二次函数与特殊四边形综合问题专题训练

第1页二次函数中动点与特殊四边形综合问题解析与训练㈠【抛物线上的点能否构成平行四边形】例一、（2013河南）如图，抛物线2yxbxc与直线122yx交于,CD两点，其中点C在y轴上，点D的坐标为7(3,)2。点P是y轴右侧的抛物线上一动点，过点P作PEx轴于点E，交CD于点F.（1）求抛物线的解析式；（2）若点P的横坐标为m，当m为何值时，以,,,OCPF为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由。【解答】（1）∵直线122yx经过点C,∴(0,2)C∵抛物线2yxbxc经过点(0,2)C，D7(3,)2∴227273322cbbcc∴抛物线的解析式为2722yxx（2）∵点P的横坐标为m且在抛物线上∴271(,2),(,2)22PmmmFmm∵PF∥CO，∴当PFCO时，以,,,OCPF为顶点的四边形是平行四边形第2页①当03m时，22712(2)322PFmmmmm∴232mm，解得：121,2mm即当1m或2时，四边形OCPF是平行四边形②当3m时，2217(2)(2)322PFmmmmm232mm，解得：12317317,22mm（舍去）即当13172m时，四边形OCFP是平行四边形练习1：（2013•盘锦）如图，抛物线y=ax2+bx+3与x轴相交于点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴相交于点C，点P为线段OB上的动点（不与O、B重合），过点P垂直于x轴的直线与抛物线及线段BC分别交于点E、F，点D在y轴正半轴上，OD=2，连接DE、OF．（1）求抛物线的解析式；（2）当四边形ODEF是平行四边形时，求点P的坐标；考点：二次函数综合题．分析：（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）平行四边形的对边相等，因此EF=OD=2，据此列方程求出点P的坐标；解答：解：（1）∵点A（﹣1，0）、B（3，0）在抛物线y=ax2+bx+3上，∴，解得a=﹣1，b=2，∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+2x+3．（2）在抛物线解析式y=﹣x2+2x+3中，令x=0，得y=3，∴C（0，3）．第3页设直线BC的解析式为y=kx+b，将B（3，0），C（0，3）坐标代入得：，解得k=﹣1，b=3，∴y=﹣x+3．设E点坐标为（x，﹣x2+2x+3），则P（x，0），F（x，﹣x+3），∴EF=yE﹣yF=﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）=﹣x2+3x．∵四边形ODEF是平行四边形，∴EF=OD=2，∴﹣x2+3x=2，即x2﹣3x+2=0，解得x=1或x=2，∴P点坐标为（1，0）或（2，0）．练习2：已知抛物线的顶点为A(2，1)，且经过原点O，与x轴的另一交点为B。(1)求抛物线的解析式；(2)若点C在抛物线的对称轴上，点D在抛物线上，且以O、C、D、B四点为顶点的四边形为平行四边形，求D点的坐标；(3)连接OA、AB，如图②，在x轴下方的抛物线上是否存在点P，使得△OBP与△OAB相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由。AABBOOxxyy图①图②第4页第5页练习3:（本题满分12分）如图，抛物线32bxaxy与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点，31tanOCA，6ABCS．（1）求点B的坐标；（2）求抛物线的解析式及顶点坐标；（3）设点E在x轴上，点F在抛物线上，如果A、C、E、F构成平行四边形，请写出点E的坐标（不必书写计算过程）．答案：24、解：（1）∵32bxaxy∴C(0,3)………………………………………………1分又∵tan∠OCA=31∴A（1，0）……………………………………………1分CABOyx第6页又∵S△ABC=6∴6321AB∴AB=4…………………………………………………1分∴B（3，0）…………………………………………1分（2）把A（1，0）、B（3，0）代入32bxaxy得：339030baba…………………………………………1分∴1a，2b∴322xxy……………………………………2分∵4)1(2xy∴顶点坐标（1，4）………………………………1分（3）①AC为平行四边形的一边时E1析(1，0)………………………………………1分E2（27，0）………………………………1分E3（27，0）………………………………1分②AC为平行四边形的对角线时E4（3，0）…………………………………………1分练习4:（2011南宁）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+mx+n经过点A（3，0）、B（0，﹣3），点P是直线AB上的动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，设点P的横坐标为t．（1）分别求出直线AB和这条抛物线的解析式．（2）若点P在第四象限，连接AM、BM，当线段PM最长时，求△ABM的面积．（3）是否存在这样的点P，使得以点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．第7页考点：二次函数综合题；解一元二次方程－因式分解法；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；平行四边形的判定．.