公开课2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义

2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度和方向规定如下：(1)|λa|=|λ||a|(2)当λ0时,λa的方向与a方向相同；当λ0时,λa的方向与a方向相反；特别地，当λ=0或a=0时,λa=0设a,b为任意向量，λ,μ为任意实数，则有：①λ(μa)=(λμ)a②(λ+μ)a=λa+μa③λ(a+b)=λa+λb向量的夹角OABOABab0,当OABbaab记作已知两个非零向量和，作，，则叫做向量和的夹角．OAaOBbAOB)1800(abababab与同向OABab180,当ab与反向ab与垂直90,当,ab记作问题θsF一个物体在力F的作用下产生的位移s，那么力F所做的功应当怎样计算？为此，我们引入向量“数量积”的概念。功是一个标量，它由力和位移两个向量来确定.这给我们一种启示，能否把“功”看成是这两个向量的一种运算的结果呢？其中θ是F与s的夹角.W=|F||s|cosθ问题：如果我们将公式中的力与位移类比推广到两个一般向量，其结果又该如何表述？两个向量的大小及其夹角余弦的乘积。cosSFW||a||bcosba功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积；平面向量的数量积的定义规定：零向量与任意向量的数量积为0，即00a（1）两向量的数量积是一个数量，而不是向量，符号由夹角决定.（3）在运用数量积公式解题时，一定要注意两向量夹角的范围是[0°，180°]．说明：已知非零向量与，我们把数量叫作与的数量积（或内积），记作，即规定||||cosabababab||||cosabab（2）a·b中间的“·”在向量的运算中不能省略，也不能写成a×b，a×b表示向量的另一种运算（外积）．思考：向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时候为负？||||cosabab当0°≤θ＜90°时为正；ab当90°＜θ≤180°时为负。ab当θ=90°时为零。ab数量积符号由cos的符号所决定问题：向量的数量积运算与实数同向量积的线性运算的结果有什么不同？实数同向量积的线性运算的结果是向量两向量的数量积是一个实数，是一个数量当a与b同向时，a·b＝︱a︱︱b︱；当a与b反向时，a·b＝－︱a︱︱b︱；a·a＝a2＝︱a︱2或︱a︱＝.aa问题：设a与b都是非零向量，若a⊥b，则a·b等于多少？反之成立吗？a⊥ba·b＝0问题：当a与b同向时，a·b等于什么？当a与b反向时，a·b等于什么？特别地，a·a等于什么？.cosbaba12,9,542,.ababab例：已知求与的夹角212abaabb例：已知，满足：=9，，求的取值范围。问题：︱a·b︱与︱a︱︱b︱的大小关系如何？为什么？︱a·b︱≤︱a︱︱b︱问题：对于向量a，b，如何求它们的夹角θ？向量数量积的性质ab设,都是非零向量,则1)0abab222,||||,||||ababababababaaaaa）当同向时；当反向时；特别的或3||||||abab）4||||ababab）cos=为，的夹角||||cosabab例、在△ABC中，求8,7,60abCBCCA,,00ABCABaACbababABC1、已知中，当或时，试判断的形状。练习:,,0ABCABaBCbabABC变式：已知中，当时，试判断的形状。例、已知|a|=5，|b|=4，求a·b①a与b的夹角θ=120°②ａ∥ｂ③ａ⊥ｂ平面向量数量积的几何意义向量a在b方向上的投影是什么？投影一定是正数吗？|b|cosθ叫向量b在a方向上的投影．OABab1BbOBaOA，作，过点B作1BB垂直于直线OA，垂足为，则1B1OB|b|cosθ︱a︱cosθC说明：（2）投影也是一个数量，不是向量。（1）OABab1BBOAab1BOABab)(1Bθ为锐角时，|b|cosθ＞0θ为钝角时，|b|cosθ＜0θ为直角时，|b|cosθ=0当=0时投影为|b|当=180时投影为-|b|.问题：根据投影的概念，数量积a·b=︱a|︱b︱cosθ的几何意义是什么？数量积a·b等于a的模与b在a方向上的投影︱b︱cosθ的乘积，或等于b的模与a在b方向上的投影︱a︱cosθ的乘积.