新课预习讲义选修2-1第二章双曲线(2)双曲线的几何性质(1)(教师版)doc

1新课预习讲义选修2－1：第二章§2.3双曲线（二）§2.3.2双曲线的简单几何性质（1）●学习目标1.掌握双曲线的简单几何性质．2.了解双曲线的渐近性及渐近线的概念.●学习重点：1.本节的重点是双曲线的几何性质的理解和应用.2.双曲线的几何性质是考查的重点，其中离心率、渐近线是考查的热点．●学习难点1.是渐近线的理解和应用．2.双曲线的几何性质经常与方程、三角、平面向量、不等式等内容结合出题，考查学生分析问题的能力一、自学导航●知识回顾：复习1：双曲线的定义及其标准方程复习2：前面我们学习了椭圆的哪些几何性质？●预习教材：第56页——第63页的内容。●自主梳理：1、双曲线的几何性质：（1）范围；（2）对称性；（3）顶点（长轴、短轴、焦距）；（4）离心率；2.双曲线的渐近线●预习检测：1．下列双曲线中离心率为62的是()A.x22－y24＝1B.x24－y22＝1C.x24－y26＝1D.x24－y210＝1解析：∵e＝ca，c2＝a2＋b2，∴e2＝c2a2＝a2＋b2a2＝1＋b2a2＝622＝32，∴b2a2＝12，观察各曲线方程得B项系数符合，故选B.答案：B2．双曲线x24－y212＝1的焦点到渐近线的距离为()A．23B．2C.3D．1解析：双曲线x24－y212＝1的一条渐近线为y＝3x，从而c＝4＋12＝4，则其中一个焦点的坐标为(4,0)，由点到直线的距离公式可得焦点到渐近线的距离为431＋32＝23，故选A.3．双曲线122ymx的虚轴长是实轴长的2倍，则m的值为________．2解析：由双曲线方程mx2＋y2＝1，知m0，则双曲线方程可化为y2－x2－1m＝1，则a2＝1，a＝1，又虚轴长是实轴长的2倍，∴b＝2，∴－1m＝b2＝4，∴m＝－14.4．求满足下列条件的双曲线的标准方程：(1)焦点是(－4,0)，(4,0)，过点(2,0)；(2)离心率为54，半虚轴长为2.答案：(1)x24－y212＝1(2)x2649－y24＝1和y2649－x24＝1.●问题与困惑：二、互动探究●问题探究：探究1：由椭圆的几何性质出发，类比探究双曲线22221xyab的几何性质?范围：x：y：对称性：双曲线关于轴、轴及都对称．顶点：（），（）．实轴，其长为；虚轴，其长为．离心率：1cea．探究2：双曲线22221yxab的几何性质?图形：范围：x：y：对称性：双曲线关于轴、轴及都对称．顶点：（），（）实轴，其长为；虚轴，其长为．离心率：1cea．探究3：双曲线的渐近线：（1）双曲线的渐近线是怎样得到的？（2）由此，焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程是_____________________焦点在y轴上的双曲线的渐近线方程是_____________________（3）实轴与虚轴等长的双曲线叫双曲线．它的渐近线方程是_____________3●基础知识归纳：双曲线的几何性质标准方程)0,0(12222babyax)0,0(12222babxay图形性质范围ax或axay或ay对称性关于x轴，y轴对称，关于原点中心对称顶点(±a,0)(0，±a)轴长实轴长＝2a，虚轴长＝2b焦点(±c,0)(0，±c)焦距2c离心率)1(eace渐近线xabyxbay●典例导析：题型一、由双曲线的标准方程求几何性质例1－1、(2012年高考浙江卷理科8)如图，F1，F2分别是双曲线C：22221xyab(a，b＞0)的左右焦点，B是虚轴的端点，直线F1B与C的两条渐近线分别交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M．若|MF2|＝|F1F2|，则C的离心率是A．233B．62C．2D．