椭圆题型完美归纳(经典)

椭圆题型归纳一、知识总结1.椭圆的定义：把平面内与两个定点21,FF的距离之和等于常数（大于21FF）的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做焦点，两焦点的距离叫做焦距(设为2c).2.椭圆的标准方程：12222byax（a＞b＞0）12222bxay（a＞b＞0）焦点在坐标轴上的椭圆标准方程有两种情形，可设方程为221(0,0)mxnymn不必考虑焦点位置，求出方程。3.范围.椭圆位于直线x＝±a和y＝±b围成的矩形里．|x|≤a，|y|≤b．4.椭圆的对称性椭圆是关于y轴、x轴、原点都是对称的．坐标轴是椭圆的对称轴．原点是椭圆的对称中心．椭圆的对称中心叫做椭圆的中心．5.顶点椭圆有四个顶点：A1(－a,0)、A2(a,0)、B1(0,－b)、B2(0,b)．线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴.。长轴的长等于2a.短轴的长等于2b.yOF1F2xMccxF2F1OyMcc|B1F1|＝|B1F2|＝|B2F1|＝|B2F2|＝a．在Rt△OB2F2中，|OF2|2＝|B2F2|2－|OB2|2，即c2＝a2－b2．6.离心率7.椭圆22221xyab(a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆上任意一点12FPF，则椭圆的焦点角形的面积为122tan2FPFSb.8.椭圆22221xyab（a＞b＞0）的焦半径公式10||MFaex,20||MFaex(1(,0)Fc,2(,0)Fc00(,)Mxy).9.AB是椭圆22221xyab的不平行于对称轴的弦，M),(00yx为AB的中点，则22OMABbkka，即0202yaxbKAB。aA1yOF1F2xB2B1A2cb)10(eace考点一定义及其应用例1.已知一个动圆与圆22:(4)100Cxy相内切，且过点(4,0)A，求这个动圆圆心M的轨迹方程；例2.如果方程2222()()1xymxymm表示椭圆，则m的取值范围是例3.过椭圆22941xy的一个焦点1F的直线与椭圆相交于,AB两点，则,AB两点与椭圆的另一个焦点2F构成的2ABF的周长等于；例4.设圆22(1)25xy的圆心为C，(1,0)A是圆内一定点，Q为圆周上任意一点，线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则点M的轨迹方程为；考点二椭圆的方程例1.已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3倍，并且过点(3,0)P，求椭圆的方程；例2.已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点1(6,1)P、2(3,2)P，求椭圆的方程；例3.求经过点(2,3)且与椭圆229436xy有共同焦点的椭圆方程；注：与椭圆22221xyab共焦点的椭圆可设其方程为222221()xykbakbk；例1.在ABC中，,,ABC所对的三边分别为,,abc，且(1,0),(1,0)BC，求满足bac且,,bac成等差数列时顶点A的轨迹；例2.已知x轴上一定点(1,0)A，Q为椭圆2214xy上任一点，求AQ的中点M的轨迹方程；例3.设动直线l垂直于x轴，且与椭圆2224xy交于,AB两点，点P是直线l上满足1PAPB的点，求点P的轨迹方程；例4.中心在原点，一焦点为(0,50)F的椭圆被直线32yx截得的弦的中点的横坐标为12，求此椭圆的方程；考点三焦点三角形问题例1.已知椭圆2211625xy上一点P的纵坐标为53，椭圆的上下两个焦点分别为2F、1F，求1PF、2PF及12cosFPF；考点四椭圆的几何性质例1.已知P是椭圆22221xyab上的点，的纵坐标为53，1F、2F分别为椭圆的两个焦点，椭圆的半焦距为c，则12PFPF的最大值与最小值之差为例2.椭圆22221xyab(0)ab的四个顶点为,,,ABCD，若四边形ABCD的内切圆恰好过焦点，则椭圆的离心率为；例3.若椭圆22114xyk的离心率为12，则k；例4.若P为椭圆22221(0)xyabab上一点，1F、2F为其两个焦点，且01215PFF，02175PFF，则椭圆的离心率为考点五求范围例1.方程22221(1)xymm表示准线平行于x轴的椭圆，求实数m的取值范围；考点六.椭圆的第二定义的应用例1.方程222(1)(1)2xyxy所表示的曲线是例2.求经过点(1,2)M，以y轴为准线，离心率为12的椭圆的左顶点的轨迹方程；例3.椭圆221259xy上有一点P，它到左准线的距离等于52，那么P到右焦点的距离为例4．