22.3实际问题与二次函数(第三课时)全解

第22章二次函数22.3实际问题与二次函数（第三课时）【学习目标】能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，正确建立坐标系，并运用二次函数的图象、性质解决实际问题．【学习重点】建立坐标系，利用二次函数的图象、性质解决实际问题．例图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m.水面下降1m，水面宽度增加多少？探究三【思路探究】（1）求宽度增加多少需要什么数据？（2）表示水面宽的线段的端点在哪条曲线上？（3）如何求这组数据？需要先求什么？（4）图中还知道什么？（5）怎样求抛物线对应的函数的解析式？解法一以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为轴，建立平面直角坐标系，如图所示.y∴可设这条抛物线所表示的二次函数的解析式为:2axy当拱桥离水面2m时,水面宽4m即抛物线过点(2,-2)22a25.0a∴这条抛物线所表示的二次函数为:2x5.0y当水面下降1m时,水面的纵坐标为y=-3,这时有:2x5.036xm62这时水面宽度为∴当水面下降1m时,水面宽度增加了m)462(lxyo解法二如图所示,以抛物线和水面的两个交点的连线为x轴，以抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系.当拱桥离水面2m时,水面宽4m即:抛物线过点(2,0)22a025.0a∴这条抛物线所表示的二次函数为:2x5.0y2当水面下降1m时,水面的纵坐标为y=-1,这时有:2x5.0126xm62这时水面宽度为∴当水面下降1m时,水面宽度增加了m)462(∴可设这条抛物线所表示的二次函数的解析式为:2axy2此时,抛物线的顶点为(0,2)lxyo解法三如图所示,以抛物线和水面的两个交点的连线为x轴，以其中的一个交点(如左边的点)为原点，建立平面直角坐标系.∴可设这条抛物线所表示的二次函数的解析式为:2)2x(ay2∵抛物线过点(0,0)2)2(a025.0a∴这条抛物线所表示的二次函数为:2)2x(5.0y2当水面下降1m时,水面的纵坐标为y=-1,这时有:2)2x(5.01262x,62x21m62xx12∴当水面下降1m时,水面宽度增加了m)462(此时,抛物线的顶点为(2,2)∴这时水面的宽度为:lxyo【巩固提高】1、有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为20m，拱顶距离水面4m．（1）如图所示的直角坐标系中，求出这条抛物线表示的函数的解析式；OACDByx20mh（2）设正常水位时桥下的水深为2m，为保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于18m．求水深超过多少m时就会影响过往船只在桥下顺利航行．解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2，此时A(-10,-4),B(10,-4),则有-4=100a,解得a=∴y=x2（2）设水面宽度CD=18m时，此时C(-9，n),D(9,n)这两点都在抛物线上，则有当x=9时，y=n,∴n=∴AB与CD间的距离为4-=则桥下水面的宽度为18m时，水深2+=即当桥下水面的宽度不小于18m，水深不大于m∴水深超过m时就会影响过往船只在桥下顺利航行．2、某工厂大门是一抛物线形的水泥建筑物,大门底部AB=4m,顶部C离地面的高度为4.4m,现有载满货物的汽车欲通过大门,货物顶部距地面2.7m,装货宽度为2.4m.这辆汽车能否顺利通过大门?若能,请你通过计算加以说明;若不能,请简要说明理由.解：如图，以AB所在的直线为x轴，以AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系.∵AB=4∴A(-2,0)B(2,0)∵OC=4.4∴C(0,4.4)设抛物线所表示的二次函数为4.4axy2∵抛物线过A(-2,0)04.4a41.1a∴抛物线所表示的二次函数为4.4x1.1y27.2816.24.42.11.1y2.1x2时，当∴汽车能顺利经过大门.3、如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千.拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为米xyo(1,2.5)(-0,5,1)y=2x2+0.50.54、小燕去参观一个蔬菜大棚，大棚的横截面为抛物线，有关数据如图所示。小燕身高1.40米，在她不弯腰的情况下，横向活动范围是多少？8米3.2米MN小燕去参观一个蔬菜大棚，大棚的横截面为抛物线，有关数据如图所示。小燕身高1.40米，在她不弯腰的情况下，横向活动范围是多少？8米3.2米xyoAB解：以水平方向为x轴，建立如图所示的直角坐标系设抛物线的解析式为y=a(x-0)(x-8)而B(4,3.2)∴a=-0.2∴抛物线的解析式为y=-0.2x2+1.6x当y=1.4时，x1=1,x2=7∴小燕横向活动范围为6m8米3.2米xyoABC小燕去参观一个蔬菜大棚，大棚的横截面为抛物线，有关数据如图所示。小燕身高1.40米，在她不弯腰的情况下，横向活动范围是多少？解：以水平方向为x轴，过顶点的铅直方向为y轴建立如图所示的直角坐标系设抛物线的解析式为y=ax2+3.2而A(-4,0)，B(4,0)∴a=-0.2∴抛物线的解析式为y=-0.2x2+3.2当y=1.4时，x=±3∴小燕横向活动范围为6m小燕去参观一个蔬菜大棚，大棚的横截面为抛物线，有关数据如图所示。小燕身高1.40米，在她不弯腰的情况下，横向活动范围是多少？8米3.2米xyoCAB解：以抛物线的顶点为坐标原点，水平方向为x轴，铅直方向为y轴建立如图所示的直角坐标系设抛物线的解析式为y=ax2而A(-4,-3.2)，B(4,-3.2)∴a=-0.2∴抛物线的解析式为y=-0.2x2当y=－1.8时，x=±3∴小燕横向活动范围为6m中考链接1、（2014绍兴）如图的一座拱桥，当水面宽AB为12m时，桥洞顶部离水面4m，已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是y=(x-6)2+4，则选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是．