3[思路点拨]1、作出图示，可写出BF1的直线方程；2、再由BF1的直线方程与两渐近线方程联解得出P、Q的坐标；3、再求出PQ的中点N的坐标，并写出中垂线方程4、令0y得M的坐标，并由|MF2|＝|F1F2|建立a、c之间的关系式5、求出离心率【解析】如图：|OB|＝b，|OF1|＝c．∴kPQ＝bc，kMN＝bc．直线PQ为：y＝bc(x＋c)，两条渐近线为：y＝bax．由()byxccbyxa＝＋＝，得：Q(acca，bcca)；4由()byxccbyxa＝＋＝-，得：P(acca，bcca)．PQ的中点N（222acca，222acbc）∴直线MN为：)(222222accaxbcacbcy令y＝0得：xM＝322cca．又∵|MF2|＝|F1F2|＝2c，∴3c＝xM＝322cca，解之得：2232acea，即e＝62．【答案】B[题后感悟]1.已知双曲线的标准方程确定其性质时，一定要弄清方程中的a，b所对应的值，再利用c2＝a2＋b2得到c，从而确定e.若方程不是标准形式的先化成标准方程，再确定a、b、c的值．2.若涉及直线交点问题时常需要解方程组.变式训练：1－1(2011年高考全国卷理科15)已知F1、F2分别为双曲线C:29x-227y=1的左、右焦点，点A∈C，点M的坐标为(2，0)，AM为∠F1AF2∠的平分线．则|AF2|=.【答案】6【解析】：12(6,0),(6,0)FF，由角平分线的性质得1122824AFFMAFMF又12236AFAF26AF例1－2、求双曲线16x2－9y2＝－144的实轴长、虚轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程．[思路点拨]由题目可获取以下主要信息：①双曲线方程不是标准方程；②双曲线方程焦点在y轴上．解答本题可先把方程化成标准方程，确定a，b，c，再求其几何性质．[解题过程]把方程16x2－9y2＝－144化为标准方程y242－x232＝1，由此可知，实轴长2a＝8，虚轴长2b＝6，c＝a2＋b2＝5.焦点坐标为(0，－5)，(0,5)；离心率e＝ca＝54；顶点坐标为(0，－4)，(0,4)；渐近线方程为y＝±43x.[题后感悟]1.已知双曲线的标准方程确定其性质时，一定要弄清方程中的a，b所对应的值，再利用c2＝a2＋b2得到c，从而确定e.若方程不是标准形式的先化成标准方程，再确定a、b、c的值．2.已知双曲线的标准方程，求其渐近线方程，只需将等式右边的常数1改成0即可（不管焦点在什么位置）变式训练：51－2.求双曲线nx2－my2＝mn(m0，n0)的半实轴长，半虚轴长，焦点坐标，离心率，顶点坐标和渐近线方程．解析：把方程nx2－my2＝mn(m0，n0)化为标准方程x2m－y2n＝1(m0，n0)，由此可知，半实轴长a＝m，半虚轴长b＝n，c＝m＋n，焦点坐标(m＋n，0)(－m＋n，0)，离心率e＝ca＝m＋nm＝1＋nm.顶点坐标为(－m，0)，(m，0)．∴渐近线的方程为y＝±nmx＝±mnmx.题型二、由双曲线的几何性质求其标准方程例2、已知双曲线中心在原点，对称轴为坐标轴，且过点P(3，－1)，一条渐近线与直线3x－y＝10平行，求双曲线标准方程．[思路点拨]1.由渐近线与3x－y＝10平行，可确定渐近线方程，得a与b的比例关系2.由双曲线过已知点可得另一定量关系3.因为无定位条件，可分两类设出双曲线的标准方程.[解题过程]由已知，双曲线中心在原点，坐标轴为对称轴，由于其中一条渐近线与直线l：3x－y＝10平行，所以，双曲线的一条渐近线方程为3x－y＝0，即y＝3x.方法一：(1)若双曲线的焦点在x轴上，则由渐近线方程y＝3x，ba＝3，∴b＝3a.故可设双曲线方程x2a2－y23a2＝1，又双曲线过点P(3，－1)，∴9a2－19a2＝1，解得a2＝809，∴b2＝80.∴所求双曲线方程为x2809－y280＝1.(2)若双曲线焦点在y轴上，由渐近线方程y＝3x得ab＝3，∴a＝3b.可设双曲线标准方程y23b2－x2b2＝1.