拉格朗日中值定理-资料大全

罗尔定理柯西中值定理微分中值定理拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理泰勒中值定理罗尔（Rolle）定理如果函数)(xf满足（1）在闭区间],[ba上连续；（2）在开区间),(ba内可导；（3）且在区间端点的函数值相等，即)()(bfaf；则在),(ba内至少有一点)(ba,使得函数)(xf在该点的导数等于零，即0)('fOxy)(xfyabAB实际上,C点处的切线与弦AB平行.几何解释:把上图做一旋转，得到下图：COxy)(xfyabABC点处的切线与弦线AB平行.Cabafbff)()()(如果函数)(xf满足（1）在闭区间],[ba上连续；（2）在开区间),(ba内可导；则在则在),(ba内至少有一点)(ba,使等式))(()()('abfafbf成立.拉格朗日（Lagrange）中值定理).()(:bfaf去掉了与罗尔定理相比条件中注意).()()(fabafbf结论亦可写成弦AB斜率切线斜率此条件太苛刻[[分析]]：如何利用罗尔定理来证明？关键是构造辅助函数，怎样构造辅助函数？方法有很多种，我们介绍其中的一种:'()()()()()0()0()0xxfbfaffkfkbafxkfxkx设()()xfxkx，即为所找的辅助函数.[[证明]]：构造辅助函数()()()()fbfaxfxxba，则()x在[,]ab上连续，在(,)ab内可导，且()()()()()()()fafbbfaafbafaabbaba可可以以看看成成洛洛尔尔定定理理的的结结论论由罗尔定理，则至少存在一点(,)ab，使得()0.即()()()0fbfafba，由此得，公式对ba也成立.【注】：（1）定理的几何意义：在()yfx上至少有一点C，使得曲线在C点处的切线平行于弦AB弦.（2）若附加条件()()fbfa，则成为Rolle定理.（3）定理只论证了的存在性，(,)ab，不知道的准确数值，但并不妨碍它的应用.拉格朗日中值公式).)(()()(abfafbf（4）拉格朗日（Lagrange）中值公式的其它写法：()()()(())()fbfafababa，01。()()()()fxxfxfxxx，01。有限增量公式))(()()(abfafbf,I.I,有则若21,0)(xxxxf,0))(()()(2121xxfxfxf.)()(21xfxf推论1.I,,I,xCxfxxf)(0)(则若证)()())()(()(xgxfxgxfxF,I)()(xxgxf若,I,0))()(()(xxgxfxF则.I,)()()(xCxgxfxF))(()()(abfafbf推论2.I)()(,I)()(xCxgxfxxgxf则若(C为常数)证拉格朗日中值定理函数单调性的判定法拉格朗日中值定理函数单调性的判定法引入新课新课讲授小结与作业导数的几何意义：y=f(x)0xy0xtan)('0切kxf引入新课例题α。的切线平行于直线，使过点上求一点在，、，上点已知曲线ABPPABeBAxy),1()01(ln引例.解：ABP0xy1e1xxyyKABABAB0|001')(0xyKyxPxx切则、设ABKK切又1e1x10)1eln(y0)1eln(1eP、点1ex0注：这个例题反映了一个一般事实，可以写成下面的定理。返回(A)一.拉格朗日中值定理推论：如果y=(x)在区间（a、b)内有f'(x)≡0则在此区间内f(x)≡c(常数）。定理：如果函数y=(x)满足，10.在（a、b)上连续20.在（a、b)内可导，则至少存在一点使等式f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a)成立。)ba(、注：这个推论是常数的导数是零的逆定理。