勾股定理全章知识点总结大全A

1571948314993第1页共23页勾股定理全章知识点总结大全一．基础知识点：1：勾股定理:直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。（即：a2+b2＝c2）要点诠释：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：（1）已知直角三角形的两边求第三边（在ABC中，90C，则22cab，22bca，22acb）（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题2：勾股定理的逆定理如果三角形的三边长：a、b、c，则有关系a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。要点诠释：勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意：（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c；（2）验证c2与a2+b2是否具有相等关系，若c2＝a2+b2，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形（若c2a2+b2，则△ABC是以∠C为钝角的钝角三角形；若c2a2+b2，则△ABC为锐角三角形）。（定理中a，b，c及222abc只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a，b，c满足222acb，那么以a，b，c为三边的三角形是直角三角形，但是b为斜边）3：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。4：互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。5：勾股定理的证明1571948314993第2页共23页勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：4EFGHSSS正方形正方形ABCD，2214()2abbac，化简可证．方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422Sabcabc大正方形面积为222()2Sabaabb所以222abc方法三：1()()2Sabab梯形，2112S222ADEABESSabc梯形，化简得证6：勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222abc中，a，b，c为正整数时，称a，b，c为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等③用含字母的代数式表示n组勾股数：221,2,1nnn（2,nn为正整数）；2221,22,221nnnnn（n为正整数）2222,2,mnmnmn（,mnm，n为正整数）二、规律方法指导1．勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。2．勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系，可以用于解决求解直角三角形边边关系的题目。3．勾股定理在应用时一定要注意弄清谁是斜边谁直角边，这是这个知识在应用过程中易犯的主要错误。4.勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边长a，b，c有下列关系：a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形；该逆定理给出判定一个三角形是否是直角三角形的判定方法．cbaHGFEDCBAabccbaEDCBAbacbaccabcab1571948314993第3页共23页CABD5.应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的过程主要是进行代数运算，通过学习加深对“数形结合”的理解．我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。（例：勾股定理与勾股定理逆定理）勾股定理典型例题及专项训练专题一：直接考查勾股定理及逆定理例１.在ABC中，90C．⑴已知6AC，8BC．求AB的长⑵已知17AB，15AC，求BC的长分析：练习：1、如图所示，在四边形ABCD中，BAD=90，DBC=90，AD=3，AB=4，BC=12，求CD。2．已知等腰三角形腰长是10，底边长是16，求这个等腰三角形的面积。3、已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。求：四边形ABCD的面积。例2：已知直角三角形的两边长分别为5和12，求第三边。1571948314993第4页共23页DABC练习：在ABC中，AB=13，AC=15，高AD=12，则BC的长为多少？例3：（1）.已知ABC的三边a、b、c满足0)()(22cbba，则ABC为三角形（2）.在ABC中，若2a=（b+c）（b-c），则ABC是三角形，且90练习：1、已知2512yxx与25102zz互为相反数，试判断以x、y、z为三边的三角形的形状。2、.若ABC的三边a、b、c满足条件2acbacb26241033822，试判断ABC的形状。3.已知,0)10(8262cba则以a、b、c为边的三角形是例4：已知如图，在△ABC中，∠C=60°，AB=34，AC=4，AD是BC边上的高，求BC的长。如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，设AB=c，AC=b，BC=a，CD=h。求证：（1）222111hba（2）hcba（3）以hchba，，为三边的三角形是直角三角形ACBD1571948314993第5页共23页练习1.如图，△ABC中，AB=AC，∠A=45º，AC的垂直平分线分别交AB、AC于D、E，若CD=1，则BD等于()A．1B．C．D．2.已知一直角三角形的斜边长是2，周长是2+6，求这个三角形的面积．3.△ABC中，D是AB的中点，若AC=12，BC=5，CD=6．5．求证：△ABC是直角三角形．4.如图，在正方形ABCD中，F为DC的中点，E为BC上一点，且EC=14BC，猜想AF与EF的位置关系，并说明理由．