复数

复数及其运算相量法是线性电路正弦稳态分析的一种简便有效的方法。应用相量法，需要用到复数的运算。1.复数的表示形式1)代数形式)1(jjbaF在数学中虚单位常用i表示，如F=a+bi，但由于在电路中已用i表示电流，故虚单位改用j表示。aF]Re[实部]Im[bF虚部复数可用复平面上的向量表示：如图所示，其长度称为模∣F∣，与横轴的夹角称为幅角θ，在实轴上的投影为a，在虚轴上的投影为b，Fabo+j+1θ||FFabo+j+1θ||F2)三角形式)sin(cos||jFF则为复数的幅角为复数的模，。，arg||FFjbaF22arctan()Fabb/a||cos||sinaFbF且3)指数形式)(sincos欧拉公式jejjeFF||4)极坐标形式||FF222111则，，设jbaFjbaF)()()()(2121221121bbjaajbajbaFF平行四边形法则：F1o+j+1F2F1+F2F1o+j+1F2F1－F22.复数的运算1)加减运算复数的加减运算采用代数形式较为简便，其实部与实部相加（减），虚部与虚部相加（减）；或在复平面中使用平行四边形法则。图两个复数相加、相减的几何意义)()())((12212121221121babajbbaajbajbaFF2)乘法运算a)代数形式)(2121212121||||||||jjjeFFeFeFFFb)指数形式||||||2121FFFF212121)arg()arg()arg(FFFF即复数乘积的模等于各复数模的积；其辐角等于各复数辐角的和。)(||||||||2121221121FFFFFFc)极坐标形式可见复数的乘法运算使用指数形式或极坐标形式较为简便。22222112212122222211221121)()())(())((bababajbbaajbajbajbajbajbajbaFF3)除法运算a)代数形式)(2121212121||||||||jjjeFFeFeFFFb)指数形式212121)arg()arg()arg(FFFFc)极坐标形式)(||||||||2121221121FFFFFF||||2121FFFF可见复数的除法运算使用指数形式或极坐标形式较为简便。两复数相除，模相除，幅角相减。两个复数相乘或相除，在复平面可以按下述方式表示，复数A乘以（或除以）复数B，等于把复数A的模乘以（或除以）复数B的模，然后再把复数A逆时针（或顺时针）旋转一个角度φb。(a)(b)图两个复数相乘、相除的几何意义4)相等运算在复数运算中常有两个复数相等的运算。两个复数相等必须满足两个条件：复数的实部、虚部分别对应相等；或者复数的模和辐角分别对应相等。即若21FF]Im[]Im[]Re[]Re[2121FFFF，则必须有)arg()arg(||||2121FFFF，或必须有3.旋转因子根据欧拉公式可得ejπ/2=j，e-jπ/2=-j，ejπ=-1。因此“±j”和“－1”都可以看成旋转因子。若一个复数乘以j，等于在复平面上把该复数逆时针旋转π/2。若一个复数除以j，等于把该复数乘以－j，则等于在复平面上把该复数顺时针旋转π/2。复数的乘、除运算表示为模的放大或缩小，辐角表示为逆时针旋转或顺时针旋转。复数ejθ=1∠θ是一个模等于1，辐角为θ的复数。任意复数F1=∣F1∣ejθ1乘以ejθ等于把复数F1逆时针旋转一个角度θ，而F1的模值不变，所以ejθ称为旋转因子。虚单位j的数学意义和物理意义o+1+jjj2–1–jj3j41同理3jj41j及由此，可认为虚单位j是复平面上角度为90°的旋转因子。乘上+j后向前（逆时针）旋转90°；乘上-j是向后（顺时针）旋转90°。09000cos90sin900jejjj090jje000290901801jjjjjjeee即1j例：设两个复数和，计算，和3j4A4j3BBAABBA解加、减计算用代数形式，即(4j3)(3j4)7jAB乘、除运算时，可以先将A和B化为极坐标形式，即5A5B55AB=2555AB=1