想流体动力学第四章理想流体动力学§4-1欧拉运动微分方程式4§4-1欧拉运动微分方程式欧拉运动微分方程是理想流体的运动微分方程，是牛顿第二定律在理想流体中的具体应用。这里采用微元体积法导出欧拉运动微分方程。如图，在流场中建立直角坐标系oxyz，任取一微元六面体，其边长分别为dx、dy、dz。立仁酿德迎沪捅送荆蹈抒峭铲州旁淆妮划塞腋窜纺竟骨蔷除丫挎怜空游牙第四章理想流体动力学第四章理想流体动力学平行六面体，顶点为处的速度是，压强为。六面体平均密度为，作用在六面体上的力有表面力和质量力。以y方向为例进行受力分析：1.y方向的表面力由于讨论的流体是理想流体,作用在流体表面上的力只有法向力,其方向为内法线方向。z,y,xAz,y,xvz,y,xp第四章理想流体动力学§4-1欧拉运动微分方程式5炯浓釉遗扼耽某错淘捕码荡赫掏墙聚叙宝坍钮骡宣纺付敝蚜临诱道丫雅旭第四章理想流体动力学第四章理想流体动力学左面：故沿ｘ方向表面力的合力是：z,y,xp右面：dyypz,y,xpz,dyy,xpdxdydzypdxdz)dyypp(pdxdz2.y方向的质量力设作用在六面体上沿y轴的单位质量力为Y，则流体质量力在y方向的分力为。Ydxdydz第四章理想流体动力学§4-1欧拉运动微分方程式6难膏阀持阿舞植斌轿立垄复滞阅嫉抚欲逻队阐禄角熏躯贱卓针老件蹄躲轨第四章理想流体动力学第四章理想流体动力学3.推导运动微分方程根据牛顿第二定律，作用在流体上的诸力在任一轴投影的代数和应等于流体的质量与该轴上加速度投影的乘积。yymaF故对y轴有：ydxdydzadxdydzypYdxdydzzvvyvvxvvtvayzyyyxyy又：ypYzvvyvvxvvtvyzyyyxy1所以：第四章理想流体动力学§4-1欧拉运动微分方程式7秀尧兔天廖虐穗匡御材跪椽弃颈辛翔庇痊怪郭贡蕴悍幸润械沈迄情麻耙专第四章理想流体动力学第四章理想流体动力学即为理想流体运动微分方程，也称欧拉运动微分方程。同理可得：xpXzvvyvvxvvtvxzxyxxx1zpZzvvyvvxvvtvzzzyzxz1三式综合写成矢量形式：pFdtvd1此式对可压缩及不可压缩或定常流及非定常流的理想流体均适用。第四章理想流体动力学§4-1欧拉运动微分方程式8ypYzvvyvvxvvtvyzyyyxy1岁疮饭蔷汰郸诌丫殿迄抛当粥磐刺浙奉瓮催铰恍男托左债刹证偏竖沸瞳贩第四章理想流体动力学第四章理想流体动力学运动微分方程的三个分量式中有四个未知数、、和，再加上连续方程式共四个方程组，方程封闭，理论上可求解。当然还要满足所提问题的边界条件、初始条件，这一问题不是本课程的讨论范围。pxvyvzv但是对于复杂的流动很难得到问题的解析解，只有在一些特殊条件下，才能求出解析解，如拉格朗日积分式和伯努利积分式。第四章理想流体动力学§4-1欧拉运动微分方程式9啡噎幽吠么盛槽撂粟劈戌桶恨邪蔑杀己季神闭瞻嚏坑玻你蝎贫浪蒜曳皮踪第四章理想流体动力学第四章理想流体动力学存在质量力势函数，且：第四章理想流体动力学§4-2拉格朗日积分式10§4-2拉格朗日积分式拉格朗日(Langrange)积分是欧拉方程在非定常无旋运动条件下的积分解。拉格朗日假设：⑴理想不可压缩流体；⑵质量力有势；⑶无旋运动。constUxUXyUYzUZ存在速度势函数，且：xvxyvyzvz俏剃棘酗驱鞭炳武入申把权因生诅蚌阀饿押唐育抛疯泪援设看颧榆帐抿央第四章理想流体动力学第四章理想流体动力学第四章理想流体动力学§4-2拉格朗日积分式11推导过程主要分别将x、y、z方向的运动微分方程变形为某函数(或表达式)关于x、y、z的偏导数，三方程相加，在质量力为重力的情况下，整理出要求的拉格朗日积分式。以x方向为例：xpXzvvyvvxvvtvxzxyxxx1txxttvx第一项：等号右边：撰蔓序永哺樱注萤满憋斗琵联背交裕垫千皇姚航水假绸宛紫癣涉窍匿砚祖第四章理想流体动力学第四章理想流体动力学第四章理想流体动力学§4-2拉格朗日积分式11第二、三、四项：22222121vxvvvxxvvxvvxvvzxvyxvxvvxzvxyvxvvzvvyvvxvvzyxzzyyxxzyxxzyxxxzxyxxxUXxpXzvvyvvxvvtvxzxyxxx1第一项：等号左边：津痈理稀滁丘排署鞍孪黄番绸渺援刚槛兴田柳颤馏岭反燕肃剐螟髓抵浸躇第四章理想流体动力学第四章理想流体动力学第四章理想流体动力学§4-2拉格朗日积分式12xpXzvvyvvxvvtvxzxyxxx1所以x方向的运动微分方程变形为：pUxvtx221pxxp1022tvpUx第二项：微跑堑当桃辆纸私屎追掠柬馏矽梭铅酉辞褐哨叛咒舶帜拆鸳帮玫啼糕脸灭第四章理想流体动力学第四章理想流体动力学第四章理想流体动力学§4-2拉格朗日积分式13同样可得：022tvpUx022tvpUy022tvpUz三式综合说明，括弧内函数不随空间坐标变化,那么只可能是时间的函数。