13.3.2等边三角形(第二课时)

第十三章轴对称13.3.2等边三角形（第二课时）名称图形性质等边三角形等边三角形的性质:ABC三个角都相等，且都为60°三线合一三条边都相等轴对称图形，有三条对称轴导入新课名称图形判定等边三角形等边三角形的判定:ABC三个角都等于60°的三角形三条边都相等的三角形有一个角等于60°的等腰三角形如图，已知△ABC是等边三角形，AD是它的高，请完成下面的推理.证明：∵△ABC是等边三角形（已知）∴AB＝AC＝BC（等边三角形定义）又∵AD是△ABC的高（已知）∴∠BAD＝°（），BD＝BC（）∴BD＝AB（）DABC30三线合一三线合一等量代换将两个含有30°角的三角尺如图摆放在一起，你能借助这个图形,找到Rt△ABC的直角边BC与斜边AB之间的数量关系吗?你会用学过的方法证明吗?BC=AB新课讲解证明：延长BC到点D,使CD=BC连接AD∴AB=AD∵∠ACB=90°BC=AB∴BC=ABABCD30°在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.∴AC⊥BD∵∠BAC=30°∴∠BAD=60°已知:Rt△ABC中,∠ACB=900,∠BAC=300.求证：∴△ABD是等边三角形∴BD=AB∵BC=CD=BD在直角三角形中,如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。这是一个判定两条线段成倍半关系的根据之一.ACB直角三角形的性质：几何语言在Rt△ABC中∵∠A=30°，∠C=90°∴BC=AC（或AC=2BC）30°ACB【问题】在直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°.∴∠B=180°-90°-60°=30°．已知：在△ACB中，∠ACB=90°，AC=AB，求证：∠B=30°∵∠ACB=90°∴AC=AD=CD∴△ACD是等边三角形.D∴CD=AB∵AC=AB∴∠A=60°证明：取AB中点D，连接CD，则AD=ABABC知识巩固1.如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，且斜边BC＝4.（1）求AC的长度；（2）求AB的取值范围.ABC1.如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，且斜边BC＝4.（1）求AC的长度；【解析】解：在Rt△ABC中∵∠A=90°，∠B=30°∵BC=4∴AC=BC∴AC=×4=2解：∵BC－AC＜AB＜BC＋AC又∵BC＝4，AC＝2∴4－2＜AB＜4＋2即2＜AB＜6ABC1.如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，且斜边BC＝4.（2）求AB的取值范围.2.若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则这个三角形的底角等于（）A.75°或15°B.30°或150°C.75°D.30°【解析】分两种情况ABCDABCD第一种情况第二种情况例5：如图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB＝7.4m，∠A＝30°，立柱BC、DE要多长？ABCDE例题讲解例5：如图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB＝7.4m，∠A＝30°，立柱BC、DE要多长？ABCDE解：∵BC⊥AC,DE⊥AC∴∠ACB=∠AED=90°∵∠A=30°∴BC=AB,DE=AD∵D是AB的中点∴AD=BD∴DE=AB∵AB=7.4∴BC=×7.4=3.7BE=×7.4=1.851.已知△ABC中，∠A=∠B=60°，AB=3cm，则△ABC的周长为______cm.92.如图，P、Q是△ABC的边BC上的两点，且BP=PQ=QC=AP=AQ，则∠ABC的大小等于.30°知识巩固ＤＣＢＡＥＤＡＣＢ3.如图，在△ABC中,∠C=90°,∠B=15°，DE是AB的中垂线，BE=5,则AE=______,AC=_____.4.如图：已知在△ABC中，∠A=30°，∠C=90°，BD平分∠ABC.求证：AD=2DCACBDE3.要把一块三角形的土地均匀分给甲、乙、丙三家农户去种植,如果∠C＝90°，∠B＝30°,要使这三家农户所得土地的大小和形状都相同,请你试着分一分,在图上画出来.4.如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AD平分∠CAB，延长AC至E，使CE=AC．（1）求证：DE=DB；（2）连接BE，试判断△ABE的形状，并说明理由．【分析】（1）由直角三角形的性质和角平分线得出∠DAB=∠ABC，得出DA=DB，再由线段垂直平分线的性质得出DE=DA，即可得出结论；（2）由线段垂直平分线的性质得出BA=BE，再由∠CAB=60°，即可得出△ABE是等边三角形ABCDE【解析】（1）证明：∵∠ACB=90°，∠ABC=30°∴BC⊥AE，∠BAC=60°∵AD平分∠ACB∴∠DAB=∠BAC=30°=∠ABC∴DA=DB∴CE=AC∴BC是线段AE的垂直平分线∴DA=DE∴DE=DBABCDE∴△ABE是等边三角形．ABCDE（2）解：△ABE是等边三角形；理由如下:连接BE，如图：∵BC是线段AE的垂直平分线，∴BA=BE，即△ABE是等腰三角形，又∵∠CAB=60°，5.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，EF垂直平分AC且交BC于F.求证：BF＝2CF.提示：连接AFABCEF1.如图，已知△ABC是等边三角形，D是AC的中点，EC⊥BC，且EC=BD。求证：△ADE是等边三角形ABCED提升与拓展2.如图，△ABC中，D、E是BC边上的三等分点，△AED是等边三角形，则∠BAC为（）度？DEBCACBADE120803.在△ABC中，AB=AC，以AB、AC为边在△ABC的外侧作两个等边三角形△ABE和△ACD，且∠EDC=40°，则∠ABC＝（）度？4.在等边△ABC所在的平面上找一点P，使△PAB、△PBC、△PAC都是等腰三角形，你能找到这样的点P吗？能找到多少个？这些点的位置有什么特点？ABCABC.P1.P2.P3.P4.P6.P5.P7.P9.P8.P105.如图，已知△ABC是等边三角形，P是BC上一点，问在CA和AB上是否存在点Q和R，使△PQR为等边三角形？若存在，求出点Q和R，并加以证明；若不存在.请说明理由.APBC●●Q●R1.等边三角形的性质2.等边三角形的判定定理课堂小结3.直角三角形的一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半4.在直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°.