例题与练习新课讲授(B)练习1：下列函数中在区间[-1、1]上满足拉格朗日中值定理条件的是______(A)例1.求函数f(x)=x2+2x在区间[0、1]内满足拉格朗日中值定理的ξ值。解：22|)22()('xxff(1)-f(0)=3301)0(f)1(f)('f∴2ξ+2=3∴ξ211)f(x)=ln(1+x)2)f(x)=|x|3x)x(f)34)f(x)=arctanx下一页二.函数单调性的判定法0xy0xyabABabAB几何特征：定理：设函数y=f(x)在[a、b]上连续,在（a、b)内可导.1）若在(a、b)内f’(x)0，则y=f(x)在[a、b]上单调增加。2）若在(a、b)内f’(x)0，则y=f(x)在[a、b]上单调减少。y=f(x)y=f(x)证明f'(x)0f'(x)0证明在(a、b)内任取两点x1,x2且x1x2.则在[x1、x2]上函数y=f(x)满足拉格朗日中值定理的条件。∴f(x2)-f(x1)=f’(ξ)(x2-x1)ξ∈(x1、x2)若f’(x)0,则f’(ξ)0又x2-x10∴f(x2)f(x1)∴y=f(x)在[a、b]上单调增加同理可证：若f'(x)0,则函数f(x)在[a、b]上单调减少注：1）上述定理中间区间[a、b]若改为(a、b)或无限区间结论同样成立。2）若f(x)在(a、b)内的个别点的导数为零，其余的点都有f'(x)0(或f'(x)0)，则f(x)在(a、b)内满足单调增加(单调减少).例题(A)例1.判定y=x3的单调性y'=3x2当x=0时y'=0当x≠0时y'0∴x∈(-∞,+∞)y单调增加0xy(A)例2.判断下列函数的单调性x1x)x(f)1(32x)x(f)2(下一页解：的单调区间。确定函数例31292)(.3)(23xxxxfB解：1）定义域为(-∞、+∞)2)f'(x)=6x2-18x+12=6(x-1)(x-2)3)列表：令f'(x)=0得x1=1x2=24）由表可知：函数的单调增区间为（-∞、1]∪[2、+∞）单调减区间为（1、2）。xy'y(-∞、1)+10（1、2）-+(2、+∞)20(B)练习2：确定函数y=2x3+3x2-12x+1的单调区间。下一页(C)例4：的单调区间求函数x1x)x(f2解：1）定义域为(-∞、-1)∪（-1、+∞).2)x1()2x(x)x('f2）020)('21xxxf、得令3)列表:(-∞、-2)+-20（-1、0）-00+(0、+∞)4）由表可知函数的单调增区间为(-∞、-2)∪(0、+∞)单调减区间为（-2、-1）∪（-1、0）。xy’y（-2、-1）-返回三.小结与作业1.拉格朗日中值定理及推论。2.函数单调性的判定方法与步骤。3.作业：教与学P40:(A)1.(1)(B)3.(3)(4)(C)3.(6)小结与作业返回拉格朗日中值定理函数单调性的判定法引入新课新课讲授小结与作业拉格朗日中值定理函数单调性的判定法拉格朗日中值定理几何直观b12xoy)(xfyABCDa教材分析教法分析教学目标教学过程评价反思一.教材分析（1）教材的地位和作用（2）重点难点（3）课时安排一.教材分析微积分学是人类思维的伟大成果之一，是人类经历了2500多年震撼人心的智力奋斗的结果，它开创了向近代数学过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法。微分中值定理是微分学理论的重要组成部分，在导数应用中起着桥梁作用，也是研究函数变化形态的纽带，在微分学中占有很重要的地位.拉格朗日中值定理，建立了函数值与导数值之间的定量联系，因而可用中值定理通过导数去研究函数的性态，如单调性、变化快慢和极值等性态，这是本章的关键内容。（一）教材的地位和作用一.教材分析（二）重点与难点教学重点：探求和理解拉格朗日中值定理。教学难点：探求拉格朗日中值定理的条件；运用定理研究函数单调性。