例说圆锥曲线中证明(求)直线过定点的问题

对圆锥曲线中证明（求）直线过定点的问题探讨漆绍杰在圆锥曲线中直线与圆锥曲线相结合的问题是较为复杂的问题，其中有一类问题是证明（求）直线过一定点，对于这一类问题如何去思考呢？它们的共同的解题思路是怎样的呢？下面让我们一起来探讨一下。既然直线过一定点，说明此直线的斜率是不定的，这使我们联想到过定点的直线系方程，过一定点),(00yxP的直线系方程可以写成的)(00xxkyy，那么我们先可写出直线的方程，再根据方程判断直线过哪一个定点。下面通过具体例子来说明。例1：已知抛物线22(0)ypxp上有两动点,AB及一个定点00(,)Mxy，F为抛物线的焦点，且∣AF∣，∣MF∣，∣BF∣成等差数列。（1）求证线段AB的垂直平分线经过一定点0(,0)Qxp；（2）若∣MF∣4，∣OQ∣6（O为坐标原点），求此抛物线的方程。分析：（1）设1122(,),(,)AxyBxy，∵∣AF∣，∣MF∣，∣BF∣成等差数列，结合定义得1201202()222pppxxxxxx，由此可设弦AB的中点坐标为0(,)xb。22121212121222()AByyppyypxxkxxyyb，弦AB的中垂线方程为：00()()bbybxxyxxppp，故弦AB的中垂线过定点0(,0)px。（2）略。例2：在双曲线2211213yx的一支上有不同的三点1122(,),(26,6),(,)AxyBCxy与焦点(0,5)F的距离成等差数列。（1）求12yy的值。（2）证明线段AC的垂直平分线经过一定点，并求该定点的坐标。分析：（1）∵∣AF∣，∣BF∣，∣CF∣成等差数列，则结合定义得12122(6)12eyaeyaeayy，（2）由此，可设弦AC的中点坐标为0(,6)x由00121212222211221212211,1121312()13()13613213ACyxyxxxyyxxkxxyy弦AC的中垂线方程为：000013131313256()622222yxxyxyxxxx故弦AB的中垂线过定点25(0,)2。例3：过抛物线2xy上的定点(1,1)C作两条互相垂直的弦CA、CB，求证直线AB过定点。分析：设1122(,),(,)AxyBxy，则2211222,2ypxypx121222121212121212120(1)(1)(1)(1)0(1)(1)(1)(1)0(1)(1)(1)(1)(1)(1)0(1)(1)(2)0OAOBOAOBxxyyxxxxxxxxxxxxxx因为点A、B与点C不重合，所以12(1)(1)0xx故1220xx222121211212AByyyyxxkxxxx，直线AB的方程为：1121()()yyxxxx21211211212()()yxxxxxxyyxxxxx121212()22()(1)yxxxxxyxxx所以直线AB过定点(1,2)。评析：直线方程虽然被我们“强行”写了出来，但由此方程我们根本看不出直线过哪一定点，为此我们要利用题中所给的其它条件对此“强行”写出的直线方程进行变形，才可以达到我们的目的。例4：,AB是抛物线22(0)ypxp上的两点，满足OAOB（O为坐标原点），求证：（1）,AB两点的横坐标之积、纵坐标之积分别是定值；（2）直线AB经过一定点。分析：（1）设1122(,),(,)AxyBxy，则2222112212122,2()4ypxypxyypxx又由121200OAOBOAOBxxyy2212124,4xxpyyp（2）22121212121222()AByypyypxxKxxyy直线AB的方程为1111121212222()pxppyyxxyxyyyyyyy21112121212222(2)ypxyyppxxpyyyyyy，故直线过定点(2,0)p。评析：和上题一样我们要利用题中所给的其它条件对此“强行”写出的直线方程进行变形，才可以达到我们的目的。例5：设抛物线22(0)ypxp的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于,AB两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴，证明直线AC经过原点。分析：设1122(,),(,)AxyBxy，则2(,)2pCy，直线AC的方程为112112yyyypxxx211112121112)2()())(()2)((yxypypxxyyxxyypxyy要证直线AC经过原点，只需证11()()02pyyx2211111212112111()0222222222yyyppppppyxyyyyyyypyyppp评析：此处不是由方程直接看出直线经过原点，而是转化为证常数项为0,这样就避免了直接证带来的困难。例6：已知椭圆2222:1xyCab(0)ab的离心率为32且在x轴上的顶点分别为1(2,0)A2(2,0)A。（1）求椭圆C的方程；（2）若直线:lxt（t为大于2的一个定值）与x轴交于点T，P为l上的异于T的任意一点，直线12,PAPA分别与椭圆C交于两点,MN，证明直线MN经过一个定点。分析：（1）3,23,12ceacba故椭圆C的方程为2214xy（2）设1112(,),(,)MxyNxy，直线1AM的斜率为1k，则直线1AM的方程为1(2)ykx由21214(2)xyykx消去y得2222111(41)161640kxkxk判别式160，解得211218241kxk1121441kyk，所以点M的坐标为2112211824(,)4141kkkk①，同理可设直线2AM的斜率为2k，则直线2AM的方程为2(2)ykx，所以点N的坐标为2222222824(,)4141kkkk②，由于直线1AM与直线2AM的交点(,)pPty在直线l上，又12(2),(2)ppyktykt所以1212122(2)(2)kkktktkkt③由两点式得直线MN的方程为121121yyyyxxxx，令0y得211212xyxyxyy④将①②③代入④得4xt，故直线MN经过定点4(,0)t。评析：此题的计算量相当大，在解题思路上它和前几题的解法既有相同的地方又有区别，属于难题。通过对上面几个同一类型问题的解题方法的探讨，我们可以得出解决这一问题的一般性结论：利用题中所给条件，写出直线的点斜式方程，若不能看出定点，则再利用其它条件对方程进行变形，直到看出定点或转证相关问题。