专题：压轴题；存在型．分析：（1）分别利用待定系数法求两函数的解析式：把A（3，0）B（0，﹣3）分别代入y=x2+mx+n与y=kx+b，得到关于m、n的两个方程组，解方程组即可；（2）设点P的坐标是（t，t﹣3），则M（t，t2﹣2t﹣3），用P点的纵坐标减去M的纵坐标得到PM的长，即PM=（t﹣3）﹣（t2﹣2t﹣3）=﹣t2+3t，然后根据二次函数的最值得到当t=﹣=32时，PM最长为=94，再利用三角形的面积公式利用S△ABM=S△BPM+S△APM计算即可；（3）由PM∥OB，根据平行四边形的判定得到当PM=OB时，点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形，然后讨论：当P在第四象限：PM=OB=3，PM最长时只有，所以不可能；当P在第一象限：PM=OB=3，（t2﹣2t﹣3）﹣（t﹣3）=3；当P在第三象限：PM=OB=3，t2﹣3t=3，分别解一元二次方程即可得到满足条件的t的值．解答：解：（1）把A（3，0）B（0，﹣3）代入y=x2+mx+n，得解得，所以抛物线的解析式是y=x2﹣2x﹣3．设直线AB的解析式是y=kx+b，把A（3，0）B（0，﹣3）代入y=kx+b，得，解得，所以直线AB的解析式是y=x﹣3；（2）设点P的坐标是（t，t﹣3），则M（t，t2﹣2t﹣3），因为p在第四象限，所以PM=（t﹣3）﹣（t2﹣2t﹣3）=﹣t2+3t，当t=﹣=32时，二次函数的最大值，即PM最长值为=94，则S△ABM=S△BPM+S△APM==．（3）存在，理由如下：∵PM∥OB，∴当PM=OB时，点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形，①当P在第四象限：PM=OB=3，PM最长时只有94，所以不可能有PM=3．第8页②当P在第一象限：PM=OB=3，（t2﹣2t﹣3）﹣（t﹣3）=3，解得t1=，t2=（舍去），所以P点的横坐标是；③当P在第三象限：PM=OB=3，t2﹣3t=3，解得t1=（舍去），t2=，所以P点的横坐标是．所以P点的横坐标是或．㈡【抛物线上的点能否构成矩形，菱形，正方形】三、形成提升训练（下面两题难度较大）1、（2007义乌市）如图，抛物线223yxx与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2．（1）求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式；（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值；（3）点G是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由．2、如图，抛物线经过5(1,0),(5,0),(0,)2ABC三点.A第9页xyAOCB（第26题图）xyAOCB（第26题图）'NPNMH'M(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标；(3)点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A,C,M,N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由.解析：解：（1）设抛物线的解析式为2yaxbxc，根据题意，得0,2550,5.2abcabcc，解得1,22,5.2abc∴抛物线的解析式为：2152.22yxx………(3分)（2）由题意知，点A关于抛物线对称轴的对称点为点B,连接BC交抛物线的对称轴于点P，则P点即为所求.设直线BC的解析式为ykxb，由题意，得50,5.2kbb解得1,25.2kb∴直线BC的解析式为15.22yx…………(6分)∵抛物线215222yxx的对称轴是2x，∴当2x时，153.222yx第10页∴点P的坐标是3(2,)2.…………(7分)（3）存在…………………………(8分)(i)当存在的点N在x轴的下方时，如图所示，∵四边形ACNM是平行四边形，∴CN∥x轴，∴点C与点N关于对称轴x=2对称，∵C点的坐标为5(0,)2，∴点N的坐标为5(4,).2………………………(11分)（II）当存在的点'N在x轴上方时，如图所示，作'NHx轴于点H，∵四边形''ACMN是平行四边形，∴'''',ACMNNMHCAO,∴Rt△CAO≌Rt△''NMH,∴'NHOC.∵点C的坐标为'55(0,),22NH,即N点的纵坐标为52，∴21552,222xx即24100xx解得12214,214.xx∴点'N的坐标为5(214,)2和5(214,)2.综上所述，满足题目条件的点N共有三个，分别为5(4,).2，5(214,)2，5(214,)2………………………(13分)3、（2007河南）如图，对称轴为直线72x的抛物线经过点A（6，0）和B（0，4）．（1）求抛物线解析式及顶点坐标；（2）设点E（x，y）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形．求平行四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；①当平行四边形OEAF的面积为24时，请判断平行四边形OEAF是否为菱形？②是否存在点E，使平行四边形OEAF为正方形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．