复习课件-电动力学第二章-静电场

第二章静电场本章重点：本章难点：静电势及其特性、分离变量法、镜象法分离变量法（柱坐标）、电多极子静电场的基本特点：边值关系：0JPBE,,,0M0HB0,0BH0BH②等均与时间无关（，为唯一解）①③不考虑永久磁体（）④基本方程：介质分界面上的束缚电荷：电磁性质方程：②静电平衡时的导体：导体内外表面电荷分布在表面上，电场处处垂直于导体表面①均匀各向同性线性介质：§2.1静电势及其微分方程一、静电场的标势二、静电势的微分方程和边值关系三．静电场的能量本节主要内容a.静电势的引入1.静电场的电势及其微分方程静电场标势[简称电势]②取负号是为了与电磁学讨论一致满足迭加原理③E①的选择不唯一，相差一个常数，只要即可确定知道)(2121221121EEEEEb.电势的意义空间某点电势无物理意义，两点间电势差才有意义电势差为电场力将单位正电荷从P1移到P2点所作功的负值①电场力作正功，电势下降电场力作负功，电势上升②两点电势差与作功的路径无关●等势面：电势处处相等的曲面EnE与等势面垂直，即点电荷电场线与等势面+电偶极子的电场线与等势面均匀场电场线与等势面选取参考点的原则通常选无穷远为电势参考点（2）电荷分布在有限区域，P点电势为将单位正电荷从P移到∞电场力所做的功。（3）电荷分布在无限区域不能选无穷远点作参考点，否则积分将无穷大。电荷分布在有限区几种情况的电势①点电荷（2）电荷分布在有限区域，（1）使电势表达简单、有意义②电荷组Q产生的电势产生的电势③无限大均匀线性介质中点电荷点电荷在均匀介质中的空间电势分布（Q为自由电荷）④连续分布电荷c.电势满足的方程2适用于均匀介质泊松方程导出过程2E拉普拉斯方程适用于无自由电荷分布的均匀介质DEED,2．静电势的边值关系a.两介质分界面0PQ由于导体表面为等势面，因此在导体表面上电势为一常数。将介质情况下的边值关系用到介质与导体的分界面上，并考虑导体内部电场为零，则可以得到第二个边值关系。b.导体表面上的边值关系3．静电场的能量a.一般方程：能量密度b.若已知总能量为不是能量密度静电场总能量仅讨论均匀介质)()(DDDDDEdVDdVW)(2121导出过程：10SDdSrDdSr()SDdVDdSdVW21该公式只适合于静电场情况。能量不仅分布在电荷区，而且存在于整个场中。r121rD2rdS四、例题0E1.求均匀电场的电势解：均匀电场可看作由两无限大平行板组成的电容器产生的电场。因为电荷分布在无穷区域，可选空间任一点为参考点，为方便取坐标原点电势0xyzPR0000000)(PPPREldEldEldEP000000()(cos)PEREyERPrrzxyl2R-QQ()lR2.电偶极子产生的电势l2解：电偶极子：两个相距为的同量异号点电荷构成的系统偶极矩)11(4)(0rrQPP点电势：（无穷远为零点）cos2222RllRrcos)cos2211(/cos21lRRlRRlRrcoslRr同理2222cos2coscos211RllRlrrrrrr30302044cos24cos2)(RRpRQlRRQlPxy平面为等势面（Z=0的平面）。求近似值：若电偶极子放在均匀介质中（无限大介质）：注意：考虑了束缚电荷，就不能再考虑介质，而00pE用真空中的。这由决定。QQp)1(0PeQlelQPzzPp)1(220303030304)]1(1[444RRPRRPRRPRRPp均匀介质中点电荷产生的束缚电荷分布在自由点电荷附近，介质中电偶极子产生的势为自由偶极子与束缚偶极子产生的势的迭加，设为束缚电荷，pQ3．带电Q的导体球（半径为a）产生的电势。电荷分布在有限区，参考点选在无穷远。根据对称性，导体产生的场具有球对称性，电势也应具有球对称性。当考虑较远处场时，导体球可视为点电荷。)0(rBrA)(02ar满足aQP)0(03rrr0,rrAB0)(443020arrrQrrQE此题也可用高斯定理（积分形式）求解。2202004aaAdSaAdSrQar2rArn04QA)(40arrQ内表面)(40araQ==§2.2唯一性定理一、要具备什么条件才能求解静电问题二、所求的解是否唯一本节主要内容1、内容：（均匀单一介质）设区域内给定自由电荷分布，在V内的边界上给定：()x2、意义：（均匀单一介质）a.说明了唯一性确定电场的充分必要条件，指明了求解静电场的方向。b.提供了静电场边值问题每种解法的理论依据c.可以更精确的解释一些电磁学问题d.可以利用唯一性定理求解3、有导体存在时的唯一性定理：§2.3拉普拉斯方程的解——分离变量法一、分离变量法的适用条件四、应用实例（习题课）三、解题步骤二、拉普拉斯方程的解在坐标系中的形式1）空间，自由电荷只分布在某些介质（或导体）表面上，将这些表面视为区域边界，可用拉普拉斯方程。01、拉普拉斯方程的适用条件2）在所求区域的介质中若有自由电荷分布，则要求自由电荷分布在真空中产生的势为已知。