一.教材分析拉格朗日中值定理和函数的单调性可安排两课时。本节作为第一课时，重在探求拉格朗日中值定理，理解拉格朗日中值定理的几何意义和定理的条件，体会该定理在研究函数性态应用中的作用。（三）课时安排二.教法分析（一）学情分析（二）教学方法（三）学法分析（四）具体措施二.教法分析（一）学情分析学生已经学习了导数的概念和导数的运算，对微分的定义及运算有了直观的认识和理解。通过体会导数的思想和实际背景，已经具备一定的微分思想，但是发现函数与其导数是两个不同的概念；而导数只是反映函数在一点的局部特征；而函数反映在其定义域上的整体性态，如何建立两者之间的联系呢？多数同学对此有相当的兴趣和积极性。学生在学习时可能会遇到以下困难，发现连接曲线两端点的直线段有时与曲线上某点的切线是平行的，但是又不知是否对所有曲线都满足?二.教法分析（二）教学方法1、多媒体辅助教学借助多媒体教学手段引导学生发现存在某点的切线与连接两端点的线段是平行的，使问题变得直观，易于突破难点；利用多媒体向学生展示这一过程，体会逼近的思想方法。2、探究发现法教学让学生通过动手操作课件，经历“实验、探索、论证、应用”的过程，体验从特殊到一般的认识规律，通过学生“动手、动脑、讨论、演练”增加学生的参与机会，增强参与意识，教给学生获取知识的途径，思考问题的方法，使学生真正成为教学主体。二.教法分析（三）学法分析自主、合作、探究借助多媒体技术创设丰富的教学情境，激发学生的学习动机，培养学习兴趣，充分调动学生的学习积极性，倡导学生采用自主、合作、探究的方式学习。引导学生动手操作课件，指导学生讨论交流从而发现规律，培养学生探究问题的习惯和意识以及勇于探索、勤于思考的精神，提高学生合作学习和数学交流的能力。二.教法分析（四）具体措施根据以上的分析，本节课采用教师引导与学生自主探究相结合，交流与练习相穿插的活动课形式，以学生为主体，教师创设和谐、愉快的环境及辅以适当的引导。同时，利用多媒体形象动态的演示功能提高教学的直观性和趣味性，以提高课堂效率。教学中注重数形结合，从形的角度对概念理解和运用。在这个过程中培养学生分析解决问题的能力，培养学生讨论交流的合作意识。三.教学目标通过实验探求拉格朗日中值定理条件，理解拉格朗日中值定理在研究函数性态中的作用，培养学生分析、抽象、概括等思维能力。掌握知识与技能三.教学目标体会过程与方法在寻找存在某直线与连接曲线两端点的线段平行的过程中，使学生通过认识用导数来研究函数形态，发现数学的美，数学知识的融会贯通；通过数形结合的思想的具体运用来探讨定理的条件，使学生思维达到严谨，了解科学的思维方法。三.教学目标培养情感态度与价值观在拉格朗日中值定理的探讨过程中，渗透逼近和数形结合的思想，使学生了解近似与精确间的辨证关系，激发学生勇于探索、勤于思考的精神；通过讨论、交流、合作、实验操作等活动激发学生学习数学的兴趣；培养学生合作学习和数学交流的能力。四.教学过程（一）教学流程图（二）教学过程与设计思路（一）教学流程图类似“卡通形象”的教学流程图以“模块”为基本单元，从新课引入到概念建构，从技能演练到小结作业。层层展开，逐层突破。情景引入复习引入几何意义具体应用概念建构作业演练教学程序及设计意图（一）创设情景引入新课提出问题：1、将连接曲线两端点的线段平行的移动是否发现有某点处的切线与其平行？提出问题，由学生发现函数与导数之间的联系，那么如何在两者之间架起桥梁呢？让学生感受到进一步探究学习的重要性。教学过程设计意图2、可从特殊来引导一般，假如曲线两端点的函数值相等，将会有什么结果？设问引起学生的好奇心，激发学生的求知欲，教学中让学生就此探究进行思考展开讨论。利用认知迁移规律，从学生的“最近发展区”出发，引导学生利用已有的知识尝试解决问题，在学生已有的认知结构基础上进行新概念的建构。教学过程设计意图（二）动