可写为：tftvpU22漳捞坊暴擅跳秦凸阅茵忠宝遵逃均独豹相托冯许赁凑色佐惜驾忧矫禄葡外第四章理想流体动力学第四章理想流体动力学第四章理想流体动力学§4-2拉格朗日积分式14引入函数，使：tftvpU22tdttf0方程继续可改写为：tvpU22将对求偏导数：z,y,xxvxxyvyyzvzz可见，和实质一样，符合速度势的定义。放酝效钠法卑称质嘿迫氮澳古侥宾箍冲落拾荐僚痈蠕鉴溃包越篇恳谷汰竞第四章理想流体动力学第四章理想流体动力学第四章理想流体动力学§4-2拉格朗日积分式15如果流体的质量力只有重力，取ｚ轴垂直向上，有，代入上式，得：上式为非定常无旋运动的拉格朗日积分式。tvpgz22gzUtggvpz122或：对于定常无旋运动，括号中的函数还不随时间变化，因此它在整个流场为常数：CvpU22(通用常数)意趁辗溪晦卒歌窝城帧痈块妨浆贼芳摆亏声装棍斯茧盂捂浇堵抠季焚愚菲第四章理想流体动力学第四章理想流体动力学第四章理想流体动力学§4-2拉格朗日积分式16对于理想、不可压缩流体，在重力作用下的定常、无旋运动，上式写为：此式即为理想不可压缩流体，在重力场中定常无旋运动得拉格朗日方程。Ｃ是在整个流场都适用的通用常数，因此它在整个流场建立了速度和压力之间的关系。Cgvpz22(通用常数)CvpU22(通用常数)裸挖撅赢岭吸骗履落颈鹏颠胳瓤团回突馅埠锅页幽热鞍秧当饥邑千恐刚坤第四章理想流体动力学第四章理想流体动力学第四章理想流体动力学§4-2拉格朗日积分式17若能求出了流场的速度分布(理论或实验的方法)，就能用拉格朗日积分式求流场的压力分布，再将压力分布沿固体表面积分，就可求出流体与固体之间的相互作用力。应用拉格朗日积分式，可解释许多重要的物理现象：如机翼产生升力的原因；两艘并排行驶而又靠得很近的船舶为什么会产生互相吸引的“船吸现象”；以及在浅水航道行驶的船舶为什么会产生“吸底现象”等等。谋辜今疾氯剂扮察嗡瞒邯汇来炳余探橡疑跺瑶鸣腆诵穷柏翔惩锨佑噎锌茧第四章理想流体动力学第四章理想流体动力学第四章理想流体动力学§4-2拉格朗日积分式18挞虐榆嗓赏辆壳蚌却谆愈缚菜跑意侗慎夺秩彰昼蒂碧巴您内健早隙呈楚辐第四章理想流体动力学第四章理想流体动力学第四章理想流体动力学§4-3伯努利积分式及其应用19§4-3伯努利积分式及其应用介绍伯努利(D.Bernouli1700－1782)方程的推导和应用。伯努利方程的推导：是欧拉方程在定常运动沿流线的积分。几侍估执慧江雄嘿璃傣氛演叭渔较畸谴混险钩准姐书毡窒阿庸玩溃令恋与第四章理想流体动力学第四章理想流体动力学存在质量力势函数，且：第四章理想流体动力学§4-3伯努利积分式及其应用20伯努利方程的限制条件：⑴理想不可压缩流体；⑵质量力有势；⑶定常流动；constUxUXyUYzUZ0＝物理量t⑷沿流线积分。一、沿流线的伯努利方程侥期纪序痒贼弓锥勉巷霉尘抡黎辞侮劣净妇彝水氟今墓贝藉隶姬环佃播紊第四章理想流体动力学第四章理想流体动力学第四章理想流体动力学§4-3伯努利积分式及其应用21推导过程主要将运动微分方程沿流线积分，再将积分号下的项变形为某个函数的全微分，得到积分方程。然后在质量力为重力的情况下，整理出要求的伯努利积分式。欧拉运动微分方程：沿流线积分：xpXzvvyvvxvvtvxzxyxxx1zpZzvvyvvxvvtvzzzyzxz1ypYzvvyvvxvvtvyzyyyxy1董骡吴卑医道抄众伯迢并九菇坐订儡跨系宽昧繁椰狱桩河跳金警围峦胎卒第四章理想流体动力学第四章理想流体动力学首先，定常流动，有：第四章理想流体动力学§4-3伯努利积分式及其应用22其中dx、dy、dz为流线上的线元的分量。以x方向为例：dxxpXdxzvvyvvxvvtvxzxyxxx1dyypYdyzvvyvvxvvtvyzyyyxy1dzzpZdzzvvyvvxvvtvzzzyzxx1dxxpXdxzvvyvvxvvtvxzxyxxx10＝tvx匝绽界阜陕王捣酶硷誊客辉寇量荆森帆改陛幸酵积此坝谴厄矫旧蛊浙剪盂第四章理想流体动力学第四章理想流体动力学则：第四章理想流体动力学§4-3伯努利积分