正弦函数、余弦函数的性质(经典)

三角函数1.4正弦函数余弦函数的性质1.定义域和值域x22322523yO23225311x22322523yO23225311正弦函数sinyx定义域：R值域：[-1，1]余弦函数cosyx定义域：R值域：[-1，1]|sin|1|cos|1≤≤xx练习P46练习2(1)2cos3x2(2)sin0.5x3cos2x1×sin0.5x[1,1]√正弦函数.余弦函数的图象和性质2o46246xy---------1-1因为终边相同的角的三角函数值相同，所以y=sinx的图象在……，……与y=sinx,x∈[0,2π]的图象相同2,4,0,2,,2,0,4,22o46246xy---------1-1正弦函数Rxxy,sin的图象余弦函数Rxxy,cos的图象因为终边相同的角的三角函数值相同，所以y=cosx的图象在……，……与y=cosx,x∈[0,2π]的图象相同2,4,0,2,,2,0,4,2正弦、余弦函数y=sinx,y=cosx的图象周期函数定义：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x)那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。2.周期性判断下列命题是否正确1、因为f(x+0)=f(0)，所以函数f(x)为周期函数，周期是0；2、因为f(x+2x)=f(x),所以函数f(x)为周期函数，周期是2x；3、因为sin(30°+120°)=sin30°,所以函数f(x)=sinx为周期函数，周期是120°；4、因为sin(x+4π)=sinx,所以函数f(x)=sinx为周期函数，周期是4π:期例1、求下列函数的周.,都指最小正周期若不加特别说明;,cos3)1(Rxxy;,2sin)2(Rxxy;),621sin(2)3(Rxxy)0,0.(),sin()4(ARxxAy举例3cos(2)3cosxx解：（1）∵∴自变量x只要并且至少要增加到x+2π，函数3cos,yxxR的值才能重复出现.2的周期是所以，函数3cos,yxxR(2)sin(22)sin2()sin2xxxsin2,yxxR的值才能重复出现.，∴自变量x只要并且至少要增加到x+π，函数的周期是所以，函数2sin,yxxR111(3)2sin(2)2sin[()]2sin()262626xxx∴自变量x只要并且至少要增加到x+π，函数的值才能重复出现.12sin()26yx12sin(),26yxxR所以,函数的周期是π)0,0.(),cos()0,0.(),sin(ARxxAyARxxAy思考(4)2||T练习已知函数的周期是3，且当时，，求()yfx[0,3]x2()1fxx(1),(5),(16).fff思考：吗？2(5)5126f正弦函数的图象探究余弦函数的图象问题：它们的图象有何对称性？x22322523yO23225311x22322523yO232253113.奇偶性3.奇偶性(1)()sin,fxxxRxR任意()sin()fxxsinx()fx()sin,fxxxR为奇函数(2)()cos,fxxxRxR任意()cos()fxxcosx()fx()cos,fxxxR为偶函数x22322523yO23225311P'P正弦函数的图象53113,,,,22222x对称轴：,2xkkZ(,0),(0,0),(,0),(2,0)对称中心：(,0)kkZ余弦函数的图象,0,,2x对称轴：,xkkZ35(,0),(,0),(,0),(,0)2222对称中心：(,0)2kkZ'PPx22322523yO23225311练习为函数的一条对称轴的是（）sin(2)3yxx22322523yO232253114.3Ax12x.2Bx.0Dx解：经验证，当.12Cx时232x12x为对称轴例题求函数的对称轴和对称中心sin(2)3yx23zx解（1）令则sin(2)sin3yxzsinyz的对称轴为,2zkkZ232xk解得：对称轴为,122xkkZ(2)sinyz的对称中心为(,0),kkZ23xk对称中心为62xkzk(,0),Z62kk练习求函数的对称轴和对称中心1cos()24yx四、最大值与最小值yxo;1,22,1,22时取得最小值且仅当当时取得最大值正弦函数当且仅当ZkkxZkkx.1,2,1,2时取得最小值当当且仅时取得最大值余弦函数当且仅当ZkkxZkkx例1.