上的投影为在时）当（上的投影为在时）当（上的投影为在时）当（上的投影为在时）当（夹角为与若abbababababa000012041203902301,8||,4||32024练一练：abba)()()(bababacbcacba)(⑴交换律：⑵对数乘的结合律：⑶分配律：则，和实数、、已知向量cba数量积的运算律下面我们证明运算律（3）：cbcacba)(⑶分配律：.OCAA1Bab12证：.cOCbABaOAO，，作，任取一点，如图方向上的投影等于在即cOBba)(即，方向上的投影的和在、cbacos||ba21cos||cos||ba21cos||||cos||||cos||||bcacbacbcacbac)(.)(cbcacbaB1cab想一想：∴向量数量积不满足结合律.向量的数量积满足结合律吗？说明：()abcc表示一个与共线的向量，()abca而表示一个与共线的向量ca但与不一定共线，()()abcabc)cb(ac)ba(即：成立吗？应用举例110020=030=4=50,06=007aaBABAababababababa例、判断正误，并简要说明理由若则对任一非零向量有若，则，中至少有一个为对任意向量228bcabcabcabab，，都有若，是两个单位向量，则××××××√√221234,00567abcacbcababababababababababababbcacabc例、写出下列正确命题的序号：已知，，为非零不共线向量，则若=0,则∥若=0则或若⊥,则若,则-不与垂直⑶、⑸、⑺常用公式222(1)()2abaabb22(2)()()ababab222||6,||4,b60,,(2)(3),(),||abaabababababab已知与的夹角为，求，当且仅当，不共线与且，，例、已知)(4||3||baba？互相垂直与向量，为何值时bkabkak例、354,3k2kabababab:已知，向量与的夹角为，如果（）（）,求实数的值.6332baababab4:已知，向量与的夹角为，且（）（）=-72,求.练习1、练习1、2222()２思考　ａｂａｂａｂ　是一个常用的结论，如何构造一个图形解释这个公式的几何意义？9例5已知ａ=７,ｂ=４，ａｂ求ａｂ.利用平面向量数量积求解长度问题||aaa1(2008)12,3,abababab例上海:已知，向量与的夹角为，求变式：32,13ababababab若，，求:(1)(2)与的夹角的余弦值.(2008)13,1205ababab练习江苏:已知，向量与的夹角为，求最小？时，取何值，问夹角为与练习题：btatbaba0120,1利用平面向量数量积求解夹角问题||||cosbaba例：已知a、b都是非零向量，且a+3b与7a5b垂直，a4b与7a2b垂直，求a与b的夹角奎屯王新敞新疆(2007)21,1b.abaaba练习：上海:已知，（）求，课堂小结：1、向量的数量积的定义已知两个非零向量与，它们的夹角为θ，我们把数量叫做与的数量（或内积,点乘），即abcosababcosabab规定：零向量与任意向量的数量积为0，即0．0a2、向量数量积的几何意义||||cosabba数量积等于与投影的乘积。3、数量积运算律(1)abba（交换律）(2)()()()ababab（数乘结合律）(3)()abcacbc（分配律）课堂小结：4、向量数量积的性质ab设,都是非零向量,则1)0abab222,||||,||||ababababababaaaaa）当同向时；当反向时；特别的或3||||||abab）4||||ababab）cos=为，的夹角5.常用︱a︱＝求向量的模.常用求向量的夹角.aacosabab1、有四个式子：⑴⑵⑶⑷其中正确的个数为（）A、4个B、3个C、2个D、1个2、已知、都是单位向量，下列结论正确的是（）A、B、C、∥D、3、有下列四个关系式：⑴⑵⑶⑷，其中正确的个数是（）A、1B、2C、3D、400a00a||||||babaab1ba22baabab0ba000)()(cbacbaabba00acbcabaDBA作业4.判断下列命题正确与否：（1）若a=0，则对任一向量b，有a·b=0。（2）若a≠0，则对任一非零向量b，有a·b≠0。（3）若a≠0，a·b=0，则b=0。（4）若a·b=0，则a、b中至少有一个为0。（5）若a≠0，a·b=a·c，则b=c。（6）若a·b=a·c，则b≠c，当且仅当a=0时成立。（7）对任意向量a，有a2=|a|2。（√）（X）（X）（X）（X）（X）（√）