5.如图RtABC，90C3,4ACBC,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积1571948314993第6页共23页DCBAECBABAC6.如图2-10，△ABC中，AB=AC=20，BC=32，D是BC上一点，且AD⊥AC，求BD的长．7.如图2-9，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是△ABC内一点，满足PA=3，PB=1，PC=2，求∠BPC的度数．8.已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=3,BC=4,（1）AD平分∠BAC,交BC于D点。求CD长（2）BE平分∠ABC,交AC于E，求CE长1571948314993第7页共23页CABDBPACGEDABC9.如图，在四边形ABCD中，∠A＝600，∠B＝∠D＝900，BC＝2，CD＝3，求AB的长10.如图，P为△ABC边BC上一点，PC＝2PB，已知∠ABC＝450，∠APC＝600，求∠ACB的度数。11、已知△ABC中，∠BAC＝750，∠C＝600，BC＝33，求AB、AC的长。12、如图，△ABC中，AD是高，CE是中线，DC＝BE，DG⊥CE于G。（1）求证：G是CE的中点；（2）∠B＝2∠BCE。（3）若AC=6,AB=8，求DG的长。1571948314993第8页共23页专题二勾股定理的证明1、利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示的图形，这个图形被称为弦图．从图中可以看到：大正方形面积＝小正方形面积＋四个直角三角形面积．因而c2＝＋．化简后即为c2＝．2、如图，是2002年8月北京第24届国际数学家大会会标，由4个全等的直角三角形拼合而成，若图中大小正方形的面积分别为52和4，则直角三角形的两条直角边的长分别为．3、2002年8月20～28日在北京召开了第24届国际数学家大会．大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形拼成的（直角边长分别为2和3），则大正方形的面积是．4、如图，直线l上有三个正方形abc，，，若ac，的面积分别为5和11，则b的面积为（）（Ａ）4（Ｂ）6（Ｃ）16（Ｄ）555、一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了勾股定理的一种新的证明方法.如图，火柴盒的一个侧面ABCD倒下到ABCD的位置，连结CC，设,,ABaBCbACc，请利用四边形BCCD的面积证明勾股定理：222abc.aDABADCAABCbc第4题图abcabcl1571948314993第9页共23页ABCCBAABC6、如图是2002年8月在北京召开的第24届国际数学家大会会标中的图案，其中四边形ABCD和EF都是正方形.证：△ABF≌△DAE7、（2010年辽宁省丹东市）图①是一个边长为()mn的正方形，小颖将图①中的阴影部分拼成图②的形状，由图①和图②能验证的式子是（）A．22()()4mnmnmnB．222()()2mnmnmnC．222()2mnmnmnD．22()()mnmnmn专题三网格中的勾股定理1、如图1，在单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（）（A）CD、EF、GH（B）AB、EF、GH（C）AB、CD、GH（D）AB、CD、EF2、如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC中，边长为无理数的边数是（）A．0B．1C．2D．33、（2010年四川省眉山市）如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为（）ABCDEFGH←→→←mnmnmn图①图②第7题图1571948314993第10页共23页A．90°B．60°C．45°D．30°4、如图，小正方形边长为1，连接小正方形的三个得到，可得△ABC，则边AC上的高为（）A.223B.5103C.553D.5545、如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点称为格点，请以图中的格点为顶点画一个边长为3、、的三角形．所画的三角形是直角三角形吗?说明理由．6、如图，每个小正方形的边长是1，在图中画出面积为2的三个形状不同的三角形（要求顶点在交点处，其中至少有一个钝角三角形）专题四实际应用建模测长1、如图（8），水池中离岸边D点1.5米的C处，直立长着一根芦苇，出水部分BC的长是0.5米，把芦苇拉到岸边，它的顶端B恰好落到D点，并求水池的深度AC.1571948314993第11页共23页2、有一个传感器控制的灯，安装在门上方，离地高4.5米的墙上，任何东西只要移至5米以内，灯就自动打开，一个身高1.5米的学生，要走到离门多远的地方灯刚好打开？3、台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，如图，据气象观测，距沿海某城市A的正南方向220千米B处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正以15千米/时的速度沿北偏东30º方向往C移动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到或走过四级，则称为受台风影响.（1）该城市是否会受到这交台风的影响？请说明理由.（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市持续时间有多少？（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？1571948314993第12页共23页ACB专题五梯子问题1、如果梯子的底端离建筑物9米，那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米？2、一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，（1）这个梯子的顶端距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？3、如图，梯子AB斜靠在墙面上，AC⊥BC，AC=B