下列函数有最大、最小值吗？如果有，请写出取最大、最小值时的自变量x的集合，并说出最大、最小值分别是什么.cos1,3sin2,.yxxRyxxR(1);(2)解：这两个函数都有最大值、最小值.（1）使函数取得最大值的x的集合，就是使函数取得最大值的x的集合cos1,yxxRcos,yxxR{|2,}xxkkZ使函数取得最小值的x的集合，就是使函数取得最小值的x的集合cos1,yxxRcos,yxxR{|(21),}xxkkZ函数的最大值是1+1=2；最小值是-1+1=0.cos1,yxxR例1.下列函数有最大、最小值吗？如果有，请写出取最大、最小值时的自变量x的集合，并说出最大、最小值分别是什么.cos1,3sin2,.yxxRyxxR(1);(2)解：（2）令t=2x,因为使函数取最大值的t的集合是3sin,yttR{|2,}2ttkkZ222xtk由4xk得所以使函数取最大值的x的集合是3sin2,yxxR{|,}4xxkkZ同理，使函数取最小值的x的集合是3sin2,yxxR{|,}4xxkkZ函数取最大值是3，最小值是-3。3sin2,yxxR1、__________，则f（x）在这个区间上是增函数.)()(21xfxf4.正弦余弦函数的单调性函数(),yfx若在指定区间任取，12xx、且，都有：21xx函数的单调性反映了函数在一个区间上的走向。观察正余弦函数的图象，探究其单调性2、__________，则f（x）在这个区间上是减函数.)()(21xfxf增函数：上升减函数：下降探究：正弦函数的单调性]2523[]22[]23,25[，、，、当在区间……上时，x曲线逐渐上升，sinα的值由增大到。11753357[,][][][,]22222222…、，、，、…当在区间x上时，曲线逐渐下降，sinα的值由减小到。11x22322523yO23225311探究：正弦函数的单调性x22322523yO23225311正弦函数在每个闭区间)](22,22[Zkkk都是增函数，其值从－1增大到1；而在每个闭区间3[2,2]()22kkkZ上都是减函数，其值从1减小到－1。探究：余弦函数的单调性[3,2][0][2][3,4]、，、，当在区间x上时，曲线逐渐上升，cosα的值由增大到。11曲线逐渐下降，sinα的值由减小到。11[2,][0][23]、，、，当在区间x上时，x22322523yO23225311探究：余弦函数的单调性x22322523yO23225311由余弦函数的周期性知：其值从1减小到－1。而在每个闭区间上都是减函数，[2,2]kk其值从－1增大到1；在每个闭区间[2,2]kk都是增函数，例2.求函数的单调增区间解：123sinyxsinyz2222zkk1222223xkk54433kxk4,433,5kkkZy=sinz的增区间原函数的增区间求函数的单调增区间5334,4kk12sin,[2,23]xyx1,k221711,330,k5,331,k711,33√求函数的单调增区间1sin23yxsinyz32222zkk12322232xkk5114433xkk4,4133,51kkkZ增减减增变式练习求函数的单调增区间1sin23yx增为了防止出错，以及计算方便，遇到负号要提出来sin()sin1sin23yxsinyzsinyz增增减cos()cos求函数的单调增区间1cos23yx增为了防止出错，以及计算方便，遇到负号要提出来sin()sin1cos23yxcosyzcosyz增增增cos()cos(,0)()kkz已知三角函数值求角已知求3sin2x22322523yO23225311已知三角函数值求角已知求的范围。3sin23sin6023sin1202x22322523yO23225311]120,60[360k360kZk小结：y=sinx和y=cosx的性质函数y=sinxy=cosx图象周期性奇偶性单调性最值对称性对称中心：对称中心：对称轴：对称轴：