数学的三大危机和悖论

数学的三大危机和悖论•在数学的历史上，有过三次比较重大的危机。•第一次是关于无理数的，这次危机把毕达哥拉斯的数学王朝推翻。•第二次数学危机是关于微积分的，是常识跟数学之间的契合的问题。•第三次数学危机发生在二十世纪初，这次危机涉及到了数学中最基础的大厦，差点把整个数学理论推翻重来。•下面我来跟大伙聊聊这三次有意思的事件。第一次数学文化第一次数学危机发生在公元前500年左右，我感觉跟精确度有关，我们平时用到的数学知识，几乎都只要精确到一定程序就可以了，所以古希腊毕达哥拉斯学派认为，任何一个数都能用a/b的形式来表示，其中a和b都是整数，这些数在数学上有个专有名词叫有理数。但是有一天，有个叫希帕索斯的学者发现，好像不是这么回事，他作了一个这样的假设，就是等腰直角三角形，如果直边都为1，那么它的斜边(√2)就不满足这个条件。这个证明起来其实很简单，但是对于当时着了迷的毕达哥拉斯派学者来说，这完全不能接受，就好像发现自己一直深爱的很纯洁的美女是绿茶妹一样，这些气急败坏的学者们最后把希帕索斯扔到海里面去了。这就是典型的学术迫害啊。•纸当然是包不住火的，死了一个希帕索斯，自然会有更多的学者发现√2，√3，√5；第一次数学危机使得纯代数的地位下降，几何学的地位上升，因为几何量不能完全由有理数来表示，但数却完全可以用几何量来表示，从而形成了欧几里得《原本》的公理体系与亚里士多德的逻辑体系，这两个体系在经典数学中就有点相牛顿的三大定律。正是因为这次危机，使得东西方数学体系完全走向不同的路，像中国这样的大国，因为没有这次数学危机，就没能完全形成真正的数学体系，尽管很多方面表现得很优秀。第二次数学危机导源于微积分工具的使用。伴随着人们科学理论与实践认识的提高，十七世纪几乎在同一时期，微积分这一锐利无比的数学工具为牛顿、莱布尼兹各自独立发现。这一工具一问世，就显示出它的非凡威力。许许多多疑难问题运用这一工具后变得易如翻掌。但是不管是牛顿，还是莱布尼兹所创立的微积分理论都是不严格的。两人的理论都建立在无穷小分析之上，但他们对作为基本概念的无穷小量的理解与运用却是混乱的。因而，从微积分诞生时就遭到了一些人的反对与攻击。其中攻击最猛烈的是英国大主教贝克莱。第二次数学危机罗素悖论与第三次数学危机十九世纪下半叶，康托尔创立了著名的集合论，在集合论刚产生时，曾遭到许多人的猛烈攻击。但不久这一开创性成果就为广大数学家所接受了，并且获得广泛而高度的赞誉。数学家们发现，从自然数与康托尔集合论出发可建立起整个数学大厦。因而集合论成为现代数学的基石。“一切数学成果可建立在集合论基础上”这一发现使数学家们为之陶醉。1900年，国际数学家大会上，法国著名数学家庞加莱就曾兴高采烈地宣称：“………借助集合论概念，我们可以建造整个数学大厦……今天，我们可以说绝对的严格性已经达到了……”