切割线定理

切割线定理四川省阆中东风中学校宋兴军已知：线段a，b．求作：线段c，使c2＝ab．反思：这个作图题是作两已知线段的比例中项的问题，可以当作基本作图加以应用．请同学们想一想，这到题还有别的作法吗？ABCDabcAabcODCB相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．PA·PB=PD·PC推论:如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项．ABPCD•OABCDPOPC2=PA·PB•练习:⊙o的弦CD平分AB于P,且AB=12cm,CD=13cm•试求:PC和PD的长.ABPCD•O•PABDC•TA•ABPCDCDPA·PB=PD·PC(C,D)PT2=PA·PBPA•PB=PC•PD吗?吗?BP切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。即PT2=PA·PB已知：如下图，点P是⊙o外一点，PT是切线，T是切点，PA是割线,点A和B是它与⊙o的交点。求证：PT2=PA·PBTPAB1证明:∠1=∠B∠P=∠P△PTA∽△PBTPA:PT=PT:PBPT2=PA·PB连结TA，TB问题：如下图，点P是⊙o外一点，过P点向圆作两条直线与圆相交得四条线段PA与PB及PC与PD它们有等积关系PA•PB=PC•PD吗?从圆外一点引圆的两条割线，从这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等.即PA·PB=PC·PD切割线定理推论T=PT2练习一:如下图,圆o的两条弦AB和CD相交于点E,AC和DB的延长线交于P,下列结论成立的是().(A)PC•CA=PB•BD(B)CE•AE=BE•ED(C)CE•CD=BE•BA(D)PB•PD=PC•PAPT2=PA·PBPC·PD=PA·PBPA·PB=PD·PCD练习二：•1.过圆O外一点P,作两条割线PAB和PCD,已知PA=1,PB=3,PC=0.6。则CD=?•2。已知PT切圆O于T，PAB为圆O的割线，PA:AB=1:3,PT=2,则PB=？CD=4.4PB=4例3已知:如图,⊙O的割线PAB交⊙O于点A和B，PA=6cm，AB=8cm，PO=10.9cm，求⊙O的半径。ＤＣ·ＰＢＡＯ６８１０．９解:设⊙O的半径为r,PO和它的延长线交⊙O于C、D，由切割线定理的推论，有：PA·PB=PD·PCPA=6PB=6+8=14PC=10.9-rPD=10.9+r故(10.9-r)(10.9+r)=6×14取正数解,得r=5.9(cm)答:⊙O的半径为5.9cm另解•利用垂径定理·ＰＢＡＯ６８１０．９法三:•利用切割线定理·ＰＢＡＯ６８１０．９T练习三：如图，圆o1和圆o2都经过点A和B，点P在BA的延长线上。过点P作圆O1的割线PMN交圆O1于M.N，作圆O2的切线PC交圆O2于C。求证：PM·PN=PC2。PNBACM•o1•o2证明:PC切圆O2于CPAB是圆O2的割线PC2=PA·PBPAB是圆O1的割线PMN是圆O1的割线PA·PB=PM·PNPM·PN=PC2PBA•o1•o2练习四：如图，圆o1和圆o2都经过点A和B，点P在BA的延长线上。过点P作圆O1的切线PC切圆O1于C，作圆O2的切线PD切圆O2于D。求证：PC=PD。CDPBA•o1•CD练习五：如图，圆o1，圆o2，圆o3…都经过点A和B，点P是BA的延长线上一点。PC，PD，PE…分别与圆o1，圆o2，圆o3…相切于C，D，E…，求证：C，D，E…在同一个圆上。提示：PC=PD=PE…E•o3o2练习六P1142.•解：Rt△ABC中，AC⊥BCAC为圆O的直径BC切圆O于CBDA为圆O的割线BC2=BD•BARt△ABC中AC=3;BC=4.AB=5BC=4BD=3.2(cm)ACBD•O提示：法一：BC是为圆O的切线法二：连接CD,射影定理。提高题：如图，PA切圆O于A，PBC是圆O的割线，D是PA的中点，DC交圆O于E。求证：1）PD2=DE•DC；2）∠1=∠C。PAEBCO•1FG分析：思考题:若延长PE交圆O于F,BF交CD于G求证:PC•BG=PD•BCDP1.PD=DA且DA2=DE•DC2.PD:DE=DC:PD∠PDE=∠CDP则:△PDE∽△CDP从而:∠1=∠C交端×交端=交端×交端PA·PB=PD·PCPT2=PA·PBPC·PD=PA·PB相交弦定理切割线定理切割推线定论理2PAABPCCDPTPAABDTPABOCrdPT2=PA·PB=PC·PD=22dr再见