一般所求区域为分区均匀介质，则不同介质分界面上有束缚面电荷。区域V中电势可表示为两部分的和，即，为已知自由电荷产生的电势，不满足，为束缚电荷产生的电势，满足拉普拉斯方程020200但注意，边值关系还要用而不能用SS(,)()()fxygxhy分离变量法：2、拉普拉斯方程在几种坐标系中解的形式02222222zyx1）直角坐标)()()(),,(zZyYxXzyx①令1122()()()sincoskxkxXxAeBekykyYyCeDeZzEkzFkz000222222ZdzZdYdyYdXdxXd0222212221,kkkkk令),(yx②若()()sincoskxkxXxAeBeYyCkyDky)(xzy,③若，与无关。BAxdxd022002222YdyYdXdxXd注意：在①、②两种情况中若考虑了某些边界条件，将与某些正整数有关，它们可取1，2，3，…，只有对它们取和后才得到通解。12,,kkk022,kk01)(1222222zrrrrr2）柱坐标),(r讨论)()(),(grfr，令0)()(10)()(22222rfrdrdfrdrdrgdgd12()sincosgaa)(rfrr有两个线性无关解、)2()0(n单值性要求，只能取整数，令1(,)(sincos)(sincos)nnnnnnnrrAnBnrCnDnrBACrrln0)(1rrrr若)(r，1(,,)()(cos)cosnmnmnmnnnmbRaRPmR1()(cos)sinnmnmnmnnnmdcRPmR3）球坐标)(cosmnP——缔合勒让德函数（连带勒让德函数）nnnnnnPRbRaR)(cos)(),(1若不依赖于，即具有轴对称性，通解为)1cos3(21)(cos22Pcos)(cos110PP)(cosnP-----为勒让德函数RbaR)(,若与均无关，具有球对称性，通解：3、解题步骤3）根据具体条件确定通解中的常数，得出特解1）选择坐标系和电势参考点坐标系选择主要根据区域中分界面形状，参考点主要根据电荷分布是有限还是无限；2）分析问题（对称性、分区），写出拉普拉斯方程在所选坐标系中的通解；a.外边界条件：电荷分布有限0注意：边界条件和边值关系是相对的。导体边界可视为外边界，给定（接地），或给定总电荷Q，或给定。S0SzeEE0zErE00cos电荷分布无限，电势参考点一般选在有限区。如（直角坐标或柱坐标），电势可选在坐标原点。均匀场中，b.内部边值关系：介质分界面上SSSSnn221121一般讨论分界面无自由电荷的情况4、应用举例1）两无限大平行导体板，相距为，两板间电势差为V(与无关)，一板接地，求两板间的电势和。lzyx,,ExyOVZl解：（1）边界为平面，故应选直角坐标系下板01S，设为参考点lzVyx,（2）定性分析：因在（常数），可考虑与无关。(4)定常数：00)0(BzlVAVAlVlz)((5)电场为均匀场lVEelVedzdEzz常数)0(lzzlV电势：(3)列出方程并给出解：BAz方程的解：)0(lz02220ddz2）半径a，带有均匀电荷分布的无限长圆柱导体，求导体柱外空间的电势和电场。解：电荷分布在无限远，电势零点可选在有限区，为简单可选在导体面r=a处，即选柱坐标系。)0)((ar对称性分析：①导体为圆柱，柱上电荷均匀分布，一定与无关。②柱外无电荷，电场线从面上发出后，不会终止到面上，只能终止到无穷远，且在导体面上电场只沿方向，可认为re)(r与z无关，xyzorθCdrdrdrdrdrdr0)(102ararln)(0arCrCaCrlnlnln)(DrCrln)(0)(aaCDln当r=a时，0rredaEedrr0aCdrrCdaCarCadndarar0001在导体面上reaE0)(3）一半径为a，介电常数为的无限长电介质圆柱，柱轴沿方向，方向上有一外加均匀电场，求空间电势分布和柱面上的束缚电荷分布。ze0Exe解：(1)边界为柱面,选柱坐标系。均匀场电势在无穷远处不为零，故参考点选在有限区域，例如可选在坐标原点0r常数（或0）(1)(1)(1)(1)11[(sincos)(sincos)]nnnnnnnrAnBnrCnDnyzxO0E(2)考虑对称性电势与z无关，设柱内电势为，柱外为它们分别满足,。通解为：12210(0)ra220()ra(2)(2)(2)(2)21[(sincos)(sincos)]nnnnnnnrAnBnrCnDnar(3)确定常数①因为有外加均匀场，它们对x轴对称，可考虑、也相对x轴对称（为偶函数），所以中不应包含项，故：12)(12、nsin(1)(2)(1)(2),,,nnnnAACC均为零。10r②常数（或零），有限，故1nr0)1(nD中不应有项。2（均匀场电势），中不含项(2)(2)100nBEB），得nr1n（因此cos02rEr