专题3.3-利用导数研究函数的最值、极值---2020年高考数学一轮复习对点提分(文理科通用)(原卷

1第三篇导数及其应用专题3.03利用导数研究函数的极值、最值【考点聚焦突破】考点一利用导数解决函数的极值问题角度1根据函数图象判断函数极值【例1－1】已知函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是()A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B.函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)D.函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)【规律方法】由图象判断函数y＝f(x)的极值，要抓住两点：(1)由y＝f′(x)的图象与x轴的交点，可得函数y＝f(x)的可能极值点；(2)由导函数y＝f′(x)的图象可以看出y＝f′(x)的值的正负，从而可得函数y＝f(x)的单调性.两者结合可得极值点.角度2已知函数求极值【例1－2】(2019·天津和平区模拟)已知函数f(x)＝lnx－ax(a∈R).(1)当a＝12时，求f(x)的极值；(2)讨论函数f(x)在定义域内极值点的个数.2【规律方法】运用导数求可导函数y＝f(x)的极值的一般步骤：(1)先求函数y＝f(x)的定义域，再求其导数f′(x)；(2)求方程f′(x)＝0的根；(3)检查导数f′(x)在方程根的左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值.特别注意：导数为零的点不一定是极值点.角度3已知函数的极(最)值求参数的取值【例1－3】(2019·泰安检测)已知函数f(x)＝lnx.(1)求f(x)图象的过点P(0，－1)的切线方程；(2)若函数g(x)＝f(x)－mx＋mx存在两个极值点x1，x2，求m的取值范围.【规律方法】已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意：(1)根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；(2)因为导数值等于0不是此点为极值点的充要条件，所以用待定3系数法求解后必须检验.【训练1】(1)(2017·全国Ⅱ卷)若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)·ex－1的极值点，则f(x)的极小值为()A.－1B.－2e－3C.5e－3D.1(2)(2018·北京卷)设函数f(x)＝[ax2－(4a＋1)x＋4a＋3]ex.①若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行，求a；②若f(x)在x＝2处取得极小值，求a的取值范围.考点二利用导数求函数的最值【例2】(2019·广东五校联考)已知函数f(x)＝ax＋lnx，其中a为常数.(1)当a＝－1时，求f(x)的最大值；(2)若f(x)在区间(0，e]上的最大值为－3，求a的值.4【规律方法】1.利用导数求函数f(x)在[a，b]上的最值的一般步骤：(1)求函数在(a，b)内的极值；(2)求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b)；(3)将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.2.求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值.【训练2】(2019·合肥质检)已知函数f(x)＝excosx－x.(1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；(2)求函数f(x)在区间0，π2上的最大值和最小值.考点三利用导数求解最优化问题【例3】(2018·衡水中学质检)在某次水下科研考察活动中，需要潜水员潜入水深为60米的水底进行作业，根据以往经验，潜水员下潜的平均速度为v(米/单位时间)，每单位时间的用氧量为v103＋1(升)，在水底作业10个单位时间，每单位时间用氧量为0.9(升)，返回水面的平均速度为v2(米/单位时间)，每单位时间用氧量为1.5(升)，记该潜水员在此次考察活动中的总用氧量为y(升).(1)求y关于v的函数关系式；(2)若c≤v≤15(c0)，求当下潜速度v取什么值时，总用氧量最少.5【规律方法】1.利用导数解决生活中优化问题的一般步骤：(1)设自变量、因变量，建立函数关系式y＝f(x)，并确定其定义域；(2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；(3)比较函数在区间端点和f′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；(4)回归实际问题作答.2.