已知椭圆13422yx，能否在此椭圆位于y轴左侧的部分上找到一点M，使它到左准线的距离为它到两焦点12,FF距离的等比中项，若能找到，求出该点的坐标，若不能找到，请说明理由。例5．已知椭圆15922yx内有一点)1,1(A，1F、2F分别是椭圆的左、右焦点，点P是椭圆上一点．求223PFPA的最小值及对应的点P的坐标．考点七求离心率例1.椭圆22221xyab(0)ab的左焦点为1(,0)Fc，(,0)Aa，(0,)Bb是两个顶点，如果1F到直线AB的距离为7b，则椭圆的离心率e例2.若P为椭圆22221(0)xyabab上一点，1F、2F为其两个焦点，且12PFF，212PFF，则椭圆的离心率为例3.1F、2F为椭圆的两个焦点，过2F的直线交椭圆于,PQ两点，1PFPQ，且1PFPQ，则椭圆的离心率为；考点八椭圆参数方程的应用例1.椭圆22143xy上的点P到直线270xy的距离最大时，点P的坐标例2.方程22sincos1xy(0)表示焦点在y轴上的椭圆，求的取值范围；yxOABP考点九直线与椭圆的关系（1）直线与椭圆的位置关系例1.当m为何值时，直线:lyxm与椭圆22916144xy相切、相交、相离？例2.曲线22222xya（0a）与连结(1,1)A，(2,3)B的线段没有公共点，求a的取值范围。例3.过点)0,3(P作直线l与椭圆223412xy相交于,AB两点，O为坐标原点，求OAB面积的最大值及此时直线倾斜角的正切值。例4.求直线cossin2xy和椭圆2236xy有公共点时，的取值范围(0)。（二）弦长问题例1.已知椭圆22212xy，A是x轴正方向上的一定点，若过点A，斜率为1的直线被椭圆截得的弦长为3134，求点A的坐标。例2.椭圆221axby与直线1xy相交于,AB两点，C是AB的中点，若22||AB，O为坐标原点，OC的斜率为22，求,ab的值。例3.椭圆1204522yx的焦点分别是1F和2F，过中心O作直线与椭圆交于,AB两点，若2ABF的面积是20，求直线方程。（三）弦所在直线方程例1.已知椭圆221164xy，过点(2,0)P能否作直线l与椭圆相交所成弦的中点恰好是P；例2.椭圆E中心在原点O，焦点在x轴上，其离心率32e,过点(1,0)C的直线l与椭圆E相交于,AB两点，且C分有向线段AB的比为（1）用直线l的斜率(0)kk表示OAB的面积；（2）当OAB的面积最大时，求椭圆E的方程．例4.已知11022(,),(1,),(,)AxyByCxy是椭圆22143xy上的三点，F为椭圆的左焦点，且,,AFBFCF成等差数列，则AC的垂直平分线是否过定点？请证明你的结论。（四）关于直线对称问题例1.已知椭圆22143xy，试确定m的取值范围，使得椭圆上有两个不同的点关于直线4yxm对称；例2.已知中心在原点，焦点在y轴上，长轴长等于6，离心率322e，试问是否存在直线l，使l与椭圆交于不同两点,AB，且线段AB恰被直线21x平分？若存在，求出直线l倾斜角的取值范围；若不存在，请说明理由。考点十.最值问题例1．若(2,3)P，2F为椭圆1162522yx的右焦点，点M在椭圆上移动，求2MPMF的最大值和最小值。分析：欲求2MPMF的最大值和最小值可转化为距离差再求。由此想到椭圆第一定义212MFaMF,1F为椭圆的左焦点。例2．(2,6)P,2F为椭圆1162522yx的右焦点，点M在椭圆上移动，求2MPMF的最大值和最小值。F2F1M1M2o例3．求定点(,0)Aa到椭圆12222byax上的点之间的最短距离。3.三角函数法例4．求椭圆14222yx上的点(,)Mxy到直线:24lxy的距离的最值；4.判别式法把直线平移使其与椭圆相切，有两种状态，一种可求最小值，另一种求最大值。例5.已知定点(2,3)A，点F为椭圆2211612xy的右焦点，点M在该椭圆上移动时，求2AMMF的最小值，并求此时点M的坐标；（第二定义的应用）例6．已知1F、2F分别为椭圆22110064xy的左、右焦点，椭圆内一点M的坐标为(2,6)，P为椭圆上的一个动点，试分别求：（1）253PMPF的最小值；（2）2PMPF的取值范围．考点十一.轨迹问题例1．到两定点(2,1)，(2,2)的距离之和为定值5的点的轨迹是()．椭圆Ｂ．双曲线Ｃ．直线Ｄ．线段例2．已知点(3,0)A，点P在圆221xy的上半圆周上(即y＞0)，∠AOP的平分线交PA于Q，求点Q的轨迹方程。例3.已知圆22:(3)100Cxy及点(3,0)A，P是圆C上任一点，线段PA的垂直平分线l与PC相交于Q点，求Q点的轨迹方程。题型十二.椭圆与数形结合例1．关于x的方程22220xkxk有两个不相等的实数解，求实数k的取值范围.8、这个世界并不是掌握在那些嘲笑者的手中，而恰恰掌握在能够经受得住嘲笑与批忍不断往前走的人手中。9、障碍与失败，是通往成功最稳靠的踏脚石，肯研究、利用它们，便能从失败中培养出成功。10、在真实的生命里，每桩伟业都由信心开始，并由信心跨出第一步。