∵点P(3，－1)在双曲线上，∴－129b2－32b2＝1，解得9b2＝－80，不合题意．综上所述，所求双曲线的标准方程是x2809－y280＝1.方法二：据双曲线的渐近线方程3x－y＝0，可设双曲线方程为9x2－y2＝λ(λ≠0)．由于双曲线过点P(3，－1)，所以9×32－(－1)2＝λ，即λ＝80.∴所求双曲线的标准方程为x2809－y280＝1.6[题后感悟]如何求过定点并已知渐近线的双曲线方程？(1)求双曲线的标准方程的步骤①确定或分类讨论双曲线的焦点所在坐标轴；②设双曲线的标准方程；③根据已知条件或几何性质列方程，求待定系数；④求出a，b，写出方程．(2)方法二揭示了双曲线标准方程与渐近线方程之间的关系，若双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)，则该双曲线的渐近线方程为x2a2－y2b2＝0，即y＝±bax，反之亦然．（3）已知双曲线的渐近线方程0aybx（a、b为已知值）求双曲线方程，可设所求双曲线为2222yaxb，再由另一个定量条件求出即可。变式训练：2.根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)双曲线的渐近线方程为2x±3y＝0且经过点P(6，2)；(2)顶点在x轴上，两顶点间的距离为8，离心率是54.解析：(1)方法一：设双曲线方程为x2m－y2n＝1(mn0)．∵双曲线过点P(6，2)，且点P在直线y＝23x的上方，∴m0，n0，即焦点在y轴上，又渐近线斜率k＝±23，∴6m－4n＝1，－n－m＝23.解得m＝－3，n＝－43.故所求双曲线方程为y243－x23＝1.方法二：由于双曲线的渐近线方程是y＝±23x，所以可设双曲线方程为x29－y24＝λ(λ≠0)．∵双曲线过点P(6，2)．∴69－44＝λ，λ＝－13.故所求双曲线方程为y243－x23＝1.(2)由已知设双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)．则2a＝8，∴a＝4.7由e＝ca＝54得c＝5.∴b2＝c2－a2＝52－42＝9.∴所求双曲线方程为x216－y29＝1.●直通高考题：1.►(2012年高考湖南卷理科5)已知双曲线C：22xa-22yb=1的焦距为10，点P（2,1）在C的渐近线上，则C的方程为A．220x-25y=1B.25x-220y=1C.280x-220y=1D.220x-280y=1[w~#ww.zz&st︿ep.com@]【答案】A21世纪教育网【解析】设双曲线C：22xa-22yb=1的半焦距为c，则210,5cc.又C的渐近线为byxa，点P（2,1）在C的渐近线上，21ab＝，即2ab.又222cab，25,5ab，C的方程为220x-25y=1.2.►(2011年高考山东卷理科8)已知双曲线22221(0b0)xyaab＞，＞的两条渐近线均和圆C:22650xyx相切,且双曲线的右焦点为圆C的圆心,则该双曲线的方程为(A)22154xy(B)22145xy(C)22136xy(D)22163xy3．►（2010年高考福建卷理科7）若点O和点(2,0)F分别是双曲线2221(a0)axy的中心和左焦点,点P为双曲线右支上的任意一点,则OPFP的取值范围为()8A.[3-23,)B.[323,)C.7[-,)4D.7[,)4【答案】B【解析】因为(2,0)F是已知双曲线的左焦点，所以214a，即23a，所以双曲线方程为2213xy，设点P00(,)xy，则有220001(3)3xyx，解得220001(3)3xyx，因为00(2,)FPxy，00(,)OPxy，所以2000(2)OPFPxxy=00(2)xx2013x2004213xx，此二次函数对应的抛物线的对称轴为034x，因为03x，所以当03x时，OPFP取得最小值432313323，故OPFP的取值范围是[323,)，选B。4．►