xyoy=(x+6)2+42、如图，某校的围墙由一段相同的凹曲拱组成，其拱状图形为抛物线的一部分，栅栏的跨径AB以相同间隔0.2米用5根立柱加固，拱高OC为0.36米，则立柱EF的长为()A.0.4米B.0.16米C.0.2米D.0.24米AOBCEFyox解：建立如图所示的坐标系，设抛物线的解析式为y=ax2-0.36而A(-0,6,0)∴a=1∴抛物线的解析式为y=x2-0.36当x=-0,4时，y=-0.2即立柱EF的长为0.2mC如图，我校九年级的一场篮球比赛中，队员甲正在投篮，已知球出手时离地面米，与篮圈中心的水平距离是7.3米，当球出手后水平距离为4米时，到最大高度为4米。设篮球运行的路线为抛物线，篮圈距地面3米。1.此球能否直接投中？2.如果出手力度，角度都不变（即抛物线形状不变），怎样才能让投中？解:(1)由题意得，抛物线的顶点为（4，4）球出手时的坐标为（0，）设抛物线的解析式为y=a(x-4)2+4而点A(0,),∴a=则抛物线的解析式为y=(x-4)2+4当x=7.3时，y=2.79≠3∴此球不可能投中(2)投篮时人向前走0.3m或出手高度增加0.21m.（2004•临沂）某校初三年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高m，与篮圈中心的水平距离为7m，当球出手后水平距离为4m时到达最大高度4m，设篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈距地面3m．（1）建立如图的平面直角坐标系，问此球能否准确投中；（2）此时，若对方队员乙在甲前面1m处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1m，那么他能否获得成功？解:(1)由题意得，抛物线的顶点为（4，4）球出手时的坐标为（0，）设抛物线的解析式为y=a(x-4)2+4而点A(0,),∴a=则抛物线的解析式为y=(x-4)2+4当x=7时，y=3∴此球一定能投中（2）当x=1时，y=3，而3.1＞3∴盖帽能获得成功如图，排球运动员甲站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行路线是抛物线的一部分．当球运动到最高点D时，其高度为2.6m，离甲站立地点O点的水平距离为6m．球网BC离O点的水平距离为9m，以O为坐标原点建立如图所示的坐标系，乙站立地点M的坐标为（m，0）．（1）求出抛物线的解析式；（不写出自变量的取值范围）（2）求排球落地点N离球网的水平距离；（3）乙原地起跳可接球的最大高度为2.4米，若乙因为接球高度不够而失球，求m的取值范围（解：（1）设所抛物线的解析式为y=a(x-6)2+2.6而点A坐标为（0,2）∴a=∴所求抛物线的解析式为y=(x-6)2+2.6（2）解方程(x-6)2+2.6=0，得x1=,x2=∵OC=9,∴CN=-9=（3）若运动员乙原地起跳到最大高度时刚好接到球此时（m-6）2+2.6=2.4，解得：m1=6+2，m2=6-2，∵运动员接球高度不够，∴6-2＜m＜6+2，∵OC=9，乙运动员接球时不能触网，∴m的取值范围为：9＜m＜6+2．如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足关系式y=a（x-6）2+h．已知球网与O点的水平距离为9m，高度为2.43m，球场的边界距O点的水平距离为18m．（1）当h=2.6时，求y与x的关系式（不要求写出自变量x的取值范围）（2）当h=2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由；（3）若球一定能越过球网，又不出边界，求h的取值范围．解:(1)把x=0,y=2,h=2.6代入到y=a(x-6)2+h得2=a(0-6)2+2.6∴a=∴y=(x-6)2+2.6(2)当h=2.6时，y=(x-6)2+2.6当x=9时，y=2.45＞2.43∴球能越过球网，当x=18时，y=0.2＞0∴球过界（3）当x=0,y=2代入到y=a(x-6)2+h得，a=当x=9时，y=(9-6)2+h=＞2.43①当x=18时，y=(18-6)2+h=8-3h≤0②由①②得h≥点评：本题是二次函数问题，利用函数图象上点的坐标确定函数解析式，然后根据函数性质来结合实际问题求解．如图，足球场上守门员在O处开出一高球，球从离地面1米的A处飞出（A在y轴上），运动员乙在距O点6米的B处发现球在自己头的正上方达到最高点M，距地面约4米高，球落地后又一次弹起．据实验测算，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．（1）求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式．（2）足球第一次落地点C距守门员多少米？(4=7)（3）运动员乙要抢到第二个落点D，他应再向前跑多少米？(2=5)解：（1）A(0，1),M(6，4)设足球第一次落地前的抛物线的表达式为y=a(x-6)2+4由已知：当x=0时y=l，即1=36a+4∴a=∴所求抛物线的解析式为y=(x-6)2+4（2）当y=0时，(x-6)2+4=0解得x1=≈13,x2=＜0∴足球的第一次落地点C距守门员约13米（3）第一次足球落地点到第二次足球落地点的距离为CD根据题意，CD=EF（即相当于将抛物线AEMFC向下平移了2个单位长度）设抛物线CND的解析式为y=(x-h)2+2而点C(13，0)在抛物线上∴(x-h)2+2=0解得h1=18,h2=8＜13(舍去)即抛物线的解析式是y=(x-18)2+2它交x轴于点C(13,0),D(23,0)即OD=23于是运动员乙要抢到第二个落点D，他应再向前跑23-6=17米某地茶场品牌绿茶，据历年来市场销售行情知道，从每年的3月25日起的180天内，绿茶市场销售单价y(元)与上市时间t(天)的关系可以近似地用如图①中的折线.其种植的成本单价z(元)与上市时间t(天)的关系如图②中的抛物线.（1）据图①，写出市场销售电价y(元)与上市时间t(天)(t＞0)的