如果目标函数在定义域内只有一个极值点，那么根据实际意义该极值点就是最值点.【训练3】(2017·全国Ⅰ卷)如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D，E，F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D，E，F重合，得到三棱锥.当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：cm3)的最大值为______.【反思与感悟】1.求函数的极值、最值，通常转化为对函数的单调性的分析讨论，所以，研究函数的单调性、极值、最值归根结底都是对函数单调性的研究.2.研究函数的性质借助数形结合的方法有助于问题的解决.函数的单调性常借助导函数的图象分析导数的正负；函数的极值常借助导函数的图象分析导函数的变号零点；函数的最值常借助原函数图象来分析最值点.3.解函数的优化问题关键是从实际问题中抽象出函数关系，并求出函数的最值.6【易错防范】1.求函数的极值、函数的优化问题易忽视函数的定义域.2.已知极值点求参数时，由极值点处导数为0求出参数后，易忽视对极值点两侧导数异号的检验.3.由极值、最值求参数时，易忽视参数应满足的前提范围(如定义域)，导致出现了增解.【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：40分钟)一、选择题1.函数y＝f(x)导函数的图象如图所示，则下列说法错误的是()A.(－1，3)为函数y＝f(x)的递增区间B.(3，5)为函数y＝f(x)的递减区间C.函数y＝f(x)在x＝0处取得极大值D.函数y＝f(x)在x＝5处取得极小值2.设a∈R，若函数y＝ex＋ax有大于零的极值点，则()A.a－1B.a－1C.a－1eD.a－1e73.已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值10，则f(2)等于()A.11或18B.11C.18D.17或184.函数f(x)＝3x2＋lnx－2x的极值点的个数是()A.0B.1C.2D.无数5.(2019·青岛二模)已知函数f(x)＝2ef′(e)lnx－xe(e是自然对数的底数)，则f(x)的极大值为()A.2e－1B.－1eC.1D.2ln28二、填空题6.函数f(x)＝xe－x，x∈[0，4]的最大值是________.7.已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，若m∈[－1，1]，则f(m)的最小值是________.8.若函数f(x)＝x33－a2x2＋x＋1在区间12，3上有极值点，则实数a的取值范围是________.三、解答题9.设函数f(x)＝alnx－bx2(x0)，若函数f(x)在x＝1处与直线y＝－12相切.(1)求实数a，b的值；(2)求函数f(x)在1e，e上的最大值.910.(2018·天津卷选编)设函数f(x)＝(x－t1)(x－t2)(x－t3)，其中t1，t2，t3∈R，且t1，t2，t3是公差为d的等差数列.(1)若t2＝0，d＝1，求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；(2)若d＝3，求f(x)的极值.【能力提升题组】(建议用时：20分钟)11.(2019·郑州质检)若函数y＝f(x)存在n－1(n∈N*)个极值点，则称y＝f(x)为n折函数，例如f(x)＝x2为2折函数.已知函数f(x)＝(x＋1)ex－x(x＋2)2，则f(x)为()A.2折函数B.3折函数C.4折函数D.5折函数1012.若函数f(x)＝2x2－lnx在其定义域的一个子区间(k－1，k＋1)内存在最小值，则实数k的取值范围是________.13.(2019·杭州质检)传说中孙悟空的“如意金箍棒”是由“定海神针”变形得来的.这定海神针在变形时永远保持为圆柱体，其底面半径原为12cm且以每秒1cm等速率缩短，而长度以每秒20cm等速率增长.已知神针的底面半径只能从12cm缩到4cm，且知在这段变形过程中，当底面半径为10cm时其体积最大.假设孙悟空将神针体积最小时定形成金箍棒，则此时金箍棒的底面半径为________cm.14.设f(x)＝xlnx－ax2＋(2a－1)x(常数a0).(1)令g(x)＝f′(x)，求g(x)的单调区间；(2)已知f(x)在x＝1处取得极大值，求实数a的取值范围.11【新高考创新预测】15.(试题创新)当x∈[1，4]时，不等式0≤ax3＋bx2＋4a≤4x2恒成立，则a＋b的取值范围是()A.[－4，8]B.[－2，8]C.[0，6]D.[4，12]