专题1.4-基本不等式及其应用---2020年高考数学一轮复习对点提分(文理科通用)(原卷版)

1第一篇集合与不等式专题1.04基本不等式及其应用【考试要求】1.掌握基本不等式ab≤a＋b2(a，b≥0)；2.结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题.【知识梳理】1.基本不等式：ab≤a＋b2(1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0.(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号.(3)其中a＋b2称为正数a，b的算术平均数，ab称为正数a，b的几何平均数.2.两个重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.(2)ab≤a＋b22(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.3.利用基本不等式求最值已知x≥0，y≥0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2p(简记：积定和最小).(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是s24(简记：和定积最大).【微点提醒】1.ba＋ab≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号.2.21a＋1b≤ab≤a＋b2≤a2＋b22(a0，b0).3.连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致.【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)两个不等式a2＋b2≥2ab与a＋b2≥ab成立的条件是相同的.()(2)函数y＝x＋1x的最小值是2.()2(3)函数f(x)＝sinx＋4sinx的最小值为4.()(4)x＞0且y＞0是xy＋yx≥2的充要条件.()【教材衍化】2.(必修5P99例1(2)改编)若x0，y0，且x＋y＝18，则xy的最大值为()A.9B.18C.36D.813.(必修5P100练习T1改编)若x0，则x＋1x()A.有最小值，且最小值为2B.有最大值，且最大值为2C.有最小值，且最小值为－2D.有最大值，且最大值为－2【真题体验】4.(2019·浙江镇海中学月考)已知f(x)＝x2－2x＋1x，则f(x)在12，3上的最小值为()A.12B.43C.－1D.05.(2018·济宁一中月考)一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，则这个矩形的长为________m，宽为________m时菜园面积最大.36.(2018·天津卷)已知a，b∈R，且a－3b＋6＝0，则2a＋18b的最小值为________.【考点聚焦】考点一利用基本不等式求最值角度1利用配凑法求最值【例1－1】(1)(2019·乐山一中月考)设0x32，则函数y＝4x(3－2x)的最大值为________.(2)已知x54，则f(x)＝4x－2＋14x－5的最大值为______.角度2利用常数代换法求最值【例1－2】(2019·潍坊调研)函数y＝a1－x(a0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny－1＝0上，且m，n为正数，则1m＋1n的最小值为________.角度3基本不等式积(ab)与和(a＋b)的转化【例1－3】(经典母题)正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围是________.【迁移探究】本例已知条件不变，求a＋b的最小值.4【规律方法】在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，主要有两种思路：(1)对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解.常用的方法有：折项法、变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法等.(2)条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值.【训练1】(1)(2019·济南联考)若a0，b0且2a＋b＝4，则1ab的最小值为()A.2B.12C.4D.14(2)若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值为________.考点二基本不等式在实际问题中的应用【例2】运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x≤100(单位：千米/时).假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油2＋x2360升，司机的工资是每小时14元.(1)求这次行车总费用y关于x的表达式；(2)当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值.【规律方法】1.设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数.2.根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值.53.在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解.【训练2】网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内，成为商业的一个主要发展方向.某品牌行车记录仪支架销售公司从2019年1月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式.根据几个月运营发现，产品的月销量x万件与投入实体店体验安装的费用t万元之间满足函数关系式x＝3－2t＋1.已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，产品每1万件进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，则该公司最大月利润是________万元.考点三基本不等式与其他知识的综合应用【例3】(1)(2019·河南八校测评)已知等差数列{an}中，a3＝7，a9＝19，Sn为数列{an}的前n项和，则Sn＋10an＋1的最小值为________.(2)(一题多解)(2018·江苏卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC＝120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD＝1，则4a＋c的最小值为________.【规律方法】基本不等式的应用非常广泛，它可以和数学的其他知识交汇考查，解决这类问题的策略是：1.先根据所交汇的知识进行变形，通过换元、配凑、巧换“1”等手段把最值问题转化为用基本不等式求解，这是难点.2.要有利用基本不等式求最值的意识，善于把条件转化为能利用基本不等式的形式.3.检验等号是否成立，完成后续问题.【训练3】(1)(2019·厦门模拟)已知f(x)＝32x－(k＋1)3x＋2，当x∈R时，f(x)恒为正值，则k的取值范围是()A.(－∞，－1)B.(－∞，22－1)6C.(－1，22－1)D.(－22－1，22－1)(2)在各项都为正数的等比数列{an}中，若a2018＝22，则1a2017＋2a2019的最小值为________.【反思与感悟】1.基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点.2.对于基本不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌握它的几种变形形式及公式的逆用等，例如：ab≤a＋b22≤a2＋b22，ab≤a＋b2≤a2＋b22(a0，b0)等，同时还要注意不等式成立的条件和等号成立的条件.【易错防范】1.使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可.2.对使用基本不等式时等号取不到的情况，可考虑使用函数y＝x＋mx(m0)的单调性.【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：35分钟)一、选择题1.(2019·孝感调研)“ab0”是“aba2＋b22”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件72.下列结论正确的是()A.当x0且x≠1，lgx＋1lgx≥2B.1x2＋11(x∈R)C.当x0时，x＋1x≥2D.当0x≤2时，x－1x无最大值3.(2019·绵阳诊断)已知x1，y1，且lgx，2，lgy成等差数列，则x＋y有()A.最小值20B.最小值200C.最大值20D.最大值2004.设a0，若关于x的不等式x＋ax－1≥5在(1，＋∞)上恒成立，则a的最小值为()A.16B.9C.4D.25.(2019·太原模拟)若P为圆x2＋y2＝1上的一个动点，且A(－1，0)，B(1，0)，则|PA|＋|PB|的最大值为()A.2B.22C.4D.4286.某车间分批生产某种产品，每批产品的生产准备费用为800元，若每批生产x件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品()A.60件B.80件C.100件D.120件7.若实数a，b满足1a＋2b＝ab，则ab的最小值为()A.2B.2C.22D.48.(2019·衡水中学质检)正数a，b满足1a＋9b＝1，若不等式a＋b≥－x2＋4x＋18－m对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是()A.[3，＋∞)B.(－∞，3]C.(－∞，6]D.[6，＋∞)二、填空题9.函数y＝x2＋2x－1(x1)的最小值为________.910.某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，则每台机器为该公司创造的年平均利润的最大值是________万元.11.已知x0，y0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为________.12.已知直线mx＋ny－2＝0经过函数g(x)＝logax＋1(a0且a≠1)的定点，其中mn0，则1m＋1n的最小值为________.【能力提升题组】(建议用时：15分钟)13.(2018·江西师大附中月考)若向量m＝(a－1，2)，n＝(4，b)，且m⊥n，a0，b0，则log13a＋log31b有()A.最大值log312B.最小值log32C.最大值log1312D.最小值01014.(2019·湖南师大附中模拟)已知△ABC的面积为1，内切圆半径也为1，若△ABC的三边长分别为a，b，c，则4a＋b＋a＋bc的最小值为()A.2B.2＋2C.4D.2＋2215.(2017·天津卷)若a，b∈R，ab0，则a4＋4b4＋1ab的最小值为________.16.已知函数f(x)＝x2＋ax＋11x＋1(a∈R)，若对于任意的x∈N*，f(x)≥3恒成立，则a的取值范围是________.【新高考创新预测】17.(多填题)已知正数x，y满足x＋y＝1，则x－y的取值范围为________，1x＋xy的最小值为________.