第2讲--Leslie矩阵模型

3.4Leslie矩阵模型本节将以种群为例，考虑种群的年龄结构，种群的数量主要由总量的固有增长率决定，但是不同年龄结构动物的繁殖率和死亡率有着明显的不同，为了更精确地预测种群的增长，在此讨论按年龄分组的种群增长预测模型，这个向量形式的差分方程是Leslie在20世纪40年代用来描述女性人口变化规律的，虽然这个模型仅考虑女性人口的发展变化，但是一般男女人口的比例变化不大。假设女性最大年龄为s岁，分s岁为n个年龄区间：ninisnsiti,,2,1,,)1(年龄属于it的女性称为第i组，设第i组女性人口数目为),,2,1(nixi，称Tnxxxx),,,(21为女性人口年龄分布向量，考虑x随kt的变化情况，每隔ns年观察一次，不考虑同一时间间隔内的变化（即将时间离散化）。设初始时间为0t，nksttk0时间的年龄分布向量为Tknkkkxxxx),,,()()(2)(1)(，这里只考虑由生育、老化和死亡引起的人口演变，而不考虑迁移、战争、意外灾难等社会因素的影响。设第i组女性的生殖率（已扣除女婴的死亡率）为ia（第i组每位女性在ns年中平均生育的女婴数，0ia），存活率ib（第i组女性在ns年仍活着的人数与原来人数之比，10ib），死亡率ib1，假设ia，ib在同一时间间隔内保持不变，这个数据可由人口统计资料获得。kt时第一组女性的总数)(1kx是1kt时各组女性（人数为nixki,,2,1,)1(）所生育的女婴的总数，可以由下式表示：)1()1(22)1(11)(1knnkkkxaxaxaxkt时第1i组（1i）女性人数)(1kix是1kt时第i组女性经ns年存活下来的人数，可以由下式表示：1,,2,1,1)(1nixbxkiiki用矩阵将上两式表示为：1131211121121321000000000knkkknnnknkkkxxxxbbbaaaaxxxx记：000000000121121nnnbbbaaaaL，knkkkkxxxxx321)(，则有)0()(xLxkk称L为Leslie矩阵，由上式可算出kt时间各年龄组人口总数、人口增长率以及各年龄组人口占总人口的百分比。利用Leslie模型分析人口增长，发现观察时间充分长后人口增长率和年龄分布结构均趋于一个稳定状态，这与矩阵L的特征值和特征向量有关。矩阵L有唯一的单重正特征值1，对应的特征向量为：Tnnbbbbbbx),,,,1(111212121111若1是矩阵L的正特征值，则L的任一个（实的或者复的）特征值都满足：1若矩阵L的第一行有两个顺序元素0,1iiaa，则L的正特征值是严格优势特征值这种要求在人口模型中是能保证的，所以L矩阵必有严格优势特征值。若矩阵L有严格优势特征值1，对应特征向量为1x，则：11)(limcxxkkk这表明时间kt充分长后，年龄分布向量趋于稳定，即各年龄组人数)(kix占总数nikix1)(的百分比几乎等于特征向量1x中相应分量占分量总和的百分比。同时kt充分大后，人口增长率)()()1(kikikixxx趋于11，或说11时，人口递增；11时，人口递减；11时，人口总数稳定不变。例1加拿大人口数量预测问题为了研究加拿大的人口年龄结构，对加拿大的人口进行数据统计，1965年的统计资料如下表所示（由于大于50岁的妇女生育者极少，故只讨论0~50岁之间的人口增长问题）表1加拿大人口统计数据年龄组i年龄区间iaib1[0,5)0.000000.996512[5,10)0.000240.998203[10,15)0.058610.998024[15,20)0.286080.997295[20,25)0.447910.996946[25,30)0.363990.996217[30,35)0.222590.994608[35,40)0.104590.991849[40,45)0.028260.9987010[45,50)0.00240—分析：由上表得到加拿大人口的Leslie矩阵L如下所示，求解特征方程，098700.0000000000099184.0000000000099460.0000000000099621.0000000000099694.0000000000099729.0000000000099802.0000000000099820.0000000000099651.000240.002826.010459.022259.036399.044791.028608.005861.000024.00L可以得到L矩阵的特征值：0763.1和特征向量：Tx]2104.0,2294.0,2489.0,2694.0,2910.0,3141.0,3390.0,3656.0,3942.0,4257.0[通过上述过程大家可以发现，一旦L矩阵的维数过大，那么求解特征方程将是一个非常复杂的过程，运用matlab求解程序如下：clearallL=zeros(10,10);L(1,:)=[0,0.00024,0.05861,0.28608,0.44791,0.36399,0.22259,0.10459,0.02868,0.00240];L(2,1)=0.99651;L(3,2)=0.99820;L(4,3)=0.99802;L(5,4)=0.99729;L(6,5)=0.99694;L(7,6)=0.99621;L(8,7)=0.99460;L(9,8)=0.99184;L(10,9)=0.98700;[v,d]=eig(L);a1=d(1,1);a2=v(:,1);a3=v(:,1)./sum(v(:,1));pie(a3)legend('[0,5)','[5,10)','[10,15)','[15,20)','[20,25)','[25,30)','[30,35)','[35,40)','[40,45)','[45,50)')结果：14%13%12%11%10%9%9%8%7%7%[0,5)[5,10)[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)[40,45)[45,50)图1加拿大人口结构示意图由L矩阵的特性可知：当时间充分长后，年龄分布向量趋于稳定，即各年龄组人数)(kix占总数的百分比几乎等于特征向量中相应分量占分量总和的百分比。如果加拿大妇女生育率和存活率保持1965年的状况，那么经过较长时间以后，50岁以内的人口总数每5年将递增7.662%，由特征向量可算得各年龄组人口占总人口的比例如上图。